Nierówności liniowe

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Proste nierówności liniowe

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność $2 x + 2 > x - 1 $

$x > - 3 $

W innym zapisie: $x \in (- 3, \infty) . $

Przenosimy $x $ z prawej strony nierówności na lewą ze zmienionym znakiem:

$- x + 2 x + 2 > - 1 $

Przenosimy liczbę $2 $ z lewej strony na prawą ze zmienionym znakiem:

$- x + 2 x > - 1 - 2 $

Porządkujemy obie strony nierówności i otrzymujemy wynik.

$x > - 3 $

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność $3 x + 5 \leq 4 x + 6 $ .

$x \leq - 1 $

$x \in (- \infty, - 1 ⟩ $

Przenosimy $4 x $ z prawej strony na lewą oraz liczbę $5 $ z lewej strony na prawą, zmieniając za każdym razem znak:

$- 4 x + 3 x \leq 6 - 5 $

$- x \leq 1 $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 1, $ zmieniając przy tym kierunek nierówności na przeciwny i otrzymujemy wynik:

$x \geq - 1 $

Zadanie 3

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $1 - 4 x > x - 2 $ .

Największą liczbą całkowitą spełniającą podaną nierówność jest liczba $0 $ .

Najpierw znajdziemy zbiór rozwiazań naszej nierówności. Przekształcamy ją:

$1 - 4 x > x - 2 $

$- x - 4 x > - 2 - 1 $

$- 5 x > - 3 $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 5, $ zmieniając przy tym znak nierówności na przeciwny:

$x < \frac{- 3}{- 5} $

$x < \frac{3}{5} $

Widzimy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to $(- \infty, \frac{3}{5}) . $

Największą liczbą całkowitą należącą do przedziału $(- \infty, \frac{3}{5}) $ jest liczba $0 $ . Jest to więc największa liczba całkowita spełniająca naszą nierówność.

Zadanie 4

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $2 (x - 2) \leq 4 (x - 1) + 1 $ .

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą podaną nierówność jest liczba $0 $ .

Najpierw znajdziemy zbiór rozwiazań naszej nierówności. Przekształcamy ją:

$2 (x - 2) \leq 4 (x - 1) + 1 $

$2 x - 4 \leq 4 x - 4 + 1 $

$2 x - 4 \leq 4 x - 3 $

$2 x - 4 x \leq - 3 + 4 $

$- 2 x \leq 1 $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 2, $ zmieniając przy tym znak nierówności na przeciwny:

$x \geq \frac{1}{- 2} $

$x \geq - \frac{1}{2} $

Widzimy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to $⟨ - \frac{1}{2}, \infty) $ .

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do przedziału $⟨ - \frac{1}{2}, \infty) $ jest liczba $0 $ . Jest to więc najmniejsza liczba całkowita spełniająca naszą nierówność.

Nierówności redukujące się do nierówności liniowych

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność $(x + 2) (x - 1) < (x + 3) (x + 4) $

$x > - \frac{7}{3} $

W innym zapisie: $x \in (- \frac{7}{3}, \infty) $

Wymnażamy wyrażenia po obu stronach nierówności:

$x^{2} - x + 2 x - 2 < x^{2} + 4 x + 3 x + 12 $

Redukujemy $x^{2} $ po obu stronach (jest to równoważne odjęciu $x^{2} $ od obu stron nierówności):

$- x + 2 x - 2 < 4 x + 3 x + 12 $

Przekształcamy obie strony:

$x - 2 < 7 x + 12 $

$x - 7 x < 12 + 2 $

$- 6 x < 14 $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 6, $ zmieniając przy tym kierunek nierówności na przeciwny:

$x > - \frac{14}{6} $

$x > - \frac{7}{3} $

Zadanie 6

Rozwiąż nierówność ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - (x - \frac{3}{2}) (x + \frac{3}{2}) \geq 3 x - 1 $ .

$x \leq \frac{7}{8} $

W innym zapisie: $x \in (- \infty, \frac{7}{8} ⟩ $

Przekształcamy lewą stronę nierówności. Aby uprościć rachunki, stosujemy:

– wzór skróconego mnożenia ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} $ do wyrażenia ${(x - \frac{1}{2})}^{2}; $

– wzór skróconego mnożenia $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} $ do wyrażenia $(x - \frac{3}{2}) (x + \frac{3}{2}) . $

Mamy więc kolejno:

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - (x - \frac{3}{2}) (x + \frac{3}{2}) \geq 3 x - 1 $

$x^{2} - x + \frac{1}{4} - (x^{2} - \frac{9}{4}) \geq 3 x - 1 $

$x^{2} - x + \frac{1}{4} - x^{2} + \frac{9}{4} \geq 3 x - 1 $

$- x + \frac{10}{4} \geq 3 x - 1 $

$- x + \frac{5}{2} \geq 3 x - 1 $

$- 3 x - x \geq - 1 - \frac{5}{2} $

$- 4 x \geq - \frac{7}{2} $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 4, $ zmieniając przy tym kierunek nierówności na przeciwny:

$x \leq \frac{7}{8} $

Nierówności liniowe z parametrem

Zadanie 7

Wyznacz wszystkie liczby liczby $m $ , dla których liczba $x = \frac{1}{2} $ jest rozwiązaniem nierówności $5 x - 3 m > 7. $

$m < - \frac{3}{2} $

W innym zapisie: $m \in (- \infty, - \frac{3}{2}) $

Podstawiając do nierówności liczbę $x = \frac{1}{2} $ będącą jej rozwiązaniem, otrzymujemy nierówność:

$5 \cdot \frac{1}{2} - 3 m > 7 $

a więc nową nierówność, tym razem z niewiadomą $m $ .

Przekształcamy ostatnią nierówność:

$5 \cdot \frac{1}{2} - 3 m > 7 $

$\frac{5}{2} - 3 m > 7 $

$- 3 m > 7 - \frac{5}{2} $

$- 3 m > \frac{9}{2} $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $- 3, $ zmieniając przy tym kierunek nierówności na przeciwny:

$m < \frac{3}{2} $

Zadanie 8

Wyznacz wszystkie liczby liczby $m $ , dla których liczba $x = 4 $ jest rozwiązaniem nierówności $11 x + 4 > 5 x - 3 m + 1 $ .

$m > - 9 $

W innym zapisie: $m \in (- 9, \infty) $

Podstawiając do nierówności liczbę $x = 4 $ będącą jej rozwiązaniem, otrzymujemy nierówność:

$11 \cdot 4 + 4 > 5 \cdot 4 - 3 m + 1 $

a więc nową nierówność, tym razem z niewiadomą $m $ .

Przekształcamy ostatnią nierówność:

$11 \cdot 4 + 4 > 5 \cdot 4 - 3 m + 1 $

$48 > 20 - 3 m + 1 $

$3 m > 20 + 1 - 48 $

$3 m > - 27 $

Dzielimy ostatnią nierówność stronami przez $3 $ , nie zmieniając przy tym kierunku nierówności:

$m > \frac{- 27}{3} $

$m > 9 $