Ciąg geometryczny

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Definicja ciągu geometrycznego i jego własności

Ciąg $(a_{n}) $ złożony przynajmniej z trzech wyrazów nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli $a_{1} \neq 0 $ i dla dowolnej liczby naturalnej $n $ zachodzi równość:

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $

gdzie $q $ jest stałą niezależną od $n $ .

Stałą $q $ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego $(a_{n}) $ .

Termin iloraz użyty w definicji powyżej można wytłumaczyć w ten sposób, że jeśli $q \neq 0 $ , to równość podaną w definicji powyżej można przepisać jako

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q $

Przykład 1

Ciąg złożony z trzech liczb $4, 8, 16 $ jest ciągiem geometrycznym, ponieważ $\frac{8}{4} = \frac{16}{8} = 2 $ . Iloraz tego ciągu wynosi $2 $ .

Przykład 2

Ciąg złożony z trzech liczb $4, 8, 24 $ nie jest ciągiem geometrycznym, ponieważ $\frac{8}{4} = 2 $ , natomiast $\frac{24}{8} = 3 $ , a więc iloraz kolejnych wyrazów ciągu nie jest stały.

Przykład 3

Ciąg $(1, 4, 16, 64, 256, \dots) $ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $4 $ . Rzeczywiście, możemy napisać:

$4 = 1 \cdot 4 $

$16 = 4 \cdot 4 $

$64 = 16 \cdot 4 $

$256 = 64 \cdot 4 $

i tak dalej.

Przykład 4

Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego jest równy zeru, to wszystkie jego wyrazy począwszy od drugiego są róne zeru:

$a_{2} = a_{1} \cdot 0 = 0 $

$a_{3} = a_{2} \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0 $

i tak dalej.

Przykład 5

Sprawdzimy, czy ciąg nieskończony określony dla każdego $n \in N $ wzorem $a_{n} = 3 \cdot 2^{n} $ jest ciągiem geometrycznym.

Musimy w tym celu stwierdzić, czy iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} $ jest stały (nie zależy od $n $ ).

Korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu, możemy napisać:

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n + 1}}{3 \cdot 2^{n}} = \frac{2^{n + 1}}{2^{n}} = 2 $

Widzimy, że iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} $ jest równy $2 $ , a więc jest stały.

Jest to iloraz naszego ciągu.

Wzór na wyraz ogólny ciagu geometrycznego

Jeżeli znamy pierwszy wyraz $a_{1} $ i różnicę $r $ ciągu geometrycznego, to możemy wyznaczyć kolejne wyrazy tego ciągu, przeprowadzając następujące proste rozumowanie.

Drugi wyraz to $a_{2} = a_{1} q $ .

Trzeci wyraz to $a_{3} = \overset{a_{1} q}{\overset{⏞}{a_{2}}} q = a_{1} q^{2} $ .

Czwarty wyraz to $a_{4} = \overset{a_{1} q^{2}}{\overset{⏞}{a_{3}}} q = a_{1} q^{3} $

i tak dalej. Zachodzi następujący wzór (nosi on nazwę wzoru na $n $ -ty wyraz ciągu geometrycznego).

Jeżeli $a_{1} $ jest pierwszym wyrazem, a $q $ ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego $n \in N $ zachodzi równość:

$a_{n} = a_{1} q^{n - 1} $

Przykład 6

Wyznaczymy piąty wyraz ciągu geometrycznego, wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy $2 $ oraz że iloraz jest równa $\frac{1}{2} $ .

Podstawiamy $a_{1} = 2, q = \frac{1}{2}, n = 5 $ do wzoru na $n $ -ty wyraz ciągu geometrycznego i otrzymujemy:

$a_{5} = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} $

Piąty wyraz naszego ciągu jest równy $\frac{1}{16} $ .

Kiedy ciąg geometryczny jest rosnący, a kiedy malejący?

W treści wielu zadań na temat ciągu geometrycznego pojawia się założenie, że ciąg jest rosnący $\underset{n \in N}{\land} a_{n + 1} > a_{n} $ lub założenie, że jest malejący $\underset{n \in N}{\land} a_{n + 1} < a_{n} $ .

Warto uświadomić sobie, co można wywnioskować z takiej informacji.

Przykład 7

Ciąg $2, 6, 18, \dots $ ma pierwszy wyraz równy $2 $ i iloraz równy $3. $

Ciąg ten jest rosnący.

Wszystkie jego wyrazy są dodatnie.

Przykład 8

Ciąg $2, 1, \frac{1}{2}, \dots $ ma pierwszy wyraz równy $2 $ i iloraz równy $\frac{1}{2} . $

Ciąg ten jest malejący.

Wszystkie jego wyrazy są dodatnie.

Przykład 9

Ciąg $- 2, - 6, - 18, \dots $ ma pierwszy wyraz równy $- 2 $ i iloraz równy $3. $

Ciąg ten jest malejacy.

