Układy dynamiczne

Układem dynamicznym nazywamy parę (X,T), gdzie X jest pewnym zbiorem (nazywanym przestrzenią fazową), a T grupą lub półgrupą przekształceń X  w siebie. W klasycznym przypadku kaskady, są to iteracje jednej transformacji (wtedy przez T oznaczamy tę transformację). Zazwyczaj przestrzeń X jest wyposażona w jakąś strukturę, a transformacje z grupy T zachowują tę strukturę. Teoria układów dynamicznych jest dziedziną interdyscyplinarną, gdzie stosowane są metody badawcze z bardzo wielu gałęzi matematyki. Jest to teoria gwałtownie rozwijająca się w ciągu ostatnich kilku dziesięcioleci i z powodzeniem konkurująca w zastosowaniach do opisywania i przewidywania zjawisk zachodzących w rzeczywistości z metodami statystycznymi, a nawet numerycznymi. Zobacz przykład.

I tak, jeśli X jest przestrzenią miarową (najczęściej probabilistyczną) to zakładamy, że transformacje są mierzalne i zachowują miarę przez przeciwobraz (czasem zakłada się tylko, że są one niesingularne). Badaniem układów tego typu zajmuje się teoria ergodyczna.  

Jeżeli o X założymy, że jest przestrzenią topologiczną (najczęściej zwartą), to od transformacji wymagać będziemy ciągłości. Takie układy są przedmiotem dynamiki topologicznej.

Wreszcie możemy wyposażyć X w strukturę rozmaitości różniczkowej klasy C^r, a za T wziąć C^r-dyfeomorfizm. Takie podejście prowadzi do teorii gładkich układów dynamicznych.

Niezwykle ważnym parametrem układu dynamicznego jest entropia. Najogólniej mówiąc entropia jest miernikiem złożoności układu, jego niedeterministyczności. Pojawia się ona we wszystkich  działach teorii, przy czym dla transformacji zachowujących miarę będzie to entropia miarowa Kołmogorowa-Sinaja, a dla układów topologicznych lub gładkich - na przykład entropia topologiczna Bowena. Tu znajduje się więcej szczegółowych informacji o entropii.

Poza tą klasyfikacją wspomnieć należy dynamikę symboliczną, w której przestrzenią X jest zbiór  ciągów dwustronnie nieskończonych {x_n: n = ...-2,-1, 0,1,2,...} lub jednostronnych {x_n: n = 0,1,2,...} o wartościach w pewnym zbiorze skończonym (alfabecie) A, zaś transformacją jest przesunięcie ciągu: 

T({x_n}) = {x_n+1}.

Metody dynamiki symbolicznej stosuje się we wszystkich trzech wyżej wymienionych działach oraz w teorii entropii.

Rozpatruje się przestrzeń miarową (X, B, µ) i mierzalną transformację T z X  w X, zachowującą miarę przez przeciwobraz. Transformacja taka jest ergodyczna  jeśli wszystkie zbiory T-niezmiennicze są miary zero lub ich dopełnienia są miary zero. Główne twierdzenie tej teorii, twierdzenie ergodyczne Birkhoffa mówi, że jeśli µ jest miarą probabilistyczną, T transformacją ergodyczną, a f  jest rzeczywistą (lub zespoloną) funkcją na X µ-całkowalną z modułem, wtedy tzw. średnie Cesaro 

[f(x)+f(Tx)+...+f(Tⁿx)]/n 

dążą µ-prawie wszędzie do całki z f po mierze µ (średnia po czasie jest równa średniej po przestrzeni). 

Nieco wcześniejsze jest twierdzenie Poincaré o powracaniu: Jeśli T zachowuje miarę probabilistyczną  µ, a A jest zbiorem mierzalnym miary dodatniej, to µ-prawie każdy punkt x zbioru A ma tę własność, że Tⁿx należy do A dla pewnego n > 0. Interpretacja fizyczna tego twierdzenia dla modelu dyfuzji gazu brzmi dość paradoksalnie i pozornie przeczy II zasadzie termodynamiki: Jeśli do pojemnika wpuścimy dwa różne gazy (początkowo będą one rozdzielone), to zgodnie z II zasadą po pewnym czasie nastąpi ich dokładne i bezpowrotne wymieszanie. Twierdzenia Poincaré jednak mówi, że w pewnym momencie układ wróci jednak do stanu zbliżonego do początkowego, czyli do sytuacji, w której gazy te znowu są rozdzielone. Paradoks ten można wyjaśnić w taki sposób, że po pierwsze czas powrotu w twierdzeniu Poincaré jest bardzo duży, po drugie, układ fizyczny nigdy nie jest dokładnie odizolowany od losowych czynników zewnętrznych, zatem nie przebiega stale dokładnie według tej samej transformacji i po pewnym czasie jego zachowanie odchyla się od matematycznego układy dynamicznego (II zasada właśnie uwzględnia tę nieregularność). Zanim nastąpi teoretyczny czasu powrotu układu, odchylenie to będzie tak duże, że faktyczny układ nie powróci w pobliże stanu wyjściowego.

