Funkcja liniowa

Zadanie 1

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji $y = - 2 x + 6 $ i przechodzi przez punkt $A = (1, - 1) $ .

$y = - 2 x + 1 $

Wykorzystamy warunek równoległości $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ∥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} $ prostych.

Funkcja podana w zadaniu ma wzór

$y = - 2 x + 6 $

Wobec tego funkcja liniowa o równoległym wykresie ma wzór postaci

$y = - 2 x + b $

Musimy wyznaczyć $b $ .

Stosujemy warunek wykres funkcji $f $ przechodzi przez punkt $(x_{0}, y_{0}) $ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (x_{0}) = y_{0} $ należenia punktu płaszczyzny do wykresu funkcji.

Podany w zadaniu punkt to $A = (1, - 1) $ .

Punkt ten należy do wykresu szukanej funkcji $y = - 2 x + b $ wtedy i tylko wtedy, gdy

$- 2 \cdot 1 + b = - 1 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $b $ :

$- 2 + b = - 1 $

$b = 1 $

Wzór szukanej funkcji to $y = - 2 x + 1 $ (lub w innym zapisie $f (x) = - 2 x + 1 $ )

Zadanie 2

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji $y = 4 x - 1 $ i przechodzi przez punkt $A = (\frac{1}{2}, 6) $ .

$y = \frac{1}{2} x + 4 $

Wykorzystamy warunek równoległości $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ∥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} $ prostych.

Funkcja podana w zadaniu ma wzór

$y = 4 x - 1 $

Wobec tego funkcja liniowa o równoległym wykresie ma wzór postaci

$y = 4 x + b $

Musimy wyznaczyć $b $ .

Stosujemy warunek wykres funkcji $f $ przechodzi przez punkt $(x_{0}, y_{0}) $ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (x_{0}) = y_{0} $ należenia punktu płaszczyzny do wykresu funkcji.

Podany w zadaniu punkt to $A = (\frac{1}{2}, 6) $ .

Punkt ten należy do wykresu szukanej funkcji $y = 4 x + b $ wtedy i tylko wtedy, gdy

$4 \cdot \frac{1}{2} + b = 6 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $b $ :

$2 + b = 6 $

$b = 4 $

Wzór szukanej funkcji to $y = 4 x + 4 $ (lub w innym zapisie $f (x) = 4 x + 4 $ ).

Zadanie 3

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji $y = \frac{1}{3} x - 2 $ i przechodzi przez punkt $A = (0, 10) $ .

$y = - 3 x + 10 $

Funkcja podana w zadaniu ma wzór

$y = \frac{1}{3} x - 2 $

Napiszmy ogólny wzór szukanej funkcji liniowej o wykresie prostopadłym do wykresu funkcji danej:

$y = a x + b $

Z warunku prostopadłości $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} \cdot a_{2} = - 1 $ prostych wynika, że

$\frac{1}{3} \cdot a = - 1 $

a więc $a = - 3 $ .

Wzór szukanej funkcji ma więc postać

$y = - 3 x + b $

Musimy jeszcze wyznaczyć $b $ , wiedząc, że wykres szukanej funkcji przechodzi przez punkt $A = (0, 10) $ .

Metoda I (uniwersalna)

Stosujemy warunek wykres funkcji $f $ przechodzi przez punkt $(x_{0}, y_{0}) $ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (x_{0}) = y_{0} $ należenia punktu płaszczyzny do wykresu funkcji.

Podany w zadaniu punkt to $A = (0, 10) $ .

Punkt ten należy do wykresu szukanej funkcji $y = - 3 x + b $ wtedy i tylko wtedy, gdy

$- 3 \cdot 0 + b = 10 $

Widzimy stąd, że $b = 10 $ .

Wzór szukanej funkcji to $y = - 3 x + 10 $ (lub w innym zapisie $f (x) = - 3 x + 10 $ )

Metoda II (przydatna dzięki szczególnym danym w zadaniu)

Zauważamy, że pierwsza współrzędna punktu $A = (0, 10) $ jest równa zeru.

Przypomnijmy, że we wzorze funkcji liniowej $y = a x + b $ wyraz wolny $b $ to wartość funkcji w punkcie $x = 0 $ , ponieważ $a \cdot 0 + b = b $ .

Skoro wzór naszej funkcji to $y = - 3 x + b $ oraz do wykresu należy punkt $A = (0, 10) $ , więc wyraz wolny $b $ musi być równy drugiej współrzędnej tego punktu. W ten sposób otrzymujemy wzór naszej funkcji bez obliczeń, przez zwykłe "przeczytanie" drugiej współrzędnej punktu $A $ :

$y = - 3 x + 10 $

Zadanie 4

Wyznacz wartości parametru $m $ , dla których funkcja $f (x) = (3 - m) x + 9 $ jest rosnąca.

Funkcja $f $ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy $m < 3 $ .

W innym zapisie: $m \in (- \infty, 3) $ .

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b $ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy $a > 0 $ .

Wobec tego $f (x) = (3 - m) x + 9 $ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy

$3 - m > 0 $

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność z niewiadomą $m $ :

$3 - m > 0 $

$m < 3 $

Zadanie 5

Wyznacz wartości parametru $m $ , dla których funkcja $f (x) = (0.6 - 2 m) x - 5 $ jest malejąca.

Funkcja $f $ jest malejąca rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy $m > 0.3 $ .

W innym zapisie: $m \in (0.3, \infty) $ .

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy $a < 0 $ .

Wobec tego $f (x) = (0.6 - 2 m) x - 5 $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy

$0.6 - 2 m < 0 $

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność z niewiadomą $m $ :

$0.6 - 2 m < 0 $

$0.6 < 2 m $ /: $2 $ (nie zmieniamy kierunku nierówności)

$\frac{0.6}{2} < m $

$0.3 < m $

Ostatecznie widzimy, że badana funkcja $f (x) = (0.6 - 2 m) x - 5 $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy $m > 0.3 $ .

W innym zapisie: $m \in (0.3, \infty) $ .

Zadanie 6

Wyznacz wartości parametru $m $ , dla których funkcja $f (x) = (m^{2} - 4) x - 5 $ jest malejąca.

Funkcja $f $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy $- 2 < m < 2 $ .

W innym zapisie: $m \in (- 2, 2) $ .

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy $a < 0 $ .

Wobec tego $f (x) = (m^{2} - 4) x - 5 $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy

$m^{2} - 4 < 0 $

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową z niewiadomą $m $ :

$m^{2} - 4 < 0 $

$(m - 2) (m + 2) < 0 $

$- 2 < m < 2 $ (jeśli się teraz zgubiłeś, odwiedź stronę "Nierówności kwadratowe").

Ostatecznie widzimy, że nasza funkcja $f (x) = (m^{2} - 4) x - 5 $ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy $- 2 < m < 2 $ .

W innym zapisie: $m \in (- 2, 2) $ .