Wszystkie jego wyrazy ciągu ujemne.

Przykład 10

Ciąg $- 2, - 1, - \frac{1}{2}, \dots $ ma pierwszy wyraz równy $- 2 $ i iloraz równy $\frac{1}{2} . $

Ciąg ten jest rosnący.

Wszystkie jego wyrazy są ujemne.

Gdy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest dodatni, a iloraz ciągu jest liczbą większą od $1 $ , to można zauważyć, że:

– drugi wyraz jest większy od pierwszego:

$a_{2} = a_{1} q > a_{1} $

– trzeci wyraz jest większy od drugiego:

$a_{3} = a_{2} q > a_{2} $

i tak dalej.

Taki ciąg jest rosnący, ponieważ każdy jego następny wyraz powstaje przez pomnożenie liczby dodatniej (wyraz poprzedni) przez liczbę większą od $1 $ (iloraz).

W podobny sposób można uzasadnić, że gdy $a_{1} > 0 $ i $0 < q < 1 $ , to taki ciąg jest malejący i ma wszystkie wyrazy dodatnie.

W ogólnym przypadku monotoniczność ciągu geometrycznego i znaki wszystkich jego wyrazów zależą w następujący sposób od $a_{1} $ i $q $ :

$\begin{array}{lcrl} a_{1} > 0, q > 1 & ⟹ & (a_{n}) jest rosnący i & \underset{n \in N}{\land} a_{n} > 0 \\ a_{1} > 0, 0 < 1 < q & ⟹ & (a_{n}) jest malejący i & \underset{n \in N}{\land} a_{n} > 0 \\ a_{1} < 0, q > 1 & ⟹ & (a_{n}) jest malejący i & \underset{n \in N}{\land} a_{n} < 0 \\ a_{1} < 0, 0 < 1 < q & ⟹ & (a_{n}) jest rosnący i & \underset{n \in N}{\land} a_{n} < 0 \end{array} $

Uwaga: nie ucz się powyższych zależności na pamięć! Zastosuj taktykę przedstawioną w poniższym przykładzie.

Przykład 11

Przypuśćmy, że zadanie zaczyna się od sformułowania "Rosnący ciąg geometryczny o piątym wyrazie równym $6 $ ...".

Co możesz powiedzieć o takim ciągu?

Skoro ciąg jest rosnący $\underset{n \in N}{\land} a_{n + 1} > a_{n} $ , to znaczy, że wyraz szósty musi być większy od wyrazu piątego (czyli liczby $6 $ ).

To z kolei oznacza, że wyraz piąty (czyli liczba $6 $ ) musi być pomnożony przez liczbę większą od $1 $ .

Zatem iloraz tego ciągu musi być większy od $1 $ .

Taktyka taka przydaje się na przykład przy rozwiązaniu poniższego zadania.

Przykład 12

O rosnącym ciągu geometrycznym wiemy, że:

– pierwszy wyraz jest równy $2 $

– suma początkowych trzech wyrazów jest równa $62 $ .

Wyznacz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie. Oznaczmy szukany iloraz przez $q $ .

Pierwszy wyraz ciągu to $2 $ .

Drugi wyraz ciągu to $2 q $ .

Trzeci wyraz ciągu to $2 q^{2} $ .

Z treści zadania wynika, że

$2 + 2 q + 2 q^{2} = 62 $

czyli, po uporządkowaniu,

$q^{2} + q - 30 = 0 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Jego wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ jest równy:

$Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) $

$Δ = 121 $

Wyróżnik ten jest dodatni oraz $\sqrt{Δ} = 11 $ .

Równanie ma $q^{2} + q - 30 = 0 $ ma dwa rozwiązania: $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

$q_{1} = \frac{- 1 - 11}{2} = - 6 $

$q_{2} = \frac{- 1 + 11}{2} = 5 $

Ponieważ ciąg jest rosnący i jego pierwszy wyraz jest dodatni, więc wartość $q_{1} = - 6 $ musimy odrzucić.

Inaczej drugi wyraz byłby ujemny, a więc ciąg nie byłby rosnący.

Pozostaje rozwiązanie $q_{2} = 5 $ . Jest to szukany iloraz ciągu.

Popatrzmy na koniec, jak wyglądają nasze liczby.

Pierwsza z nich to $2 $ .

Druga z nich to $2 \cdot 5 = 10 $ .

Trzecia z nich to $10 \cdot 5 = 50 $ .

Suma wszystkich trzech liczb to $2 + 10 + 50 = 62 $ , a więc wszystko się zgadza.

Zadanie 4

W ciągu geometrycznym $(a_{n}) $ wyraz szósty jest równy $- 243 $ , a wyraz trzeci jest równy $9 $ . Wyznacz drugi wyraz tego ciągu.