Mieszanie jest kluczowym pojęciem w teorii ergodycznej. Układ dynamiczny jest mieszający jeśli dla dowolnych dwóch zbiorów mierzalnych A i B miara przekroju T^-nA  z B dąży do iloczynu miar µ(A)µ(B). Intuicyjnie oznacza to, że po pewnym czasie każdy zbiór A rozmyje się równomiernie po całej przestrzeni (jego udział w każdym zbiorze B będzie niemal proporcjonalny do miary zbioru B). Każdy układ mieszający jest ergodyczny, ale na przykład obrót okręgu z unormowaną miarą Lebesgue'a o kąt niewymierny względem liczby p jest ergodyczny ale nie mieszający (łuk pozostaje łukiem - nie rozmywa się). 

Pojęcia ergodyczności i mieszania (i wiele innych) wywodzą się z obserwacji fizycznych układów. Nowoczesne metody teorii ergodycznej pozwalają przewidywać zachowanie się jakościowe i ilościowe procesu w dalekiej przyszłości nie znając dokładnych wzorów na przyszłe położenia cząstek.

W mechanice niedeterministycznej stan układu obserwowany w chwili obecnej (zerowej) nie wyznacza jednoznacznie stanów, w jakich układ znajdzie się w chwilach następnych, a jedynie determinuje rozkład prawdopodobieństwa, z jakim stany te będą przyjmowane. Prowadzi to do pojęcia procesu stochastycznego. Okazuje się, że  również te procesy można opisywać w języku teorii ergodycznej. Za przestrzeń X musimy jednak przyjąć nie zbiór samych stanów, lecz zbiór wszystkich możliwych całych przebiegów procesu w przyszłości, przy czym chwila obecna indeksowana jest jako zerowa. Jeśli rozważamy kaskadę, to w każdej kolejnej chwili następuje przenumerowanie czasu (chwila nr 1 staje się nową chwilą nr 0, chwila nr 2 staje się chwilą nr 1, itd.). W przypadku, gdy zbiór stanów A jest skończony, otrzymamy układ symboliczny: przestrzenią X będzie zbiór wszystkich ciągów {x_n: n = 0,1,2,...} o wartościach w A, zaś transformacją jest przesunięcie ciągu: 

T({x_n: n = 0,1,2,...}) = {x_n+1: n = 0,1,2,...}.

Klasycznym  przykładem jest tu spacer losowy po zbiorze skończonym stanów A = {1,2,3,..., k} zadany macierzą stochastyczną prawdopodobieństw przejścia P= [p_i,j]  (ze stanu i układ przechodzi z prawdopodobieństwem p_i,j do stanu j).  Prawdopodobieństwa przejścia wraz z jakimś stacjonarnym rozkładem początkowym na zbiorze A zadaje na przestrzeni X miarę T-niezmienniczą, w tym przypadku będzie to miara procesu Markowa.

Dynamika topologiczna to najmłodsza z trzech wymienionych we wstępie dziedzin. W teorii tej najczęściej rozważa się przestrzeń topologiczną zwartą X i transformację ciągłą lub wręcz  homeomorfizm T z X  w X. Interpretacja fizyczna ciągłości jest taka, że mamy do czynienia z ewolucją, w której punkty dostatecznie bliskie sobie w chwili zerowej podróżują w podobny sposób, przynajmniej jeśli obserwujemy je w określonym, ograniczonym czasie. Dobrej intuicji dostarcza przykład z przepływem wody w rzece. Jeśli mała początkowa odległość miedzy punktami gwarantuje, że będą one zawsze pozostawać blisko siebie, to mamy do czynienia z układem jednakowo jednostajnie ciągłym - jest to bardzo silna wersja stabilności wewnątrz systemu. Odpowiednikami ergodyczności są w dynamice topologicznej tranzytywność - istnienie punktu, którego trajektoria jest gęsta w X i minimalność - wymóg aby trajektoria każdego punktu była gęsta. 

