Ciąg arytmetyczny

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Pojęcie ciągu arytmetycznego

Obliczmy kilka pierwszych wyrazów ciągu $(a_{n}) $ określonego dla $n \geq 1 $ wzorem $a_{n} = 1 + 3 n $ :

$a_{1} = 1 + 3 \cdot 1 = 4 $

$a_{2} = 1 + 3 \cdot 2 = 7 $

$a_{3} = 1 + 3 \cdot 3 = 10 $

$a_{4} = 1 + 3 \cdot 4 = 13 $

Możemy zauważyć, że każdy następny wyraz naszego ciągu jest o $3 $ większy od wyrazu poprzedniego. Innymi słowy, różnica między każdym wyrazem, a wyrazem go poprzedzającym, jest stała i niezależna od $n $ :

$a_{2} - a_{1} = 7 - 4 = 3 $

$a_{3} - a_{2} = 10 - 7 = 3 $

$a_{4} - a_{3} = 13 - 10 = 3 $

Ciąg $(a_{n}) $ złożony przynajmniej z trzech wyrazów nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli dla wszystkich wyrazów ciągu zachodzi równość:

$a_{n + 1} - a_{n} = r $

gdzie $r $ jest stałą (a więc nie zależy od $n $ ).

Stałą $r $ nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Przykład 1

Ciąg złożony z trzech liczb $4, 9, 14 $ jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ $9 - 4 = 14 - 9. $ Różnica tego ciągu jest równa $5. $

Przykład 2

Ciąg złożony z trzech liczb $6, 7, 10 $ nie jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ $7 - 6 = 1 $ , natomiast $10 - 7 = 3 $ , a więc różnica między poszczególnymi wyrazami ciągu nie jest stała.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy ciąg nieskończony określony dla każdego $n \in N $ wzorem $a_{n} = 3 n - 2 $ , jest ciągiem arytmetycznym.

Musimy w tym celu stwierdzić, czy różnica $a_{n + 1} - a_{n} $ jest stała.

Korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu, możemy napisać:

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) - 2 - (3 n - 2) = 3 n + 3 - 2 - 3 n + 2 = 3 $ .

Widzimy, że różnica $a_{n + 1} - a_{n} $ jest równa $3 $ , a więc jest stała.

Różnicą naszego ciągu jest liczba $3 $ .

Jeżeli znamy pierwszy wyraz $a_{1} $ i różnicę $r $ ciągu arytmetycznego, to możemy wyznaczyć kolejne wyrazy tego ciągu, przeprowadzając następujące proste rozumowanie.

Ponieważ $a_{2} - a_{1} = r $ , więc wyraz drugi jest równy $a_{2} = a_{1} + r $ .

Ponieważ $a_{3} - a_{2} = r $ , więc wyraz trzeci jest równy $a_{3} = a_{2} + r = (a_{1} + r) + r = a_{1} + 2 r $ .

Ponieważ $a_{4} - a_{3} = r $ , więc wyraz czwarty jest równy $a_{4} = a_{3} + r = (a_{1} + 2 r) + r = a_{1} + 3 r $

i tak dalej. Zachodzi następujący wzór (nosi on nazwę wzoru na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego).

Jeżeli $a_{1} $ jest pierwszym wyrazem, a $r $ różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdej liczby naturalnej $n $ wyraz $a_{n} $ tego ciągu wyraża się wzorem:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $

Przykład 4

Wyznaczymy dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego, wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy $- 5 $ oraz że różnica jest równa $2 $ .

Podstawiamy $a_{1} = - 5, n = 20 $ i $r = 2 $ po prawej stronie wzoru $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_{n} = - 5 + (20 - 1) \cdot 2 = - 5 + 19 \cdot 2 = 33 $

Dwudziesty wyraz naszego ciągu jest więc równy $33 $ .

Jeżeli $(a_{n}) $ jest ciągiem arytmetycznym, wówczas

$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} $

Innymi słowy każdy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i wyrazu nastepnego.

Powyższa własność ciągu arytmetycznego pozwala na łatwe sprawdzenie, czy dane kolejno trzy liczby stanowią ciąg arytmetyczny.

Przykład 5

Zbadamy, czy liczby $4, 12, 18 $ tworzą ciąg arytmetyczny.

Średnia arytmetyczna wyrazu pierwszego i trzeciego jest równa $\frac{4 + 18}{2} = \frac{22}{2} = 11. $

Otrzymana wartość $11 $ jest różna od liczby $12, $ będącej drugim wyrazem ciągu.

