Równania liniowe

Równania liniowe

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Równania takie, jak:

2 x = 3

7 x 8 = 0

3 x + 5 = 2 x + 7

noszą nazwę równań liniowych. Równanie liniowe łatwo rozpoznać po tym, że każda jego strona jest wyrażeniem określającym funkcję liniową y = a x + b zmiennej x , która jest niewiadomą w równaniu.

W równaniu 2 x = 3 lewa strona jest funkcją liniową y = 2 x , a prawa strona funkcją liniową stałą y = 3.

W równaniu 7 x 8 = 0 lewa strona jest funkcją liniową y = 7 x 8 , a prawa strona funkcją liniową stałą y = 0.

W równaniu 3 x + 5 = 0 lewa strona jest funkcją liniową y = 3 x + 5 , a prawa strona funkcją liniową y = 2 x + 7.

Równanie liniowe albo nie ma rozwiązań, albo ma dokładnie jedno rozwiązanie, albo każda liczba rzeczywista jest jego rozwiązaniem.

Przykład 1

Równanie 2 x + 1 = 2 x + 2 nie ma rozwiązań, ponieważ po odjęciu 2 x od obu jego stron otrzymamy fałszywą równość 1 = 2.

W równaniu 3 x 7 = 3 x 7 każda liczba jest rozwiązaniem, ponieważ obie jego strony są identyczne dla każdej wartości x .

Równanie 4 x = 4 ma jedno rozwiązanie x = 1.

Rozwiązywanie równań liniowych jest bardzo proste. Przypomnimy wszystko na trzech przykładach.

Przykład 2

Rozważmy równanie x + 3 = 5. Znana własność sumy i różnicy liczb mówi, że a + b = c wtedy i tylko wtedy, gdy a = c b . Wobec tego możemy napisać:

x + 3 = 5 x + 3 3 = 5 3 x = 2

W praktyce możemy na powyższe przekształcenie popatrzeć tak, jakbyśmy od obu stron równania odjęli liczbę 3 :

x + 3 = 5    / 3

x + 3 3 = 5 3

x = 2

Jeszcze inny sposób myślenia o tej operacji jest taki, jakbyśmy liczbę 3 przenieśli z lewej strony równania na prawą, zmieniając przy tym jej znak:

x + 3 = 5

x = 5 3 = 2

Przykład 3

Rozważmy równanie 4 x = 8. Znana własność iloczynu i ilorazu mówi, że a b = c wtedy i tylko wtedy, gdy b = c a . Wobec tego możemy napisać:

4 x = 8 x = 8 4 = 2

W praktyce możemy na powyższe przekształcenie popatrzeć tak, jakbyśmy obie strony równania podzielili przez liczbę 4 :

4 x = 8    / : 4

4 x 4 = 8 4

x = 2

Przykład 4

Rozważmy równanie 2 x + 9 = 4 x 8.

Przenosimy ze zmienionym znakiem z prawej strony na lewą wyraz 4 x zawierający niewiadomą:

2 x 4 x + 9 = 8

Następnie przenosimy ze zmienionym znakiem z lewej strony na prawą liczbę 9 :

2 x 4 x = 8 9

Wykonujemy odpowiednie działania po obu stronach równania, korzystając z faktu, że 2 x 4 x = 2 x oraz 8 9 = 17 :

2 x = 17

Wreszcie dzielimy równanie stronami przez liczbę 2 będącą współczynnikiem niewiadomej x :

2 x 2 = 17 2

i otrzymujemy rozwiązanie:

x = 17 2

Najprostsze równania liniowe

Zadanie 1

Rozwiąż równanie 2 x + 2 = x 1.

x = 3

Przenosimy x z prawej strony na lewą ze zmienionym znakiem:

x + 2 x + 2 = 1

Przenosimy liczbę 2 z lewej strony na prawą ze zmienionym znakiem:

x + 2 x = 1 2

Porządkujemy obie strony równania i otrzymujemy wynik.

x = 3

Zadanie 2

Rozwiąż równanie 2 x + 5 = 4 x + 6.

x = 1 2

Przenosimy x z prawej strony na lewą oraz liczbę 5 z lewej strony na prawą, zmieniając za każdym razem znak:

4 x + 2 x = 6 5

Porządkujemy obie strony:

2 x = 1

Dzielimy stronami przez 2 i otrzymujemy wynik:

x = 1 2

Równania redukujące się do równań liniowych

Zadanie 3

Rozwiąż równanie 3 x + 6 x + 3 = 4

x = 6

Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma x .

Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości x , dla których x + 3 = 0 , czyli x = 3.

Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór R \ { 3 } .

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:

3 x + 6 x + 3 = 4    / ( x + 3 )

3 x + 6 = 4 ( x + 3 )

3 x + 6 = 4 x + 12

4 x + 3 x = 12 6

x = 6

x = 6

Otrzymana wartość należy do dziedziny R \ { 3 } . Zatem jest to rozwiązanie naszego równania.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie 3 x + 6 x + 3 = 3

Równanie nie ma rozwiązań.

Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma x .

Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości x , dla których x + 3 = 0 , czyli x = 3.

Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór R \ { 3 } .

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:

3 x + 6 x + 3 = 3    / ( x + 3 )

3 x + 6 = 3 ( x + 3 )

3 x + 6 = 3 x + 9

3 x + 3 x = 9 6

0 = 3

Otrzymaliśmy fałszywą równość 0 = 3. Zatem nasze równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 5

Rozwiąż równanie 3 x + 6 x + 2 = 3

Każda liczba rzeczywista x 2 jest rozwiązaniem równania. Zbiór wszystkich rozwiązań to R \ { 2 } .

Zauważmy, że w mianowniku lewej strony równania występuje niewiadoma x .

Ponieważ mianownik musi być różny od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań te wartości x , dla których x + 2 = 0 , czyli x = 2.

Dziedziną naszego równania jest zatem zbiór R \ { 2 } .

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:

3 x + 6 x + 2 = 3    / ( x + 2 )

3 x + 6 = 3 ( x + 2 )

3 x + 6 = 3 x + 6

Otrzymaliśmy równość, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x .

Uwzględniając ustalony na początku fakt, że x musi być różne od 2 , otrzymujemy wniosek, że zbiór rozwiazań równania to R \ { 2 }

Zadanie 6

Rozwiąż równanie x ( x + 9 ) = x ( x 9 ) .

x = 0

Metoda I

Łatwo zauważyć, że liczba x = 0 jest rozwiązaniem podanego równania.

Załóżmy, że x 0 i podzielmy równanie stronami przez x :

x ( x + 9 ) = x ( x 9 )    / : x

x + 9 = x 9

Odejmujemy x od obu stron i otrzymujemy:

9 = 9

Otrzymana równość jest fałszywa.

Stąd wniosek, że x = 0 jest jedynym rozwiązaniem równania.

Metoda II

Wymnażamy wyrażenia po obu stronach naszego równania x ( x + 9 ) = x ( x 9 ) :

x 2 + 9 x = x 2 9

Odejmujemy od obu stron równania x 2 i przekształcamy:

x 2 x 2 + 9 x = x 2 x 2 9 x

9 x = 9 x

Przenosimy wyraz 9 x z prawej strony na lewą i przekształcamy:

9 x ( 9 x ) = 0

18 x = 0

x = 0

Zadanie 7

Rozwiąż równanie ( x + 2 ) ( x 1 ) = ( x + 3 ) ( x + 4 ) .

x = 7 3

Wymnażamy wyrażenia po obu stronach równania:

x 2 x + 2 x 2 = x 2 + 4 x + 3 x + 12

Redukujemy x 2 po obu stronach (jest to równoważne odjęciu x 2 od obu stron równania):

x + 2 x 2 = 4 x + 3 x + 12

Przekształcamy obie strony:

x 2 = 7 x + 12

x 7 x = 12 + 2

6 x = 14

x = 14 6 = 7 3

Zadanie 8

Rozwiąż równanie ( x 1 2 ) 2 ( x 3 2 ) ( x + 3 2 ) = 3 x 1.

x = 7 8

Przekształcamy lewą stronę równania. Aby uprościć rachunki, stosujemy:

– wzór skróconego mnożenia ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2 do wyrażenia ( x 1 2 ) 2 ;

– wzór skróconego mnożenia ( a b ) ( a + b ) = a 2 b 2 do wyrażenia ( x 3 2 ) ( x + 3 2 ) .

