Ciągi liczbowe

Zadanie 1

Ciąg $(a_{n}) $ jest określony wzorem $a_{n} = \frac{1}{n + 1} $ dla $n \geq 1 $ . Wyznacz trzeci, siódmy oraz siedemnasty wyraz tego ciągu.

$a_{3} = \frac{1}{4}, a_{7} = \frac{1}{8}, a_{1 7} = \frac{1}{18}, $

Do wzoru $a_{n} = \frac{1}{n + 1} $ podstawiamy kolejno $n = 3, 7, 17 $ i otrzymujemy:

$a_{3} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4} $

$a_{7} = \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8} $

$a_{1 7} = \frac{1}{17 + 1} = \frac{1}{18} $

Zadanie 2

Ciąg $(a_{n}) $ jest określony wzorem $a_{n} = 2 n - 3 $ dla $n \geq 1 $ . Wyznacz dwunasty i osiemdziesiąty wyraz tego ciągu.

$a_{1 2} = 21, a_{8 0} = 157 $

Do wzoru $a_{n} = 2 n - 3 $ podstawiamy kolejno $n = 12 $ oraz $n = 80 $ i otrzymujemy:

$a_{1 2} = 2 \cdot 12 - 3 = 21 $

$a_{8 0} = 2 \cdot 80 - 3 = 157 $

Zadanie 3

Ciąg $(a_{n}) $ jest określony wzorem $a_{n} = 1 + 4 n $ dla $n \geq 1 $ . Czy w ciągu tym występuje wyraz równy liczbie $36 $ ?

Taki wyraz nie występuje.

Aby odpowiedzieć na pytanie postawione w treści zadania, musimy zbadać, czy istnieje taka liczba naturalna $n $ , dla której $a_{n} = 36 $ .

Ponieważ $a_{n} = 1 + 4 n $ , więc równość $a_{n} = 36 $ jest równoważna równości

$1 + 4 n = 36 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $n $ :

$1 + 4 n = 36 $

$4 n = 35 $

$n = \frac{35}{4} $

Otrzymana wartość $n = \frac{35}{4} $ spełnia równość $1 + 4 n = 36 $ , jednak widzimy, że nie jest liczbą naturalną.

Wnioskujemy, że żaden wyraz $a_{n} $ naszego ciągu nie przyjmuje wartości $36 $ .

Zadanie 4

Ciąg $(a_{n}) $ jest określony wzorem $a_{n} = 3 n - 5 $ dla $n \geq 1 $ . Czy w ciągu tym występuje wyraz równy liczbie $52 $ ? Jeśli występuje, to wskaż, który to wyraz (czyli wyznacz $n $ , dla którego $a_{n} = 52 $ ).

Tak: $a_{1 9} = 52 $

Aby odpowiedzieć na pytanie postawione w treści zadania, musimy zbadać, czy istnieje taka liczba naturalna $n $ , dla której $a_{n} = 52 $ .

Ponieważ $a_{n} = 3 n - 5 $ , więc równość $a_{n} = 52 $ jest równoważna równości

$3 n - 5 = 52 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $n $ :

$3 n - 5 = 52 $

$3 n = 57 $

$n = \frac{57}{3} = 19 $

Otrzymana wartość $n = 19 $ jest liczbą naturalną i spełnia równość $3 n - 5 = 52. $

Widzimy więc, że liczba $52 $ to dziewiętnasty wyraz ciągu.

Zadanie 5

Dany jest ciąg $(a_{n}) $ o wyrazie ogólnym $a_{n} = 3 n + 8 (n \geq 1) $ . Zbadaj, które wyrazy tego ciągu są mniejsze od $38 $ .

Od liczby $38 $ mniejsze są wyrazy $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9} $ .

Równoważnie: $a_{n} < 38 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $1 \leq n \leq 9 $ .

Równoważnie: pierwszych dziewięć wyrazów ciągu jest mniejszych od liczby $38 $ .

Musimy zbadać, dla ilu liczb naturalnych $n $ zachodzi nierówność $a_{n} < 38 $ .

W nierówności $a_{n} < 38 $ podstawiamy $a_{n} = 3 n + 8 $ i otrzymujemy kolejno:

$a_{n} < 38 $

$3 n + 8 < 38 $

$3 n < 30 $

$n < 10 $

Widzimy, że $a_{n} $ jest mniejsze od $38 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $n $ jest liczbą naturalną mniejszą od $10 $ .

Nasza nierówność $a_{n} < 38 $ zachodzi więc dla liczb naturalnych $1, 2, \dots, 9 $ .

Oznacza to, że dokładnie pierwszych dziewięć wyrazów ciągu jest mniejszych od $38 $ .

Zadanie 6

Które wyrazy ciągu $(a_{n}) $ określonego wzorem $a_{n} = (n - 21) (n - 100) $ są ujemne? Ile jest takich wyrazów?

Wyrazy ujemne w ciągu $(a_{n}) $ to wyrazy o wskaźnikach $n $ spełniających warunek $22 \leq n \leq 99 $ . Wyrazów takich jest $78 $ .

Wyraz $a_{n} $ jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierównosć $a_{n} < 0 $ .

Podstawiamy w niej $a_{n} = (n - 21) (n - 100) $ i otrzymujemy nierówność kwadratową:

(1) $(n - 21) (n - 100) < 0 $

Zbiór rozwiązań nierówności (1) to zbiór wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału $(21, 100) $ .

Najmniejszą liczbą naturalną należącą do przedziału $(21, 100) $ jest $22 $ .