Wobec tego nasze liczby nie tworzą ciągu arytmetycznego.

Przykład 6

Zbadamy, czy liczby $4, 12, 20 $ tworzą ciąg arytmetyczny.

Średnia arytmetyczna wyrazu pierwszego i trzeciego jest równa $\frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12. $

Otrzymana wartość $12 $ jest równa drugiemu wyrazowi ciągu.

Wobec tego nasze liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 4

Wyznacz trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n}) $ , wiedząc że $a_{5} = 6 $ oraz $a_{1 5} = 11 $ .

$a_{3} = 7 $

Stosujemy dwukrotnie wzór $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy układ równań z niewiadomymi $a_{1} $ i $r $ .

${\begin{array}{lcl} a_{5} & = & a_{1} + (5 - 1) r \\ a_{1 5} & = & a_{1} + (15 - 1) r \end{array} $

czyli:

(1) ${\begin{array}{lcl} 6 & = & a_{1} + 4 r \\ 11 & = & a_{1} + 14 r \end{array} $

Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy kolejno:

$11 - 6 = (a_{1} + 4 r) - (a_{1} + 14 r) $

$5 = 4 r - 14 r $

$5 = - 10 r $

$r = - \frac{1}{2} $

W ten sposób wyznaczyliśmy różnicę ciągu.

Podstawiamy $r = - \frac{1}{2} $ do pierwszego równania w układzie (1) i otrzymujemy kolejno:

$6 = a_{1} + 4 \cdot (- \frac{1}{2}) $

$6 = a_{1} - 2 $

$a_{1} = 8 $

W ten sposób wyznaczyliśmy $a_{1} = 8 $ oraz $r = - \frac{1}{2} $ .

Aby wyznaczyć trzeci wyraz ciągu, stosujemy jeszcze raz wzór $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego dla $n = 3 $ :

$a_{3} = 8 + (3 - 1) \cdot (- \frac{1}{2}) $

$a_{3} = 7 $

Zadanie 5

Wyznacz wartość $x, $ tak aby liczby $3, x, 17 $ tworzyły ciąg arytmetyczny.

$x = 10 $

Metoda I

Aby liczby $3, x, 17 $ tworzyły ciąg arytmetyczny, różnica między wyrazem drugim i pierwszym musi być taka sama, jak różnica między wyrazem trzecim i drugim:

$x - 3 = 17 - x $

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe z niewiadomą $x . $ Rozwiązujemy je:

$x - 3 = 17 - x $

$x + x = 17 + 3 $

$2 x = 20 $

$x = 10 $

Metoda II

Ciąg trzech liczb jest ciagiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy średnia arytmetyczna liczb skrajnych jest równa liczbie środkowej.

W przypadku naszego ciągu $3, x, 17 $ oznacza to, że zachodzi równość:

$\frac{3 + 17}{2} = x $

skąd widzimy, że $x = 10 $ .

Zadanie 6

Wyznacz wartość $x, $ tak aby liczby $5 x - 4, 3 x - 1, x^{2} $ tworzyły ciąg arytmetyczny.

$x = 2 $ lub $x = - 1 $

Aby liczby $5 x - 4, 3 x - 1, x^{2} $ tworzyły ciąg arytmetyczny, różnica między wyrazem drugim i pierwszym musi być taka sama, jak różnica między wyrazem trzecim i drugim:

$(3 x - 1) - (5 x - 4) = x^{2} - (3 x - 1) $

Otrzymujemy stąd kolejno:

$- 2 x + 3 = x^{2} - 3 x + 1 $

$- x^{2} + x + 2 = 0 / \cdot (- 1) $

$x^{2} - x - 2 = 0 $

(pomnomnożyliśmy przedostatnie równanie stronami przez $(- 1) $ w celu uprosczenia dalszych rachunków, jednak nie jest to oczywiście obowiązkowe).

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie kwadratowe $x^{2} - x - 2 = 0. $

Wyznaczamy wyróżnik trójmianu po lewej stronie ostatniego równania:

$Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9 $

Otrzymany wyróżnik jest dodatni, a jego pierwiastek to $\sqrt{Δ} = 3 $ .

Ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego otrzymujemy:

$x_{1} = \frac{- (- 1) - 3}{2} = - 1 $

$x_{2} = \frac{- (- 1) + 3}{2} = 2 $

Tak więc liczby $5 x - 4, 3 x - 1, x^{2} $ tworzą ciąg arytmetyczny dla dwóch wartości $x . $ Sprawdźmy, czy w każdym przypadku rzeczywiście otrzymamy ciąg arytmetyczny.