Jednym z fundamentalnych twierdzeń wiążących dynamikę topologiczną z teorią ergodyczną jest twierdzenie Bogolubowa-Kryłowa o tym, że każdy zwarty topologiczny układ dynamiczny posiada co najmniej jedną borelowską T-niezmienniczą  miarę probabilistyczną. Względem takiej miary, T staje się  transformacją zachowującą miarę i można na przykład można badać, czy jest to układ ergodyczny lub mieszający. Nawet układ minimalny może jednak mieć wiele różnych miar niezmienniczych, w tym wiele nieergodycznych. Odwrotnego powiązania tych dwóch teorii dostarcza twierdzenie Jewetta-Kriegera: każda odwracalna transformacja przestrzeni probabilistycznej zachowująca miarę i ergodyczna jest w sensie teorii miary izomorficzna z pewnym minimalnym topologicznym układem dynamicznym posiadającym jedyną miarę niezmienniczą. 

Pojęciami często rozważanymi w dynamice topologicznej są własności takie jak proksymalność punktów,  distalność, jednakowa jednostajna ciągłość iteracji, czy też ekspansywność układu. Dwa punkty są proksymalne, jeśli w trakcie ewolucji ich obrazy zbliżają się do siebie na dowolnie małą odległość. Układ jest distalny, jeśli nie posiada par punktów proksymalnych. Łatwym ćwiczeniem jest sprawdzenie, że jeśli homeomorfizm T ma jednakowo jednostajnie ciągłe  iteracje Tⁿ, to daje układ distalny. Układ jest ekspansywny, jeśli istnieje stała d > 0 taka, że dowolne dwa różne punkty oddalają się kiedyś od siebie na odległość co najmniej d. 

Układy symboliczne również można badać metodami dynamiki topologicznej. Pełnym układem symbolicznym nad alfabetem skończonym A (traktowanym jako przestrzeń topologiczna dyskretna) nazywamy zbiór X wszystkich ciągów (jedno- lub obustronnie nieskończonych) o wartościach w A z topologią Tichonowa (która jest w tym wypadku zero-wymiarowa) z transformacją T{x_n}  = {x_n+1}. Jest to oczywiście transformacja ciągła, a w przypadku ciągów obustronnych (n przebiega Z), T jest nawet homeomorfizmem. Układem symbolicznym nazywamy działanie transformacji T na dowolnym domkniętym podzbiorze T-niezmienniczym Y zbioru X. Układy symboliczne są ekspansywne, a zatem nie mają iteracji jednakowo jednostajnie ciągłych - chyba, że Y jest zbiorem skończonym. Twierdzenie Hedlunda mówi, że każdy układ ekspansywny  na przestrzeni zero-wymiarowej zwartej jest równoważny z jakimś układem symbolicznym.

Abstrakcyjną klasą  układów topologicznych są obroty grup topologicznych (nie koniecznie przemiennych). W grupie G wyróżniamy jakiś jeden element g₀ i za T przyjmujemy mnożenie w G przez g₀, mianowicie

T(g) = gg₀.

Z aksjomatów grup topologicznych wynika, że tak określone T jest ciągłe. Klasycznym przykładem jest tu obrót okręgu jednostkowego o kąt niewymierny. Układ ten jest minimalny oraz ma jednakowo jednostajnie ciągłe  iteracje. Jedno z kluczowych twierdzeń dynamiki topologicznej (Tw. Halmosa - von Neumanna) mówi, że każdy układ minimalny na przestrzeni zwartej o jednakowo jednostajnie ciągłych iteracjach jest obrotem grupy. Jako zastosowanie dynamiki obrotów niewymiernych można przytoczyć natychmiastowy dowód tego, że liczby sin(n) leżą gęsto w przedziale [-1,1] (1 radian jest kątem niewymiernym, zatem orbita liczby zespolonej 1 jest gęsta na kole, stąd  poprzez rzutowanie na oś urojoną otrzymujemy tezę). 