$a_{2} = - 3 $

Z treści zadania odczytujemy, że:

$a_{3} = 9 $

$a_{6} = - 243 $

We wzorze $a_{n} = a_{1} q^{n - 1} $ na $n $ -ty wyraz ciągu geometrycznego podstawiamy najpierw $n = 3 $ :

$a_{3} = a_{1} q^{3 - 1} $

a następnie $n = 6 $ :

$a_{6} = a_{1} q^{6 - 1} $

W treści zadania podano, że $a_{3} = 9 $ oraz $a_{6} = - 243 $ . Otrzymujemy więc układ równań

${\begin{matrix} 9 & = & a_{1} q^{2} \\ - 243 & = & a_{1} q^{5} \end{matrix} $

w którym niewiadomymi są $q $ i $a_{1} $ .

Dzielimy stronami drugie z równań przez pierwsze:

$\frac{- 243}{9} = \frac{a_{1} q^{5}}{a_{1} q^{2}} $

$- 27 = \frac{q^{5}}{q^{2}} = q^{5 - 2} $

$- 27 = q^{3} $

$q = \sqrt[3]{- 27} = - 3 $

W ten sposób wyznaczyliśmy iloraz naszego ciągu.

W równaniu $9 = a_{1} q^{2} $ (jest to pierwsze równanie w układzie powyżej) podstawiamy $q = - 3 $ :

$9 = a_{1} \cdot {(- 3)}^{2} $

$9 = - 9 a_{1} $

$a_{1} = - 1 $

Znamy więc wyraz $a_{1} = - 1 $ i iloraz $q = - 3 $ .

Wyraz drugi jest równy

$a_{2} = a_{1} \cdot q = (- 1) \cdot (- 3) = 3 $

Nie musieliśmy nawet stosować wzoru $a_{n} = a_{1} q^{n - 1} $ na $n $ -ty wyraz ciągu geometrycznego, ponieważ z samej definicji takiego ciagu wynika, że $\frac{a_{2}}{a_{1}} = q $ .

Tak więc drugi wyraz omawianego ciągu jest równy $3 $ .

Ostatnie zadanie powyżej jest jednym z tych, w których w ciągu geometrycznym trzeba wyznaczyć któryś z jego wyrazów, znając dwa inne wyrazy. Czasami dane w zadaniu są tak dobrane, że nie trzeba stosować na

n ​

-ty wyraz takiego ciągu, a tylko samą jego definicję. Następne zadanie jest przykładem takiej sytuacji. Jego rozwiązanie może się na pierwszy rzut oka wydać sztuczne, ale wcale takie nie jest! Ono sprytnie wykorzystuje fakt, że występujące w nim wyrazy ciągu geometrycznego mają bliskie sobie wskaźniki.

Zadanie 5

Wyznacz trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n}) $ , wiedząc, że $a_{5} = - \frac{1}{8} $ oraz $a_{7} = - \frac{1}{32} $ .

Zauważmy, co jest w zadaniu dane, a co szukane. Mamy podane wyrazy $a_{5} $ i $a_{7} $ , natomiast szukamy wyrazu $a_{3} $ . Wskaźniki wszystkich tych wyrazów to kolejno $3, 5, 7 $ . Liczby te są położone tak blisko siebie, że nasze zadanie da się rozwiązać bardzo prostym sposobem.

Oznaczmy przez $q $ iloraz naszego ciągu. Możemy wyraz $a_{7} $ zapisać tak:

$a_{7} = a_{6} \cdot q = \overset{a_{6}}{\overset{⏞}{(a_{5} \cdot q)}} \cdot q = a_{5} \cdot q^{2} $

Zatem

$q^{2} = \frac{a_{7}}{a_{5}} $

a oba wyrazy po prawej stronie są dane.

Nie obliczajmy jednak $q $ ! Zauważmy, że możemy podobnie napisać:

$a_{5} = a_{4} \cdot q = \overset{a_{4}}{\overset{⏞}{(a_{3} \cdot q)}} \cdot q = a_{3} \cdot q^{2} $

tak więc mamy równość

$a_{5} = a_{3} \cdot q^{2} $

skąd wyznaczamy

$a_{3} = \frac{a_{5}}{q^{2}} $

Ponieważ wcześniej otrzymaliśmy równość $q^{2} = \frac{a_{7}}{a_{5}} $ , więc możemy ją teraz wykorzystać do znalezienia $a_{3} $ bez konieczności wyznaczania $q $ :

$a_{3} = \frac{a_{5}}{q^{2}} = \frac{a_{5}}{\frac{a_{7}}{a_{5}}} = \frac{{(a_{5})}^{2}}{a^{7}} $

$a_{3} = \frac{{(- \frac{1}{8})}^{2}}{- \frac{1}{32}} = - \frac{1}{2} $

W ten sposób widzimy, że stosując wyłącznie definicję ciągu geometrycznego umieliśmy wyrazić szukany wyraz przez wyrazy dane, nie obliczając wcale ani wyrazu pierwszego, ani ilorazu naszego ciągu, tak jak to robiliśmy w zadaniu poprzednim.