Dla $x = - 1 $ mamy:

$5 x - 4 = - 9 $

$3 x - 1 = - 4 $

$x^{2} = 1 $

Otrzymane liczby $- 9, - 4, 1 $ rzeczywiście tworzą ciąg arytmetyczny, ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$- 4 - (- 9) = 5 $

$1 - (- 4) = 5 $

Dla $x = 2 $ mamy:

$5 x - 4 = 6 $

$3 x - 1 = 5 $

$x^{2} = 4 $

Otrzymane liczby $4, 5, 6 $ rzeczywiście tworzą ciąg arytmetyczny:

$5 - 4 = 1 $

$6 - 5 = 1 $

Zadanie 7

Liczby $8 $ , $x + 6 $ , $y - 1 $ , $- 7 $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x^{y} $ .

$x^{y} = - \frac{1}{3} $

Metoda I

Oznaczmy przez $r $ różnicę podanego ciągu arytmetycznego.

Widzimy, że liczba $8 $ to jego wyraz pierwszy, a liczba $- 7 $ to jego wyraz czwarty.

Korzystamy ze wzoru na $n $ -ty wyraz $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ ciągu arytmetycznego.

Podstawiamy w nim $n = 4 $ , $a_{1} = 8 $ i $a_{4} = - 7 $ .

$a_{4} = a_{1} + (4 - 1) r $

$- 7 = 8 + 3 r $

$3 r = - 15 $

$r = - 5 $

Widzimy, że różnica naszego ciągu jest równa $- 5 $ .

Odczytujemy z treści zadania, że drugi wyraz ciągu jest równy $x + 6 $ .

Na podstawie definicji $a_{n + 1} = a_{n} + r $ ciągu arytmetycznego możemy napisać:

$a_{2} = a_{1} + r $

Ponieważ w naszym przypadku $a_{1} = 8 $ oraz $a_{2} = x + 6 $ , więc

$x + 6 = 8 - 5 $

Otrzymujemy stąd

$x = - 3 $

Podobnie, z treści zadania odczytujemy, że $a_{3} = y - 1 $ oraz $a_{4} = - 7 $ .

Na podstawie definicji $a_{n + 1} = a_{n} + r $ ciągu arytmetycznego możemy w tym przypadku napisać:

$a_{4} = a_{3} + r $

Podstawiamy $a_{4} = - 7 $ , $a_{3} = y - 1 $ , $r = 5 $ :

$- 7 = y - 1 - 5 $

Otrzymujemy stąd

$y = - 1 $

Wyznaczyliśmy w ten sposób $x = 7 $ i $y = - 1 $ .

Wyrażenie $x^{y} $ , które mamy wyznaczyć, jest więc równe

$x^{y} = {(- 3)}^{- 1} = - \frac{1}{3} $

Metoda II

Oznaczamy w podanym ciągu:

$a_{1} = 8 $

$a_{2} = x + 6 $

$a_{3} = y - 1 $

$a_{4} = - 7 $

W ciągu arytmetycznym różnica między wyrazem następnym i poprzednim jest stała. Możemy więc napisać:

$(x + 6) - 8 = (y - 1) - (x + 6) $

oraz

$(y - 1) - (x + 6) = - 7 - (y - 1) $

Po przekształceniu każdego z równań powyżej otrzymujemy układ równań:

${\begin{matrix} 2 x - y & = & - 5 \\ - x + 2 y & = & 1 \end{matrix} $

Wyznaczamy z pierwszego równania $y $ :

$y = 2 x + 5 $

i podstawiamy do drugiego:

$- x + 2 (2 x + 5) = 1 $

$3 x + 10 = 1 $

$x = - 3 $

Podstawiamy $x = - 3 $ do wyznaczonej wcześniej zależności $y = 2 x + 5 $ i otrzymujemy:

$y = 2 \cdot (- 3) + 5 $

$y = - 1 $

$x^{y} = {(- 3)}^{- 1} $

$x = x^{y} = - \frac{1}{3} $

Zadanie 8

Najstarszy z trzech braci jest dwa razy starszy od najmłodszego. Średni brat ma $12 $ lat. Wiek braci w latach (od najmłodszego do najstarszego) jest ciągiem arytmetycznym. W jakim wieku są najmłodszy i najstarszy z braci?

Najmłodszy brat ma osiem, a najstarszy szesnaście lat.

Oznaczmy wiek (w latach) najmłodszego brata przez $x $ .