Mamy więc kolejno:

( x 1 2 ) 2 ( x 3 2 ) ( x + 3 2 ) = 3 x 1

x 2 x + 1 4 ( x 2 9 4 ) = 3 x 1

x 2 x + 1 4 x 2 + 9 4 = 3 x 1

x + 10 4 = 3 x 1

x + 5 2 = 3 x 1

3 x x = 1 5 2

4 x = 7 2

x = 7 8

Proporcje

Proporcją nazywamy równość dwóch ilorazów, na przykład 6 2 = 9 3 .

Proporcje mają następującą własność:

Jeżeli liczby b i d są różne od zera, wówczas zachodzi równoważność:

a b = c d a d = b c

Opisaną powyżej własność proporcji określamy często sformułowaniem, że występujące w proporcji liczniki i mianowniki możemy "pomnożyć na krzyż". Faktycznie korzystamy przy takiej operacji z faktu, że obie strony równości wolno pomnożyć przez liczbę. Jeżeli podejdziemy do tego w taki właśnie sposób, to mamy kolejno:

a b = c d    / b d

a b b d = c d b d

a b d b = b c d d

Upraszczając b w liczniku i mianowniku lewej strony oraz c w liczniku i mianowniku prawej strony, otrzymujemy:

a d = b c

Równania mające postać proporcji często sprowadzają się do równań liniowych.

Przykład 5

Rozważmy równanie x x + 1 = 7 2 .

Mnożąc "na krzyż", otrzymujemy x 2 = ( x + 1 ) 7. Wygodniej jest jednak od razu napisać 2 x = 7 ( x + 1 ) , a następnie wymnożyć wyrażenie po prawej stronie:

2 x = 7 ( x + 1 )

2 x = 7 x + 7

Otrzymujemy w ten sposób równanie liniowe. Jego rozwiązaniem jest x = 7 5 .

Mnożąc proporcję stronami przez iloczyn jej mianowników (równoważnie: "mnożąc na krzyż") musimy pamiętać, aby określić przedtem dziedzinę równania, to znaczy wykluczyć z rozważań te wartości niewiadomej x , dla których mianownik lewej lub prawej strony równania jest równy zeru. W ostatnim przykładzie mianownik lewej strony jest równy x + 1. Dziedzina tego równania to zbiór wszystkich liczb x , dla których x + 1 0 , a więc x 1. Następny przykład pokazuje, że określanie dziedziny jest istotne.

Przykład 6

Rozważmy równanie 2 x + 4 x + 2 = 6 x 2 3 x 1 . Mnożąc je stronami przez iloczyn mianowników, otrzymujemy kolejno:

2 x + 4 x + 2 = 6 x 2 3 x 1    / ( x + 2 ) ( 3 x 1 )

( 2 x + 4 ) ( 3 x 1 ) = ( x + 2 ) ( 6 x 2 )

6 x 2 2 x + 12 x 4 = 6 x 2 2 x + 12 x 4

6 x 2 + 10 x 4 = 6 x 2 + 10 x 4

0 = 0

Tak więc nasze równanie jest równoważne równości 0 = 0 , która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x .

Jednak nie każda liczba rzeczywista x jest rozwiązaniem naszego równania, ponieważ dla x = 2 mianownik lewej strony jest równy zeru, a dla x = 1 3 mianownik prawej strony jest równy zeru. Musimy te wartości odrzucić ze zbioru rozwiązań.

Ostatecznie zbiorem rozwiązań naszego równania jest R \ { 2 , 1 3 } .

Określanie dziedziny równania (a wiec wykluczenie "niedozwolonych" wartości niewiadomej) jest bardzo ważne i powinno być dokonywane przed przystąpieniem do rozwiązywania samego równania.

Zadanie 9

Rozwiąż równanie x + 3 x + 1 = x 2 x 3

x = 7

Ponieważ mianowniki po obu stronach równania muszą być różne od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań liczby x = 1 (wtedy bowiem x + 1 = 0 ) oraz x = 3 (wtedy bowiem x 3 = 0 ) .

Dziedziną naszego równania jest więc zbiór R \ { 1 , 3 } .

Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników ( x + 1 ) ( x 3 ) :

x + 3 x + 1 = x 2 x 3    / ( x + 1 ) ( x 3 )

( x + 3 ) ( x 3 ) = ( x 2 ) ( x + 1 )

Otrzymujemy po wymnożeniu:

x 2 9 = x 2 x 2

Przekształcamy równanie, przenosząc wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą z prawej strony na lewą, a liczbowy z lewej na prawą, zmieniając przy tym znaki przenoszonych wyrażeń:

x 2 + x + x 2 = 2 + 9

x = 7

Zadanie 10

Rozwiąż równanie 1 x x 2 = 2 x + 5 3 2 x

x = 13 6

Ponieważ mianowniki po obu stronach równania muszą być różne od zera, więc musimy wykluczyć z rozważań liczby x = 2 (wtedy bowiem x 2 = 0 ) oraz x = 3 2 (wtedy bowiem 3 2 x = 0 ) .

Dziedziną naszego równania jest więc zbiór R \ { 3 2 , 2 } .

Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników ( x 2 ) ( 3 2 x ) :

1 x x 2 = 2 x + 5 3 2 x    / ( x 2 ) ( 3 2 x )

( 1 x ) ( 3 2 x ) = ( 2 x + 5 ) ( x 2 )

Otrzymujemy po wymnożeniu:

3 2 x 3 x + 2 x 2 = 2 x 2 4 x + 5 x 10

Przekształcamy równanie przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą (pamiętamy o zmianie znaków przenoszonych wyrazów):

2 x 2 + 4 x 5 x 2 x 3 x + 2 x 2 = 10 3

6 x = 13

x = 13 6 = 13 6

Otrzymana liczba należy do dziedziny R \ { 3 2 , 2 } równania, jest więc jego rozwiązaniem.

Zadanie 11

Rozwiąż równanie 2 x 3 = 2 x + 6 x 2 9 .

Każda liczba x różna od 3 i od 3 jest rozwiązaniem. Zbiór rozwiązań to R \ { 3 , 3 } .

Ustalamy najpierw dziedzinę równania. Mianownik x 3 po lewej stronie oraz mianownik x 2 9 po prawej stronie równania muszą być oba różne od zera.

Mamy x 3 = 0 x = 3.

Mamy też x 2 9 = 0 x 2 = 9 x = 3 lub x = 3.

Zatem dziedzina naszego równania to zbiór R \ { 3 , 3 } .

Zanim pomnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników, zauważmy, że x 2 9 = ( x 3 ) ( x + 3 ) . Pozwoli nam to znacząco uprościć rachunki. Przekształcamy równanie w następujący sposób:

2 x 3 = 2 x + 6 x 2 9

2 x 3 = 2 x + 6 ( x 3 ) ( x + 3 )    / ( x 3 )

2 = 2 x + 6 x + 3    / ( x + 3 )

2 ( x + 3 ) = 2 x + 6

2 x + 6 = 2 x + 6

Otrzymaliśmy równość 2 x + 6 = 2 x + 6 prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych x .

Zatem każda liczba x należąca do dziedziny równania jest jego rozwiązaniem.

Zadanie 12

Rozwiąż równanie 2 x + 2 = 2 x 1 x 2 4 .

Równanie nie ma rozwiązań.

Ustalamy najpierw dziedzinę równania. Mianownik x + 2 po lewej stronie oraz mianownik x 2 4 po prawej stronie równania muszą być oba różne od zera.

Mamy x + 2 = 0 x = 2.

Mamy też x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = 2 lub x = 2.

Zatem dziedzina naszego równania to zbiór R \ { 2 , 2 } .

Zanim pomnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników, zauważmy, że x 2 4 = ( x 2 ) ( x + 2 ) . Pozwoli nam to znacząco uprościć rachunki. Przekształcamy równanie w następujący sposób:

2 x + 2 = 2 x 1 x 2 4

2 x + 2 = 2 x 1 ( x 2 ) ( x + 2 )    / ( x + 2 )

2 = 2 x 1 x 2    / ( x 2 )

2 ( x 2 ) = 2 x 1

2 x 4 = 2 x 1

4 = 1

Otrzymaliśmy fałszywą równość 4 = 1. Zatem równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 13

Rozwiąż równanie x + 1 x = x + 2 x + 1 .

Równanie nie ma rozwiązań.

Dziedziną naszego równania są wszystkie liczby rzeczywiste różne od 0 i 1 , ponieważ mianowniki po obu stronach muszą być różne od zera.