Zadanie 6

Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny. Najmniejsza z nich jest równa $3 $ . Ich suma jest równa $21 $ . Wyznacz te liczby.

Iloraz tego ciągu jest równy $2 $ .

W rozwiązaniu wykorzystamy wyłącznie warunek $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $ stanowiący definicję ciągu geometrycznego. Nie będą potrzebne żadne inne wzory.

Niech $q $ oznacza iloraz ciągu geometrycznego tworzonego przez trzy liczby.

Pierwszy wyraz ciągu to $3 $ .

Drugi wyraz jest zatem równy $3 q $ .

Wreszcie trzeci wyraz jest równy $3 q^{2} $ .

W treści zadania podano, że suma wszystkich trzech liczb jest równa $21 $ . Możemy więc napisać:

$3 + 3 q + 3 q^{2} = 21 $

Przekształcamy otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą $q $ :

$3 q^{2} + 3 q - 18 = 0 $

$q^{2} + q - 6 = 0 $

Rozwiązujemy ostatnie równanie.

Jego wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ to

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25 $

Otrzymany wyróżnik jest dodatni oraz $\sqrt{Δ} = 5 $ .

Równanie $q^{2} + q - 6 = 0 $ ma dwa rozwiązania: $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

$q_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3 $

$q_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 $

Ponieważ ciąg jest rosnący i jego pierwszy wyraz jest dodatni, więc wartość $q_{1} = - 3 $ musimy odrzucić.

Drugie rozwiązanie, czyli $q_{2} = 2 $ jest szukanym ilorazem naszego ciągu.

Wobec tego nasze liczby to:

$3 $ (podana w treści zadania)

$3 \cdot 2 = 6 $

$6 \cdot 2 = 12 $

Możemy sprawdzić, że, że suma otrzymanych liczb rzeczywiście równa jest $21 $ :

$3 + 6 + 12 = 21 $

Zadanie 7

Państwo Kowalscy mają troje dzieci, których wiek w latach opisują liczby tworzące ciąg geometryczny. Dzieci mają w sumie $19 $ lat, a najstarsze jest dziewięciolatkiem. Ile lat ma każde dziecko?

Dzieci są wieku $4, 6, 9 $ lat (licząc w kolejności od najmłodszego).

Skorzystamy z definicji $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $ ciągu geometrycznego.

Ponieważ

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $ ,

więc

$a_{n} = \frac{a_{n + 1}}{q} $ .

Oznaczmy przez $q $ iloraz ciągu geometrycznego, który stanowią liczby opisujące wiek dzieci.

Z treści zadania odczytujemy, że najstarsze dziecko ma $9 $ lat.

Wobec tego średnie dziecko ma $\frac{9}{q} $ lat.

Najmłodsze dziecko ma zatem $\frac{9}{q^{2}} $ (dlaczego?) $\frac{\frac{9}{q}}{q} = \frac{9}{q^{2}} $ lat.

Suma lat wszystkich dzieci jest równa $19 $ . Możemy więc napisać:

$\frac{9}{q^{2}} + \frac{9}{q} + 9 = 19 $

Przekształcamy otrzymane równanie:

$\frac{9}{q^{2}} + \frac{9}{q} + 9 = 19 : / q^{2} $

$9 + 9 q + 9 q^{2} = 19 q^{2} $

$10 q^{2} - 9 q - 9 = 0 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą $q . $

Wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ trójmianu $10 q^{2} - 9 q - 9 $ jest równy:

$Δ = {(- 9)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 9) = 441 $

Wyróżnik jest dodatni oraz $\sqrt{Δ} = 21 $ .

Równanie $10 q^{2} - 9 q - 9 = 0 $ ma dwa rozwiązania: $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

$q_{1} = \frac{- (- 9) - 21}{2 \cdot 10} = - \frac{3}{5} $

$q_{2} = \frac{- (- 9) + 21}{2 \cdot 10} = \frac{3}{2} $

Rozwiązanie $q_{1} = - \frac{3}{5} $ odrzucamy, ponieważ rozpatrywany ciąg jest rosnący (wiek dzieci podany jest w kolejności od najmłodszego do najstarszego).

Pozostaje rozwiązanie $q_{2} = \frac{3}{2} $ . Jest to iloraz naszego ciągu.

Ostatecznie liczby opisujące wiek dzieci w latach:

$\frac{9}{{(\frac{3}{2})}^{2}} = 4 $

$\frac{9}{\frac{3}{2}} = 6 $

$9 $ (podany w treści zadania).