Wówczas wiek najstarszego brata (dwa razy starszego od najmłodszego) to $2 x $ .

Z treści zadania odczytujemy, że liczby $x, 12, 2 x $ tworzą ciąg arytmetyczny.

Wobec tego musi zachodzić równość:

$\frac{x + 2 x}{2} = 12 $

Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą $x $ . Rozwiązujemy je:

$\frac{x + 2 x}{2} = 12 $

$\frac{3 x}{2} = 12 $

$3 x = 24 $

$x = 8 $

Tak więc najmłodszy brat ma osiem lat, a najstarszy (dwa razy starszy od najmłodszego) ma szesnaście lat.

Zadanie 9

Ojciec z synem umówili się, że kieszonkowe syna (otrzymywane raz w miesiącu) będzie $1 $ stycznia każdego roku zwiększane o stałą kwotę. We wrześniu $2013 $ kieszonkowe wyniosło $125 $ złotych, a w marcu $2015 $ syn otrzymał $185 $ złotych kieszonkowego. Ile wynosi coroczna podwyżka kieszonkowego?

Coroczna podwyżka kieszonkowego wynosi $30 $ złotych.

Z treści zadania odczytujemy, że w omawianym okresie między wrześniem $2013 $ i marcem $2015 $ miały miejsce dwie podwyżki kieszonkowego: pierwsza $1 $ stycznia $2014 $ , druga $1 $ stycznia $2015 $ .

Kwoty kieszonkowego w kolejnych latach tworzą ciąg arytmetyczny, ponieważ kieszonkowe w roku $n + 1 $ jest większe od kieszonkowego w roku $n $ o stałą wartość.

Oznaczmy przez $r $ różnicę tego ciągu arytmetycznego.

Pierwszy wyraz naszego ciągu to $125. $ Tyle wynosiło kieszonkowe w roku $2013 $ .

Drugi wyraz naszego ciągu to $125 + r . $ Tyle wynosiło kieszonkowe w roku $2014 $ .

Trzeci wyraz naszego ciągu to $(125 + r) + r = 125 + 2 r . $ Tyle wynosiło kieszonkowe w roku $2015 $ .

W treści zadania podano, że kieszonkowe w roku $2015 $ wynosiło $185 $ zł.

Zachodzi więc równość:

$125 + 2 r = 185 $

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie z niewiadomą $r $ . Rozwiązujemy to równanie:

$125 + 2 r = 185 $

$2 r = 185 - 125 $

$2 r = 60 $

$r = 30 $

Ostatecznie widzimy, że coroczna podwyżka kieszonkowego wynosila $30 $ zł.

Zadanie 10

W ciągu arytmetycznym $(a_{n}) $ określonym dla $n \geq 1 $ dany jest pierwszy wyraz $a_{1} = 4 $ i różnica $r = - 2 $ . Którym wyrazem ciągu jest liczba $- 22 $ ?

Liczba $- 22 $ jest czternastym wyrazem ciągu.

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Podstawiamy do niego:

$a_{n} = - 22 $

$a_{1} = 4 $

$r = - 2 $

Mamy więc:

$- 22 = 4 + (n - 1) \cdot (- 2) $

Musimy wyznaczyć $n $ .

Rozwiązujemy otrzymane powyżej równanie z niewiadomą $n $ :

$- 22 = 4 + (n - 1) \cdot (- 2) $

$- 22 = 4 - 2 n + 2 $

$- 28 = - 2 n $

$n = 14 $

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Popatrzmy na ciąg kolejnych liczb parzystych $2, 4, 6, \dots $ . Wyraz ogólny tego ciągu można określić wzorem:

$a_{n} = 2 n $

Wyobraźmy sobie, że zaczynamy sumować kolejne wyrazy tego ciągu:

$a_{1} = 2 $

$a_{1} + a_{2} = 2 + 4 = 6 $

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 4 + 6 = 12 $

Jeżeli $(a_{n}) $ jest dowolnym ciągiem liczbowym, to wyrażenie

$S_{n} = a_{1} + a_{2} \dots + a_{n} $

nazywamy sumą $n $ początkowych wyrazów ciągu.

Przykład 7

Obliczymy kilka sum wyrazów początkowych ciągu $3, 5, 7, 9, \dots $ .

