Przykład

Wielobarwny elastyczny kwadrat spłaszczamy i składamy na pół: 

à

Teoria układów dynamicznych zajmuje się nie tylko badaniem tego co dzieje przy jednokrotnym zastosowaniu danej transformacji, ale wtedy, gdy powtarzamy ją wielokrotnie, i co dzieje się gdy liczba iteracji (czyli powtórzeń) zmierza do nieskończoności. Oto jak wygląda nasz obrazek po dwóch  i po stu iteracjach:

Przekonajmy się, że uzyskane graniczne kształty nie zależą od początkowego obrazu: 

Ciekawe jest, że w tym przykładzie dalsze iteracje zamieniają dwa dominujące kolory, tak że po dwóch krokach obrazek wraca do stanu wyjściowego.

Zjawiska, które tu obserwujemy mają swoją naukową interpretację. Co można o tej transformacji powiedzieć na pierwszy rzut oka? Oczywiście jest ona ciągła, gdyż kwadratu nie kroimy ani nie rozrywamy. Transformacja jest kawałkami liniowa, posiada jednak punkty nieróżniczkowalności. Cały układ nie jest minimalny, bowiem kolor zielony, stale obecny na trzech krawędziach wnika do wnętrza cienkimi liniami i tam zdąża do jakiegoś (niewidocznego) niezmienniczego atraktora. Widać też, że nie jest zachowywana miara powierzchni, gdyż kolor zielony zostaje zredukowany do zbioru miary zero. Na lewo od centrum obrazka można doszukać się zjawiska zwanego podkową Smale'a. Co prawda ma ona miarę powierzchni zero, ale na niej znajduje się całe mnóstwo miar niezmienniczych i stamtąd bierze się dodatnia entropia układu. Obecność dwóch widzialnych zmieniających się miejscami obszarów wskazuje na istnienie jakiejś obserwowalnej miary niezmienniczej posiadającej wartość własną -1 (a więc nie mieszającej).