Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.
Równania takie, jak:
noszą nazwę równań liniowych. Równanie liniowe łatwo rozpoznać po tym, że każda jego strona jest wyrażeniem określającym funkcję liniową zmiennej , która jest niewiadomą w równaniu.
W równaniu lewa strona jest funkcją liniową a prawa strona funkcją liniową stałą
W równaniu lewa strona jest funkcją liniową a prawa strona funkcją liniową stałą
W równaniu lewa strona jest funkcją liniową a prawa strona funkcją liniową
Równanie liniowe albo nie ma rozwiązań, albo ma dokładnie jedno rozwiązanie, albo każda liczba rzeczywista jest jego rozwiązaniem.
Przykład 1
Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ po odjęciu od obu jego stron otrzymamy fałszywą równość
W równaniu każda liczba jest rozwiązaniem, ponieważ obie jego strony są identyczne dla każdej wartości .
Równanie ma jedno rozwiązanie
Rozwiązywanie równań liniowych jest bardzo proste. Przypomnimy wszystko na trzech przykładach.
Przykład 2
Rozważmy równanie Znana własność sumy i różnicy liczb mówi, że wtedy i tylko wtedy, gdy Wobec tego możemy napisać:
W praktyce możemy na powyższe przekształcenie popatrzeć tak, jakbyśmy od obu stron równania odjęli liczbę
Jeszcze inny sposób myślenia o tej operacji jest taki, jakbyśmy liczbę przenieśli z lewej strony równania na prawą, zmieniając przy tym jej znak:
Przykład 3
Rozważmy równanie Znana własność iloczynu i ilorazu mówi, że wtedy i tylko wtedy, gdy Wobec tego możemy napisać:
W praktyce możemy na powyższe przekształcenie popatrzeć tak, jakbyśmy obie strony równania podzielili przez liczbę
Przykład 4
Rozważmy równanie
Przenosimy ze zmienionym znakiem z prawej strony na lewą wyraz zawierający niewiadomą:
Następnie przenosimy ze zmienionym znakiem z lewej strony na prawą liczbę
Wykonujemy odpowiednie działania po obu stronach równania, korzystając z faktu, że oraz :
Wreszcie dzielimy równanie stronami przez liczbę będącą współczynnikiem niewiadomej
i otrzymujemy rozwiązanie:
Zadanie 1
Rozwiąż równanie
Przenosimy z prawej strony na lewą ze zmienionym znakiem:
Przenosimy liczbę z lewej strony na prawą ze zmienionym znakiem:
Porządkujemy obie strony równania i otrzymujemy wynik.
Zadanie 2
Rozwiąż równanie
Przenosimy z prawej strony na lewą oraz liczbę z lewej strony na prawą, zmieniając za każdym razem znak:
Porządkujemy obie strony:
Dzielimy stronami przez i otrzymujemy wynik:
Zadanie 3
Rozwiąż równanie
Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma .
Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości , dla których czyli
Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór
Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:
Otrzymana wartość należy do dziedziny Zatem jest to rozwiązanie naszego równania.
Zadanie 4
Rozwiąż równanie
Równanie nie ma rozwiązań.
Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma .
Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości , dla których czyli
Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór
Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:
Otrzymaliśmy fałszywą równość Zatem nasze równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie 5
Rozwiąż równanie
Każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania. Zbiór wszystkich rozwiązań to
Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma .
Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości , dla których czyli
Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór
Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:
Otrzymaliśmy równość, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
Uwzględniając ustalony na początku fakt, że musi być różne od otrzymujemy wniosek, że zbiór rozwiazań równania to
Zadanie 6
Rozwiąż równanie .
Metoda I
Łatwo zauważyć, że liczba jest rozwiązaniem podanego równania.
Załóżmy, że i podzielmy równanie stronami przez :
Odejmujemy od obu stron i otrzymujemy:
Otrzymana równość jest fałszywa.
Stąd wniosek, że jest jedynym rozwiązaniem równania.
Metoda II
Wymnażamy wyrażenia po obu stronach naszego równania
Odejmujemy od obu stron równania i przekształcamy:
Przenosimy wyraz z prawej strony na lewą i przekształcamy:
Zadanie 7
Rozwiąż równanie .
Wymnażamy wyrażenia po obu stronach równania:
Redukujemy po obu stronach (jest to równoważne odjęciu od obu stron równania):
Przekształcamy obie strony:
Zadanie 8
Rozwiąż równanie
Przekształcamy lewą stronę równania. Aby uprościć rachunki, stosujemy:
– wzór skróconego mnożenia do wyrażenia
– wzór skróconego mnożenia do wyrażenia
Mamy więc kolejno:
Proporcją nazywamy równość dwóch ilorazów, na przykład
Proporcje mają następującą własność:
Jeżeli liczby i są różne od zera, wówczas zachodzi równoważność:
Opisaną powyżej własność proporcji określamy często sformułowaniem, że występujące w proporcji liczniki i mianowniki możemy "pomnożyć na krzyż". Faktycznie korzystamy przy takiej operacji z faktu, że obie strony równości wolno pomnożyć przez liczbę. Jeżeli podejdziemy do tego w taki właśnie sposób, to mamy kolejno:
Upraszczając w liczniku i mianowniku lewej strony oraz w liczniku i mianowniku prawej strony, otrzymujemy:
Równania mające postać proporcji często sprowadzają się do równań liniowych.