Zgodnie z definicją powyżej mamy kolejno:

$S_{1} = a_{1} = 3 $

$S_{2} = a_{1} + a_{2} = 3 + 5 = 7 $

$S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 + 5 + 7 = 15 $

$S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 3 + 5 + 7 + 9 = 24 $

Zauważmy, że obliczanie kolejnych sum w powyższym przykładzie nie wymagało tak naprawdę za każdym razem sumowania wyrazów naszego ciągu od samego początku. Rzeczywiście, można spostrzec następujące zależności:

$S_{2} = a_{1} + a_{2} = S_{1} + a_{2} $

$S_{3} = \overset{S_{2}}{\overset{⏞}{a_{1} + a_{2}}} + a_{3} = S_{2} + a_{3} $

$S_{4} = \overset{S_{3}}{\overset{⏞}{a_{1} + a_{2} + a_{3}}} + a_{4} = S_{3} + a_{4} $

i tak dalej.

Odkryliśmy następujący ogólny fakt.

Jeżeli $(a_{n}) $ jest ciągiem liczbowym, a $S_{n} $ oznacza sumę jego początkowych $n $ wyrazów, to dla każdego $n \in N $ zachodzi równość

$S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1} $

W przypadku ciagu arytmetycznego istnieje wzór pozwalający na obliczenie sumy początkowych $n $ wyrazów tego ciągu na podstawie znajomości wyrazu $a_{1} $ , wyrazu $a_{n} $ oraz liczby $n $ .

Jeżeli $(a_{n}) $ jest ciągiem arytmetycznym, to suma jego $n $ początkowych wyrazów jest równa

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n $

Przykład 8

Wyznaczymy sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie pierwszym $a_{1} = - 7 $ i różnicy $r = 4 $ .

Na podstawie wzoru $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać:

$a_{8} = - 7 + (8 - 1) \cdot 4 = 21 $

Wobec tego suma ośmiu początkowych wyrazów naszego ciągu jest równa:

$S_{8} = \frac{a_{1} + a_{8}}{2} \cdot 8 = \frac{- 7 + 21}{2} \cdot 8 = 56 $

Przykład 9

Sprawdzimy, jaka musi być różnica $r $ ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 4 $ , aby suma jego pięciu początkowych wyrazów była większa od $60 $ .

Ze wzoru $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego wynika, że piąty wyraz naszego ciągu jest równy

$a_{5} = 4 + (5 - 1) r = 4 r + 4 $

Chcemy sprawdzić, jaka musi być wartość $r $ , aby suma $S_{5} $ pięciu początkowych wyrazów naszego ciągu była większa od $60 $ . Stosujemy wzór $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n $ na sumę $n $ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy:

$S_{5} = \frac{a_{1} + a_{5}}{2} \cdot 5 = \frac{4 + (4 r + 4)}{2} \cdot 5 = 10 r + 20 $

Szukamy takiego $r $ , aby zachodziła nierówność $S_{5} > 60 $ , a więc

$10 r + 20 > 60 $

$10 r > 60 - 20 $

$10 r > 40 $

$r > 4 $

Widzimy, że aby suma pięciu początkowych wyrazów naszego ciągu była większa od $60 $ , różnica tego ciągu musi być większa od $4 $ .

Zadanie 13

W ciągu arytmetycznym mamy podany wyraz $a_{1 6} = 31 $ . Suma szesnatu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $256 $ . Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę $r $ tego ciągu.

$a_{1} = 1 $

$r = 2 $

Na podstawie wzoru $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n $ na sumę $n $ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy napisać:

$S_{1 6} = \frac{a_{1} + a_{1 6}}{2} \cdot 16 $

Z treści zadania odczytujemy, że $S_{1 6} = 256 $ oraz $a_{1 6} = 31 $ . Podstawiamy te wartości do równości $S_{1 6} = \frac{a_{1} + a_{1 6}}{2} \cdot 16 $ i przekształcamy otrzymane równanie z niewiadomą $a_{1} $ :

$256 = \frac{a_{1} + 31}{2} \cdot 16 $

$256 = 8 (a_{1} + 31) $

$256 = 8 a_{1} + 248 $

$8 = 8 a_{1} $

$a_{1} = 1 $

W ten sposób wyznaczyliśmy pierwszy wyraz ciągu.

Aby wyznaczyć różnicę naszego ciągu, wykorzystamy fakt, że znamy wyrazy $a_{1} = 1 $ i $a_{1 6} = 31 $ .

Stosujemy wzór $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r $ na $n $ -ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy:

$a_{1 6} = a_{1} + (16 - 1) r $

$31 = 1 + 15 r $

$30 = 15 r $

$r = 2 $

W ten sposób wyznaczyliśmy różnicę naszego ciągu. Rozwiązanie zadania jest kompletne.