Największą liczbą naturalną należącą do przedziału $(21, 100) $ jest $99 $ .

Zatem do przedziału $(21, 100) $ należy $99 - 21 = 78 $ liczb naturalnych.

Jest to jednocześnie liczba ujemnych wyrazów badanego ciągu $(a_{n}) $ .

Zadanie 7

Które wyrazy ciągu $(a_{n}) $ określonego wzorem $a_{n} = (3 + n) (52 - n) $ są dodatnie? Ile jest takich wyrazów?

Wyrazy dodatnie w ciągu $(a_{n}) $ to wyrazy o wskaźnikach $n $ spełniających warunek $1 \leq n \leq 51 $ . Wyrazów takich jest $51 $ .

Wyraz $a_{n} $ jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierównosć $a_{n} > 0 $ .

Podstawiamy w niej $a_{n} = (3 + n) (52 - n) $ i otrzymujemy nierówność kwadratową:

$(3 + n) (52 - n) > 0 $

Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów po lewej stronie nierówności (1) otrzymalibyśmy ujemny współczynnik przy $n^{2} $ .

Oznacza to, że zbiór rozwiązań nierówności $(3 + n) (52 - n) > 0 $ to zbiór wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału $(- 3, 52) $ .

Najmniejszą liczbą naturalną należącą do przedziału $(- 3, 52) $ jest $1 $ .

Największą liczbą naturalną należącą do przedziału $(- 3, 52) $ jest $51 $ .

Zatem do przedziału $(- 3, 52) $ należy $51 - 0 = 51 $ liczb naturalnych.

Jest to jednocześnie liczba ujemnych wyrazów badanego ciągu $(a_{n}) $ .

Zadanie 8

Które wyrazy ciągu $a_{n} = n^{2} - 13 n + 6 $ są niemniejsze od liczby $- 30 $ ? Ile jest takich wyrazów?

Są to wyrazy $a_{n} $ dla $1 \leq n \leq 4 $ oraz dla $n \geq 9 $ .

Wyrazów takich jest nieskończenie wiele.

Musimy zbadać, dla jakich liczb naturalnych $n $ zachodzi nierówność

$a_{n} \geq - 30 $

czyli nierówność

$n^{2} - 13 n + 6 \geq - 30 $

Przenosimy liczbę $- 30 $ z prawej strony nierówności na lewą ze zmienionym znakiem i otrzymujemy nierówność kwadratową

(1) $n^{2} - 13 n + 36 \geq 0 $

Lewa strona nierówności (1) jest trójmianem kwadratowym zmiennej $n $ .

Obliczamy wyróżnik tego trójmianu:

$Δ = 13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25 $

Wyróżnik $Δ $ jest dodatni oraz $\sqrt{Δ} = 5 $ .

Trójmian kwadratowy $n^{2} - 13 n + 36 $ ma dwa miejsca zerowe:

$n_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4 $

$n_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9 $

Rozwiązaniem nierówności $n^{2} - 13 n + 36 \geq 0 $ jest suma przedziałów $(- \infty, 4] \cup [9, \infty) $ .

Do przedziału $(- \infty, 4] $ należą liczby naturalne $n = 1, 2, 3, 4 $ .

Do przedziału $[9, \infty) $ należą wszystkie liczby naturalne $n $ spełniające warunek $n \geq 9 $ .

Ponieważ liczb $n $ spełniających warunek $n \geq 9 $ jest nieskończenie wiele, więc nieskończenie wiele wyrazów ciągu $(a_{n}) $ spełnia podaną w treści zadania nierówność $a_{n} \geq 36 $ .

Zadanie 9

Które wyrazy ciągu $a_{n} = (2 n - 5) (3 n - 16) $ są niedodatnie?

Są to wyrazy $a_{n} $ dla $3 \leq n \leq 5 $ .

Są trzy takie wyrazy: $a_{3}, a_{4}, a_{5} $ .

Musimy zbadać, dla jakich liczb naturalnych $n $ zachodzi nierówność

$a_{n} \leq 0 $

czyli nierówność kwadratowa

$(2 n - 5) (3 n - 16) \leq 0 $

Lewa strona nierówności (1) jest trójmianem kwadratowym zmiennej $n . $

Trójmian ten ma dwa miejsca zerowe:

$n_{1} = \frac{5}{2} $

$n_{2} = \frac{16}{3} $

Rozwiązaniem nierówności $(2 n - 5) (3 n - 16) \leq 0 $ jest przedział $[\frac{5}{2}, \frac{16}{3}] $ .

Ponieważ $2 < \frac{5}{2} < 3 $ , więc najmniejszą liczbą naturalną należącą do przedziału $[\frac{5}{2}, \frac{16}{3}] $ jest $3 $ .

Ponieważ $5 < \frac{16}{3} < 6 $ , więc największą liczbą naturalną należącą do przedziału $[\frac{5}{2}, \frac{16}{3}] $ jest $5 $ .

Do przedziału $[\frac{5}{2}, \frac{16}{3}] $ należą więc liczby $n $ , spełniające warunek $3 \leq n \leq 5 $ , a więc liczby $3, 4, 5 $ .

Ostatecznie widzimy, że wyrazy niedodatnie ciągu $a_{n} = (2 n - 5) (3 n - 16) $ to wyrazy $a_{3}, a_{4}, a_{5} $ .

Ciągi liczbowe

Wyznaczanie wyrazów ciągu

Wyznaczanie wyrazów ciagu, które spełniają podany warunek