Równania kwadratowe

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Najprostsze równania kwadratowe

Równania takie, jak:

$x^{2} = 9 $

$x^{2} - x = 0 $

$x^{2} - x - 2 $

noszą nazwę równań kwadratowych. Ogólnie, przyjmujemy następujące określenie:

Równanie, które można przekształcić do postaci

$a x^{2} + b x + c = 0 $

gdzie liczby $a, b, c $ są dane oraz $a \neq 0 $ , natomiast $x $ jest niewiadomą, nazywamy równaniem kwadratowym.

Lewą stronę równania kwadratowego, a więc wyrażenie $a x^{2} + b x + c $ , nazywamy trójmianem kwadratowym.

Liczby $a, b, c $ nazywamy współczynnikami trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c . $

Założenie, że współczynnik $a $ przy $x^{2} $ w definicji powyżej jest różny od zera, jest oczywiste. Jeśli $a = 0, $ to równanie przyjmuje postać $b x + c = 0 $ i jest znanym nam równaniem liniowym.

Jeden ze współczynników $b, c $ w równaniu kwadratowym może być natomiast równy zeru. Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe niepełne. Mówiąc najprościej, równanie niepełne to takie, w którym albo brakuje wyrazu $b x $ , albo wyrazu wolnego $c $ .

Przykłady równań niepełnych to:

$x^{2} + 3 x = 0 $ (brak w nim wyrazu wolnego $c $ )

$x^{2} - 4 = 0 $ (brak w nim wyrazu $b x $ )

Przykład 1

Rozważmy równanie $2 x^{2} - 4 x = 0. $ Mamy w nim $a = 2, b = - 4, c = 0. $ Innymi słowy, "brakuje" wyrazu wolnego.

Równanie tego typu rozwiązuje się bardzo łatwo. Wyłączamy wyrażenie $2 x $ przed nawias:

$2 x^{2} - 4 x = 0 $

$2 x (x - 2) = 0 $

Ponieważ iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru, więc ostatnia równość jest równoważna warunkowi:

$x = 0 $ lub $x - 2 = 0 $

czyli

$x = 0 $ lub $x = 2 $

Przykład 2

Rozważmy równanie $9 x^{2} - 4 = 0. $ Mamy w nim $a = 9, b = 0, c = - 4. $ Innymi słowy, "brakuje" wyrazu $b x $ zawierającego niewiadomą $x $ w pierwszej potędze.

Istnieją dwie metody rozwiązywania takich równań.

Metoda I. Przenosimy wyraz wolny $- 4 $ na prawą stronę, a następnie dzielimy równanie stronami przez $9. $ W ten sposób wyznaczamy $x^{2} $ :

$9 x^{2} - 4 = 0 $

$9 x^{2} = 4 $

$x^{2} = \frac{4}{9} $

Otrzymujemy stąd:

$x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $ lub $x = - \sqrt{\frac{4}{9}} = - \frac{2}{3} $

Rozwiązaniem naszego równania są więc liczby $\frac{2}{3} $ oraz $- \frac{2}{3} . $

Metoda II. Stosujemy do lewej strony równania wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) : $

$9 x^{2} - 4 = 0 $

${(3 x)}^{2} - 2^{2} = 0 $

$(3 x - 2) (3 x + 2) = 0 $

$3 x - 2 = 0 $ lub $3 x + 2 = 0 $

$x = \frac{2}{3} $ lub $x = - \frac{2}{3} $

Otrzymaliśmy ten sam wynik, co przy pomocy Metody I.

Szczególnie łatwe do rozwiązania są równania kwadratowe postaci $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 $ (przy czym $a \neq 0 $ ), czyli takie, w których lewa strona jest trójmianem kwadratowym w postaci iloczynowej.

W przypadku tego typu równań wystarczy zauważyć, że iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $4 (x + 2) (x - 5) = 0. $

Mamy kolejno:

$4 (x + 2) (x - 5) = 0 $

$x + 2 = 0 $ lub $x - 5 = 0 $

$x = - 2 $ lub $x = 5 $

W podobny sposób możemy rozwiązać równanie postaci $a (b x + c) (d x + e) = 0 $ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $7 (3 x - 6) (2 x - 5) = 0. $

Mamy kolejno:

$(3 x - 6) (2 x - 5) = 0 $

$3 x - 6 = 0 $ lub $2 x - 5 = 0 $

$x = 2 $ lub $x = \frac{5}{2} $

Zadanie 1

Rozwiąż równanie $x^{2} - 9 = 0. $

$x = 3 $ lub $x = - 3 $

Metoda I

Stosujemy wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) $ dla $a = x $ oraz $b = 3 $ i otrzymujemy kolejno:

$x^{2} - 9 = 0 $

$x^{2} - 3^{2} = 0 $

$(x - 3) (x + 3) = 0 $

Ponieważ iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zeru, więc otrzymujemy:

$x - 3 = 0 $ lub $x + 3 = 0 $

$x = 3 $ lub $x = - 3 $

Metoda II

Przenosimy w równaniu $x^{2} - 9 = 0 $ liczbę $9 $ na prawą stronę ze zmienionym znakiem:

$x^{2} = 9 $

Dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a $ istnieją dwie liczby rzeczywiste, których kwadrat jest równy $a $ . Liczby te to $\sqrt{a} $ oraz $- \sqrt{a} . $

Ponieważ $\sqrt{9} = 3, $ wię równanie $x^{2} = 9 $ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 3 $ lub $x = - 3. $