Mnożymy równanie stronami przez iloczyn mianowników obu stron:

x + 1 x = x + 2 x + 1    / x ( x + 1 )

( x + 1 ) ( x + 1 ) = ( x + 2 ) x

Wymnażamy wyrażenia po obu stronach. Aby uniknąć mnożenia wszystkich wyrazów przez siebie po lewej stronie równania, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2 x

Upraszczamy x 2 po obu stronach i otrzymujemy;

2 x + 1 = 2 x

Przenosimy wyraz 2 x z prawej strony na lewą ze zmienionym znakiem i przekształcamy:

2 x + 2 x + 1 = 0

1 = 0

Otrzymaliśmy fałszywą równość 1 = 0. Zatem nasze równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 14

Wyznacz liczbę m , wiedząc, że liczba x = 12 jest rozwiązaniem równania 3 x + 3 = 2 x + m .

m = 6

Przede wszystkim zauważmy, że dla x = 12 mianownik lewej strony jest równy 12 + 3 = 15 , a więc różny od zera. Mianownik prawej strony jest natomiast równy 12 + m . Tak więc musimy pamiętać, że szukana wartość m musi być różna od 12 , ponieważ w przeciwnym wypadku mianownik 12 + m równałby się zeru.

Podstawiając do równania liczbę x = 12 będącą jego rozwiązaniem, otrzymujemy równość:

3 15 = 2 12 + m

która jest z kolei równaniem z niewiadomą m .

Mnożymy to równanie stronami przez iloczyn mianowników obu stron i przekształcamy:

3 15 = 2 12 + m    / 15 ( 12 + m )

3 ( 12 + m ) = 2 15

3 m + 36 = 30

3 m = 6

m = 2

Wnioskujemy ostatecznie, że jeśli liczba x = 12 jest rozwiązaniem równania 3 x + 3 = 2 x + m , to m = 2.

Zadania z treścią prowadzące do równań liniowych

Zadanie 15

Tomek zauważył, że po otrzymaniu od rodziców 20 zł ma trzy razy więcej pieniędzy niż poprzednio. Ile Tomek ma teraz pieniędzy?

Tomek ma teraz 30 zł.

Oznaczmy przez x początkową kwotę, którą miał Tomek.

Po otrzymaniu 20 zł od rodziców Tomek ma wobec tego x + 20 zł.

Jednocześnie kwota ta jest trzy razy większa od posiadanej poprzednio, a więc wynosi 3 x zł.

Otrzymujemy więc równanie:

x + 20 = 3 x

Rozwiązaniem otrzymanego równania jest x = 10.

Wobec tego kwota, którą teraz ma Tomek, wynosi x + 20 = 10 + 20 = 30 złotych.

Zadanie 16

Janek jest teraz trzy razy starszy od swojego brata Marka. Za 5 lat Janek będzie już tylko dwa razy starszy od Marka. W jakim wieku są teraz bracia?

Janek ma teraz 15 lat, a Marek 5 lat.

Oznaczmy przez x obecny wiek Marka w latach. Ponieważ Janek jest trzy razy starszy od Marka, więc wiek Janka to 3 x .

Wobec tego za 5 lat Marek będzie miał x + 5 lat, a Janek 3 x + 5 lat.

Janek będzie za 5 lat dwa razy starszy od Marka, wobec tego możemy napisać:

3 x + 5 = 2 ( x + 5 )

Przekształcamy otrzymane równanie:

3 x + 5 = 2 ( x + 5 )

3 x + 5 = 2 x + 10

3 x 2 x = 10 5

x = 5

Otrzymane rozwiązanie mówi, że Marek ma teraz 5 lat, a Janek (trzy razy obecnie starszy) ma 15 lat.

Możemy dodatkowo sprawdzić, że "wszystko się zgadza": za 5 lat Marek będzie miał 10 lat, a Janek 20 lat, a więc rzeczywiście będzie dwa razy starszy od Marka.

Zadanie 17

Z Warszawy do Wrocławia wyrusza pociąg. Jednocześnie z Wrocławia do Warszawy wyrusza drugi pociąg, jadący o 20 km/h szybciej niż pierwszy. Pociągi mijają się w punkcie położonym w 5 / 9 długości trasy z Wrocławia do Warszawy. Z jakimi prędkościami jadą pociągi?

