Tomasz Downarowicz

Instytut Matematyki i Informatyki

Politechnika Wrocławska

Wybrzeże Wyspiańskiego 27

50-370 Wrocław

12 stycznia, 2006

PRZEGLĄD DOROBKU

 

  • Układy słabo prawie okresowe:

Jest to klasa topologicznych układów dynamicznych, dla których wszystkie przekształcenia należące do półgrupy Ellisa są ciągłe. W pracach [1] i [2] badane są tego typu układy i ich własności, między innymi podano tam charakteryzację takich transformacji odcinka, okręgu i na rozmaitościach dwuwymiarowych. W pracy [16] wyodrębniono i badano grupę tzw. ukrytych wartości własnych dla takich układów.

 

  • Procesy Markowa z czasem wielowymiarowym:

Głównym wynikiem pracy [4] wspólnej z A. Iwanikiem jest twierdzenie, że działanie dwóch komutujących operatorów Markowa generuje miarę procesu na zbiorze jego trajektorii. Trzy komutujące operatory mogą wcale nie mieć dopuszczalnych trajektorii, na co podany jest odpowiedni przykład. 

 

  • Układy Toeplitza:

W innej pracy wspólnej z A. Iwanikiem [5] układy Toeplitza są badane w kontekście zbieżności quasi-jednostajnej. W klasie tej skonstruowano "ścieżki" układów o entropii zmieniającej się w sposób ciągły od zera do log n i w sposób ciągły (w metryce Huasdorfa) zmieniającym się zbiorze miar niezmienniczych. Te metody zostały rozwinięte w pracy [9] do udowodnienia, że każdy metryzowalny symplex Choqueta można zrealizować jako zbiór miar niezmienniczych w pewnym układzie minimalnym, mianowicie w układzie Toeplitza. Ten wynik został później wzmocniony w pracy [29] (wspólnej z J. Serafinem): również każdą (dopuszczalną) funkcję afiniczną na takim sympleksie można zrealizować jako funkcję entropii. W ujęciu teorio-miarowym, w pracy [29] (wspólnej z Y. Lacroix) wykazano, że układy Toeplitza realizują wszystkie transformacje zachowujące miarę spełniające oczywiste konieczne założenie dotyczące widma punktowego. W szczególności uogólnia to wcześniejszy wynik A.Iwanika i wynik z pracy [14] (również wspólnj z Y. Lacroix), że układ Toeplitza może mieć niewymierne wartości własne. 

 

  • Teoria spektralna układów Morse'a:

Ten temat jest przedmiotem dwóch prac wspólnych z J. Kwiatkowskim. Najważniejsze wyniki to wykazanie, że w tej klasie ranga jeden jest niezmiennikiem spektralnym [20] (przy współudziale Y. Lacroix), oraz że dla Z2-działań nie zachodzi teza twierdzenia Jonathana Kinga: centralizator Z2- działania typu Morse'a rangi jeden może zawierać elementy nie przybliżane transformacjami tego działania [30].

 

  • Teoria entropii rozszerzeń symbolicznych:

Rozszerzeniem symbolicznym topologicznego układu dynamicznego nazywamy rozszerzenie topologiczne w postaci układu symbolicznego ze skończonym alfabetem. Przez entropię rezydualną rozumiemy infimum różnic między entropiami takich rozszerzeń a entropią układu wyjściowego. W pracy [24] wyprowadzony jest wzór na entropię rezydualną w języku wewnętrznych parametrów układu. W pracy [31] wspólnej z M. Boylem podana jest charakteryzacja wszystkich możliwych poniesień funkcji entropii miary niezmienniczej w rozszerzeniach symbolicznych i rozstrzygnięty jest problem osiągalności entropii rezydualnej: w pełnej ogólności infimum może to nie być osiągane; jest jednak osiągane na przykład w układach mających domknięty zbiór miar ergodycznych. Techniki te zostały wykorzystane we wspólnej pracy z S. Newhousem [34], gdzie udowodniono, że typowa transformacja klasy C1 na rozmaitości Riemanna wcale nie posiada rozszerzeń symbolicznych,  a typowa transformacja klasy Cr (1 < r < ∞) ma dodatnią entropię rezydualną.

 

  • Teoria struktury entropijnej:

Sposób w jaki entropia (jako funkcja na zbiorze miar niezmienniczych) wykrywalna w określonej rozdzielczości topologicznej dąży do funkcji entropii w miarę zwiększania rozdzielczości jest przedmiotem badań w pracy [33]. Defekt jednostajności tej zbieżności jest ujęty w formie niezmiennika sprzężenia topologicznego. Ten niezmiennik okazuje się być nadrzędnym w stosunku do większości dotychczas znanych niezmienników entropijnych w dynamice topologicznej z parametrem Misiurewicza h* i entropią rezydualną włącznie. Wykazano też, że wiele istniejących w literaturze metod obliczania funkcji entropii w kontekście topologicznym prowadzi do ciągów funkcji mających właściwy typ zbieżności, a zatem stanowiących strukturę entropijną. Mocno wykorzystywane jest przy tym uogólnienie twierdzenia Shannona-McMillana-Breimana uzyskane wspólnie z B. Wiessem [32] .

 

  • Entropia operatorów podwójnie stochastycznych:

W pracy [35] wspólnej z B. Frejem badane są uogólnienia pojęcia entropii miarowej i topologicznej na operatory podwójnie stochastyczne (Markowa). Wypracowanie podejścia aksjomatycznego pozwoliło wykazać, że istnieje w zasadzie jedno dobre uogólnienie i, że wiele istniejących w literaturze definicji pokrywa się. Wprowadzona jest nowa naturalna definicja i zbadane są jej własności. Podobnie, wprowadzone są trzy naturalne i równoważne definicje entropii topologicznej i udowodniona zostaje jedna z nierówności zasady wariacyjnej: entropia topologiczna operatora Markowa jest większa równa od entropii wszystkich jego miar niezmienniczych.

 

  • Prawo serii:

Nieczęsto zdarza się, że twierdzenie matematyczne jest jasne dla szerokiego grona matematyków, a już do zupełnych rzadkości zaliczyć można przypadki, gdy istnieje jego interpretacja zrozumiała (w ogólnym choćby zarysie) dla zwykłych „zjadaczy chleba” nie posiadających wykształcenia matematycznego. Być może takim właśnie rzadkim przypadkiem jest  wynik uzyskany ostatnio wspólnie z Y. Lacroix (praca [42]). 

Przystępny artykuł o prawie serii i naszym twierdzeniu jest pod tym linkiem.