Przykład 5
Rozważmy równanie
Mnożąc "na krzyż", otrzymujemy Wygodniej jest jednak od razu napisać a następnie wymnożyć wyrażenie po prawej stronie:
Otrzymujemy w ten sposób równanie liniowe. Jego rozwiązaniem jest
Mnożąc proporcję stronami przez iloczyn jej mianowników (równoważnie: "mnożąc na krzyż") musimy pamiętać, aby określić przedtem dziedzinę równania, to znaczy wykluczyć z rozważań te wartości niewiadomej dla których mianownik lewej lub prawej strony równania jest równy zeru. W ostatnim przykładzie mianownik lewej strony jest równy Dziedzina tego równania to zbiór wszystkich liczb , dla których a więc Następny przykład pokazuje, że określanie dziedziny jest istotne.
Przykład 6
Rozważmy równanie Mnożąc je stronami przez iloczyn mianowników, otrzymujemy kolejno:
Tak więc nasze równanie jest równoważne równości która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej .
Jednak nie każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem naszego równania, ponieważ dla mianownik lewej strony jest równy zeru, a dla mianownik prawej strony jest równy zeru. Musimy te wartości odrzucić ze zbioru rozwiązań.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań naszego równania jest
Określanie dziedziny równania (a wiec wykluczenie "niedozwolonych" wartości niewiadomej) jest bardzo ważne i powinno być dokonywane przed przystąpieniem do rozwiązywania samego równania.
Zadanie 9
Rozwiąż równanie
Ponieważ mianowniki po obu stronach równania muszą być różne od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań liczby (wtedy bowiem oraz (wtedy bowiem
Dziedziną naszego równania jest więc zbiór
Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników
Otrzymujemy po wymnożeniu:
Przekształcamy równanie, przenosząc wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą z prawej strony na lewą, a liczbowy z lewej na prawą, zmieniając przy tym znaki przenoszonych wyrażeń:
Zadanie 10
Rozwiąż równanie
Ponieważ mianowniki po obu stronach równania muszą być różne od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań liczby (wtedy bowiem oraz (wtedy bowiem
Dziedziną naszego równania jest więc zbiór
Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników
Otrzymujemy po wymnożeniu:
Przekształcamy równanie przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą (pamiętamy o zmianie znaków przenoszonych wyrazów):
Otrzymana liczba należy do dziedziny równania, jest więc jego rozwiązaniem.
Zadanie 11
Rozwiąż równanie .
Każda liczba różna od i od jest rozwiązaniem. Zbiór rozwiązań to
Ustalamy najpierw dziedzinę równania. Mianownik po lewej stronie oraz mianownik po prawej stronie równania muszą być oba różne od zera.
Mamy
Mamy też lub
Zatem dziedzina naszego równania to zbiór
Zanim pomnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników, zauważmy, że Pozwoli nam to znacząco uprościć rachunki. Przekształcamy równanie w następujący sposób:
Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych .
Zatem każda liczba należąca do dziedziny równania jest jego rozwiązaniem.
Zadanie 12
Rozwiąż równanie .
Równanie nie ma rozwiązań.
Ustalamy najpierw dziedzinę równania. Mianownik po lewej stronie oraz mianownik po prawej stronie równania muszą być oba różne od zera.
Mamy
Mamy też lub
Zatem dziedzina naszego równania to zbiór
Zanim pomnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników, zauważmy, że Pozwoli nam to znacząco uprościć rachunki. Przekształcamy równanie w następujący sposób:
Otrzymaliśmy fałszywą równość Zatem równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie 13
Rozwiąż równanie .
Równanie nie ma rozwiązań.
Dziedziną naszego równania są wszystkie liczby rzeczywiste różne od i ponieważ mianowniki po obu stronach muszą być różne od zera.
Mnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników obu stron:
Wymnażamy wyrażenia po obu stronach. Aby uniknąć mnożenia wszystkich wyrazów przez siebie po lewej stronie równania, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia
Upraszczamy po obu stronach i otrzymujemy;
Przenosimy wyraz z prawej strony na lewą ze zmienionym znakiem i przekształcamy:
Otrzymaliśmy fałszywą równość Zatem nasze równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie 14
Wyznacz liczbę , wiedząc, że liczba jest rozwiązaniem równania
Przede wszystkim zauważmy, że dla mianownik lewej strony jest równy a więc różny od zera. Mianownik prawej strony jest natomiast równy Tak więc musimy pamiętać, że szukana wartość musi być różna od ponieważ w przeciwnym wypadku mianownik równałby się zeru.
Podstawiając do równania liczbę będącą jego rozwiązaniem, otrzymujemy równość:
która jest z kolei równaniem z niewiadomą .
