Inspirując się funkcją ``maksimum`` z wykładu, zaimplementuj 4 wersje funkcji do szukania minimalnego elementu na liście wykorzystując pętle.
Badamy wpływ długości listy oraz rodzaju elementów na liście na szybkość działania czterech zaimplementowanych algorytmów.
Czy wśród przeanalizowanych algorytmów istnieje jednoznacznie najlepszy? Jeśli tak, odpowiedź uzasadnij. Jeśli nie, spróbuj opisać w jakich sytuacjach i dlaczego niektóre algorytmy są lepsza a innym razem gorsze.
Mierzymy czas szukania miejsca zerowego dla funkcji $f(x) = \arctan(x)-1$. Stosujemy metodę bisekcji na przedziałach
$$P_n = \left(0, 10n\right),$$
dla $n$ postaci od $1$ do $100$. Możesz wykorzystać kod z wykładu jako implementację metody bisekcji lub zaimplementować ją samodzielnie.
Zmierz czas wykonania algorytmu bisekcji dla wszystkich przedziałów $P_n$ i narysuj go na wykresie. Porównaj kształt wykresu z teoretycznymi wyliczeniami z wykładu.
Załóżmy, że dysponujemy tablicą dwuwymiarową $A$ rozmiaru $n \times m$. Zdefiniujmy sąsiedztwo o promieniu $r \in \mathbb{N}$ elementu $a_{i,j}$ tej tablicy, jako zbiór wszystkich elementów tablicy $a_{x,y}$ takich, że $|x-i| \leq r$ oraz $|y-j| \leq r$.
Na przykład dla tablicy $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$$ wymiaru $3 \times 4$, określone są elementy $a_{i,j}$ dla $i \in \{0, 1, 2\}$ oraz $j \in \{0, 1, 2, 3\}$. Element $a_{1,2}=5$ jest jednocześnie swoim sąsiedztwem o promieniu $0$ $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & \fbox{5} & 6 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}.$$ Sąsiedztwo o promieniu $1$ tego elementu to łącznie $9$ elementów - on sam oraz $8$ elementów wokół niego $$A = \begin{bmatrix} 1 & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} \\ 5 & \fbox{6} & \fbox{5} & \fbox{6} \\ 2 & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} \end{bmatrix}.$$ Sąsiedztwo o promieniu $2$ miałoby więcej elementów - o dwie kolumny lub wiersze w każdą stronę od ustalonego elementu. W przypadku elementu $a_{1,2}$, wszystkie elementy tablicy $A$ są w jego sąsiedztwie o promieniu $2$.
Element nazywamy maksimum lokalnym, jeśli jest największym w pewnym otoczeniu. Dla tablic dwuwymiarowych możemy powiedzieć, że element $a_{i,j}$ jest maksimum lokalnym, jeśli jest największy (w słabym sensie, czyli $\geq$) od wszystkich elementów ze swojego sąsiedztwa o promieniu $r=1$.
Tablicę będziemy nazywać jednomodalną, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne.
Napisz funkcję sąsiedztwo(A, r, i, j), która dla zadanej tablicy dwuwymiarowej NumPy `A` oraz promienia `r` będącego liczbą naturalną, zwróci elementy należące do sąsiedztwa elementu $a_{i,j}$. Wymikiem działania funkcji powinien być wycinek (widok) oryginalnej tablicy. Zwróć uwagę na to, jak sąsiedztwo zdefiniowane jest na brzegach i w rogach tablicy!
Następnie napisz funkcję maksima_lokalne(A), która dla zadanej tablicy `A` znajdzie wszystkie jej maksima lokalne. Funkcja powinna zwracać listę par współrzędnych maksimów lokalnych. Na przykład w tablicy $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$$ są dwa maksima lokalne $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & \fbox{6} & 5 & \fbox{6} \\ 2 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix},$$ co odpowiada elementom $a_{1,1}$ oraz $a_{1,3}$, zatem wynikiem działania funkcji powinna być lista
[(1, 1), (1, 3)]
Ostatecznie wykorzystaj napisane funkcje, aby stworzyć funkcję czy_jednomodalna(A), która zwraca `True` dla tablic jednomodalnych i `False` dla tablic niejednomodalnych.