Pierwszy pociąg (czyli pociąg z Warszawy do Wrocławia) jedzie z prędkością 80 km/h.

Drugi pociąg jedzie z prędkością 100 km/h.

Oznaczmy przez S długość trasy kolejowej obu pociągów oraz przez t czas jazdy liczony od momentu wyruszenia obu pociągów do momentu ich mijania się. Wreszcie oznaczmy przez v prędkość pierwszego pociągu. Z warunków zadania odczytujemy, że prędkość drugiego pociągu jest wówczas równa v + 20.

Przy powyższych oznaczeniach możemy napisać następujące równości:

v t = 4 9 s ( v + 20 ) t = 5 9 s

Dzieląc stronami drugą równość przez pierwszą, otrzymujemy:

( v + 20 ) t v t = 5 9 s 4 9 s

czyli, po uproszczeniu,

( v + 20 ) v = 5 4

W ten sposób otrzymaliśmy równanie z niewiadomą v .

Mnożymy obie strony równania przez iloczyn mianowników i przekształcamy:

( v + 20 ) v = 5 4    / 4 v

4 ( v + 20 ) = 5 v

4 v + 80 = 5 v

v = 80

Prędkość pierwszego pociągu jest więc równa 80 km/h, a prędkość drugiego równa 80 + 20 = 100 km/h.

Zadanie 18

Rowerzysta przejechał pewien odcinek drogi w ciągu 45 minut. Jeśli zmniejszyłby średnią prędkość o 2 km/h, to trasę o 9 km dłuższą przejechałby w ciągu 80 minut. Oblicz długość trasy przebytej przez rowerzystę i jego średnią prędkość.

Długość trasy przebytej przez rowerzystę wynosi 15 km.

Średnia prędkość rowerzysty była równa 20 km/h.

Skorzystamy ze wzoru s = v t , gdzie s oznacza drogę przebytą w czasie t ze średnią prędkością v .

W naszym zadaniu prędkość podana jest w km/h, czas w minutach, a długość trasy w kilometrach.

Ponieważ 45 minut to 3 4 godziny, więc podany czas przejazdu rowerzysty w godzinach jest równy t = 3 4 .

Oznaczmy przez s długość trasy przebytej przez rowerzystę w czasie t .

Oznaczmy przez v średnią prędkość rowerzysty. Z równości s = v t wynika w naszym przypadku równość:

v 3 4 = s

czyli

3 4 v = s

Zapiszemy teraz w podobny sposób informację, że gdyby rowerzysta zmniejszył prędkość średnią o 2 km/h, to trasę o 9 km dłuższą przejechałby w ciągu 80 minut.

Ponieważ 80 minut to 4 3 godziny, więc powyższą informację możemy zapisać w postaci równości:

4 3 ( v 2 ) = s + 9

W ten sposób otrzymaliśmy układ dwóch równości:

3 4 v = s

4 3 ( v 2 ) = s + 9

Podstawiając s = 3 4 v z pierwszej równości do drugiej, otrzymujemy równanie z niewiadomą v :

4 3 ( v 2 ) = 3 4 v + 9

Przekształcamy otrzymane równanie:

4 3 ( v 2 ) = 3 4 v + 9

4 3 v 8 3 = 3 4 v + 9

4 3 v 3 4 v = 9 + 8 3    / 12

16 v 9 v = 108 + 32

7 v = 140

v = 20

Widzimy, że średnia prędkość rowerzysty jest równa 20 km/h.

Z równości 3 4 v = s , którą napisaliśmy na początku, wynika więc, że długość trasy rowerzysty jest równa:

s = 3 4 20 = 15

Sprawdźmy teraz, czy nasze wyniki: v = 20 oraz s = 15 zgadzają się z warunkami zadania.

Jadąc z prędkością 20 km/h przez 45 minut, czyli 3 4 godziny, rowerzysta przejedzie trasę długości 20 3 4 = 15 = s . Tak więc nasz wynik s = 15 jest zgodny z warunkami zadania.

Jadąc z prędkością (w km/h) równą 20 2 = 18 przez 80 minut, czyli 4 3 godziny, rowerzysta przejedzie trasę długości 18 4 3 = 24 = 15 + 9 = s + 9. Tak więc i tutaj wszystko się zgadza.