Mnożymy to równanie stronami przez iloczyn mianowników obu stron i przekształcamy:
Wnioskujemy ostatecznie, że jeśli liczba jest rozwiązaniem równania to
Zadanie 15
Tomek zauważył, że po otrzymaniu od rodziców zł ma trzy razy więcej pieniędzy niż poprzednio. Ile Tomek ma teraz pieniędzy?
Tomek ma teraz zł.
Oznaczmy przez początkową kwotę, którą miał Tomek.
Po otrzymaniu zł od rodziców Tomek ma wobec tego zł.
Jednocześnie kwota ta jest trzy razy większa od posiadanej poprzednio, a więc wynosi zł.
Otrzymujemy więc równanie:
Rozwiązaniem otrzymanego równania jest
Wobec tego kwota, którą teraz ma Tomek, wynosi złotych.
Zadanie 16
Janek jest teraz trzy razy starszy od swojego brata Marka. Za lat Janek będzie już tylko dwa razy starszy od Marka. W jakim wieku są teraz bracia?
Janek ma teraz lat, a Marek lat.
Oznaczmy przez obecny wiek Marka w latach. Ponieważ Janek jest trzy razy starszy od Marka, więc wiek Janka to
Wobec tego za lat Marek będzie miał lat, a Janek lat.
Janek będzie za lat dwa razy starszy od Marka, wobec tego możemy napisać:
Przekształcamy otrzymane równanie:
Otrzymane rozwiązanie mówi, że Marek ma teraz lat, a Janek (trzy razy obecnie starszy) ma lat.
Możemy dodatkowo sprawdzić, że "wszystko się zgadza": za lat Marek będzie miał lat, a Janek lat, a więc rzeczywiście będzie dwa razy starszy od Marka.
Zadanie 17
Z Warszawy do Wrocławia wyrusza pociąg. Jednocześnie z Wrocławia do Warszawy wyrusza drugi pociąg, jadący o km/h szybciej niż pierwszy. Pociągi mijają się w punkcie położonym w długości trasy z Wrocławia do Warszawy. Z jakimi prędkościami jadą pociągi?
Pierwszy pociąg (czyli pociąg z Warszawy do Wrocławia) jedzie z prędkością km/h.
Drugi pociąg jedzie z prędkością km/h.
Oznaczmy przez długość trasy kolejowej obu pociągów oraz przez czas jazdy liczony od momentu wyruszenia obu pociągów do momentu ich mijania się. Wreszcie oznaczmy przez prędkość pierwszego pociągu. Z warunków zadania odczytujemy, że prędkość drugiego pociągu jest wówczas równa
Przy powyższych oznaczeniach możemy napisać następujące równości:
Dzieląc stronami drugą równość przez pierwszą, otrzymujemy:
czyli, po uproszczeniu,
W ten sposób otrzymaliśmy równanie z niewiadomą .
Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników i przekształcamy:
Prędkość pierwszego pociągu jest więc równa km/h, a prędkość drugiego równa km/h.
Zadanie 18
Rowerzysta przejechał pewien odcinek drogi w ciągu minut. Jeśli zmniejszyłby średnią prędkość o km/h, to trasę o km dłuższą przejechałby w ciągu minut. Oblicz długość trasy przebytej przez rowerzystę i jego średnią prędkość.
Długość trasy przebytej przez rowerzystę wynosi km.
Średnia prędkość rowerzysty była równa km/h.
Skorzystamy ze wzoru , gdzie oznacza drogę przebytą w czasie ze średnią prędkością .
W naszym zadaniu prędkość podana jest w km/h, czas w minutach, a długość trasy w kilometrach.
Ponieważ minut to godziny, więc podany czas przejazdu rowerzysty w godzinach jest równy
Oznaczmy przez długość trasy przebytej przez rowerzystę w czasie .
Oznaczmy przez średnią prędkość rowerzysty. Z równości wynika w naszym przypadku równość:
czyli
Zapiszemy teraz w podobny sposób informację, że gdyby rowerzysta zmniejszył prędkość średnią o km/h, to trasę o km dłuższą przejechałby w ciągu minut.
Ponieważ minut to godziny, więc powyższą informację możemy zapisać w postaci równości:
W ten sposób otrzymaliśmy układ dwóch równości:
Podstawiając z pierwszej równości do drugiej, otrzymujemy równanie z niewiadomą
Przekształcamy otrzymane równanie:
Widzimy, że średnia prędkość rowerzysty jest równa km/h.
Z równości którą napisaliśmy na początku, wynika więc, że długość trasy rowerzysty jest równa:
Sprawdźmy teraz, czy nasze wyniki: oraz zgadzają się z warunkami zadania.
Jadąc z prędkością km/h przez minut, czyli godziny, rowerzysta przejedzie trasę długości Tak więc nasz wynik jest zgodny z warunkami zadania.
Jadąc z prędkością (w km/h) równą przez minut, czyli godziny, rowerzysta przejedzie trasę długości Tak więc i tutaj wszystko się zgadza.