Historycznie, jest to najstarsza część teorii układów dynamicznych. Wywodzi się ona z potrzeb fizyki. Układ taki może bowiem opisywać zachowanie układu fizycznego którego ewolucja w czasie jest zadana układem równań różniczkowych (często cząstkowych). Klasycznym przykładem jest tu układ n ciał niebieskich oddziaływujących na siebie siłami grawitacji, które są równoważone siłami odśrodkowymi w ruchu obrotowym jednych wokół drugich. Stanami układu (punktami przestrzeni X) są wektory 

(x₁,y₁,z₁,u₁,v₁,w₁,  x₂,y₂,z₂,u₂,v₂,w₂ , ...,  x_n,y_n,z_n,u_n,v_n,w_n), 

gdzie każda kolejna szóstka opisuje położenie i prędkość jednego ciała. W mechanice deterministycznej stan taki wyznacza jednoznacznie stany we wszystkich chwilach następnych. Trajektorie planet są w tym modelu rozwiązaniami pewnych układów równań różniczkowych, a otrzymany układ zaliczymy do kategorii układów gładkich. W rozwiązaniach układów równań różniczkowych występują potoki, a nie kaskady. Potok to układ dynamiczny z działaniem grupy transformacji indeksowanej liczbami rzeczywistymi, a nie tylko naturalnymi (czyli z czasem ciągłym). Przykładem może być potok geodezyjny. Określony jest on one na polu kierunków rozmaitości różniczkowej, a jego trajektorie przebiegają wzdłuż krzywych geodezyjnych. Najlepiej zbadane zostały potoki geodezyjne na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie.

Ogólnie rzecz ujmując w teorii układów gładkich rozważane są dyfeomorfizmy klasy C^r, gdzie r może być liczbą naturalną lub też oznaczać nieskończoność na (najczęściej zwartych, spójnych i bez brzegu) rozmaitościach różniczkowych. Fakt, że odwzorowania takie są ciągłe powoduje, że mamy do czynienia z topologicznymi układami dynamicznymi, a więc można zastanawiać się nad ich tranzytywnością czy minimalnością, a także mierzyć ich entropię. Posiadają one również miary niezmiennicze (o ile rozmaitość ta jest zwarta), stąd do zbadania jest cała gama własności teorio-ergodycznych. Jednakże struktura różniczkowa pozwala analizować znacznie bardziej szczegółowo zachowanie się układu, na przykład można mierzyć w jakim stopniu i w jakich kierunkach następuje ściskanie i rozciąganie przestrzeni w okolicach poszczególnych punktów przy iteracjach transformacji. Kluczowe jest tu pojęcie hiperboliczności. Punkt stały (lub okresowy) x nazywamy hiperbolicznym, jeśli w lokalnym układzie współrzędnych transformacja T zachowuje się jak transformacja liniowa, nie posiadająca (zespolonych) wartości własnych o module 1. W otoczeniu punktu x można wtedy wyróżnić dwie podrozmaitości niezmiennicze: ściągającą W⁺ i rozciągającą W ^- (które lokalnie stanowią dwie dopełniające się podprzestrzenie liniowe), takie że kolejne obrazy każdego punktu z W⁺ zmierzają wykładniczo do x i podobnie zachowują się kolejne przeciwobrazy punktów z W ^-. Domknięty podzbiór T-niezmienniczy L  rozmaitości X nazywa się hiperboliczny, jeśli wiązka styczna do rozmaitości obcięta do L rozpada się na sumę prostą niezmienniczych wiązek E⁺ i E^- takich, że pochodna dT jest na E⁺ odwzorowaniem wykładniczo ściągającym, a wykładniczo rozciągającym na E^-. Układ (X,T) nazywa się układem Anosowa jeśli cała rozmaitość X jest zbiorem hiperbolicznym. Układy Anosowa stanowią prawdopodobnie najlepiej poznaną rodzinę transformacji gładkich. 

Przy ustalonej rozmaitości X w zbiorze wszystkich C^r-dyfeomorfizmów na X istnieje naturalna C^r-topologia. Pozwala to rozważać stabilność pewnych własności transformacji T. Własność taką nazwiemy stabilną jeśli posiada ją każdy dyfeomorfizm S należący do pewnego otoczenia T w tejże C^r-topologii. Sam dyfeomorfizm T nazwiemy strukturalnie stabilnym, jeśli wszystkie dyfeomorfizmy S z pewnego otoczenia T są topologicznie równoważne z T. Stabilność ma niezwykle ważną interpretację fizyczną: jeśli na przykład działanie jakiegoś układu fizycznego opisywane jest układem gładkim strukturalnie stabilnym, to przy niewielkim zaburzeniu tego układu jego funkcjonowanie (nawet po długim czasie) nie zmieni się w istotny sposób. Warto wspomnieć, że już w XVIII wieku astronomowie zastanawiali się, czy ruch planet układu słonecznego opisywany jest stabilnym układem dynamicznym (byłoby to bardzo pożądane). Ważnym w teorii stabilności wynikiem jest twierdzenie Anosowa, mówiące, że każdy układ Anosowa jest strukturalnie stabilny.