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $x^{2} = 64. $

$x = 8 $ lub $x = - 8 $

Metoda I

Ponieważ $\sqrt{64} = 8, $ więc nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 8 $ lub $x = - 8. $

Metoda II

Przenosimy liczbę $64 $ na lewą stronę równania, zmieniając przy tym jej znak, a następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) : $

$x^{2} - 64 = 0 $

$x^{2} - 8^{2} = 0 $

$(x - 8) (x + 8) = 0 $

$x - 8 = 0 $ lub $x + 8 = 0 $

$x = 8 $ lub $x = - 8 $

Zadanie 3

Rozwiąż równanie $4 x^{2} - 9 = 0. $

$x = \frac{3}{2} $ lub $x = - \frac{3}{2} $

Metoda I

Przekształcamy nasze równanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) : $

$4 x^{2} - 9 = 0 $

${(2 x)}^{2} - 3^{2} = 0 $

$(2 x - 3) (2 x + 3) = 0 $

$2 x - 3 = 0 $ lub $2 x + 3 = 0 $

$x = \frac{3}{2} $ lub $x = - \frac{3}{2} $

Metoda II

Wyłączamy najpierw przed nawias współczynnik przy $x^{2} : $

$4 (x^{2} - \frac{9}{4}) = 0 $

Powyższa równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy:

$x^{2} - \frac{9}{4} = 0 $

Przekształcamy otrzymane równanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) : $

$x^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = 0 $

$(x - \frac{3}{2}) (x + \frac{3}{2}) = 0 $

$x - \frac{3}{2} = 0 $ lub $x + \frac{3}{2} = 0 $

$x = \frac{3}{2} $ lub $x = - \frac{3}{2} $

Równania kwadratowe w ogólnej postaci

Równanie kwadratowe

$a x^{2} + b x + c = 0 $

albo nie ma rozwiązań, albo ma dokładnie jedno rozwiązanie, albo ma dwa rozwiązania.

Liczbę

$Δ = b^{2} - 4 a c $

nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c . $

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

$a x^{2} + b x + c = 0 $

zależy od znaku wyróżnika $Δ = b^{2} - 4 a c . $ Zachodzą następujące implikacje:

– jeżeli $Δ < 0, $ to równanie nie ma rozwiązań;

– jeżeli $Δ = 0, $ to równanie ma jedno rozwiązanie (zwane często pierwiastkiem podwójnym równania) dane wzorem:

$x_{1, 2} = - \frac{b}{2 a} $

– jeżeli $Δ > 0, $ to równanie ma dwa rozwiązania (zwane często pierwiastkami równania) dane wzorami:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

Przykład 5

Rozważmy równanie $x^{2} + x - 12 = 0. $

Współczynniki trójmianu kwadratowego po lewej stronie to $a = 1, b = 1, c = - 12 $ .

Wyróżnik tego trójmianu jest więc równy:

$Δ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 49 $

Ponieważ $Δ > 0, $ więc równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3 $

Równanie jest więc spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 4 $ lub $x = 3. $

Przykład 6

Równanie $x^{2} + 4 x + 4 = 0 $ ma wyróżnik równy $Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0. $

Ponieważ $Δ = 0, $ więc równanie ma jeden pierwiastek podwójny:

$x_{1, 2} = - \frac{b}{2 a} = \frac{- 4}{2} = - 2 $

Uwaga. Jeśli trójmian kwadratowy po lewej stronie równania kwadratowego ma wyróżnik równy zeru, to równanie takie można zawsze rozwiązać stosując wzór skróconego mnożenia ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} $ lub ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} . $

Przykład 7

Równanie $x^{2} - 6 x + 9 = 0 $ możemy rozwiązać, zauważając, że $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2} $ :

$x^{2} - 6 x + 9 = 0 $

${(x - 3)}^{2} = 0 $

$x = 3 $

Oczywiście ten sam wynik otrzymamy, stosując wzory na pierwiastki:

$x^{2} - 6 x + 9 = 0 $

$Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0 $

Wyróżnik jest równy zeru.

Zatem równanie ma jeden pierwiastek podwójny $x_{1, 2} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2} = 3. $

Ostatni przykład pokazuje, że znalezienie pierwiastka podwójnego równania kwadratowego jest o wiele szybsze, gdy zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub różnicy. Oczywiście trzeba tę możliwość zauważyć. Oto kilka przykładów:

$x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2} $

$x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} $

$x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2} $

$4 x^{2} - 12 x + 9 = {(2 x - 3)}^{2} $

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0. $

$x = \frac{1}{2} $

Metoda I. Zauważamy, że do trójmianu kwadratowego $4 x^{2} - 4 x + 1 $ można zastosować wzór srkróconego mnożenia ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}, $ przyjmując $a = 2 x $ oraz $b = 1 : $

$4 x^{2} - 4 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2} $

Wobec tego nasze równanie przyjmuje postać:

${(2 x - 1)}^{2} = 0 $

Otrzymujemy stąd $2 x - 1 = 0, $ czyli $x = \frac{1}{2} . $

Współczynniki trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0 $ to:

$a = 4, b = - 4, c = 1 $

Metoda II. Obliczamy wyróżnik:

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0 $

Wyróżnik jest równy zeru, zatem równanie ma jeden pierwiastek podwójny:

$x_{1, 2} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{8} = \frac{1}{2} $

Zadanie 9

Zbadaj liczbę rozwiązań równania $x^{2} + 4 x + m = 0 $ w zależności od parametru $m . $

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $m < 4; $

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $m = 4; $

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $m > 4. $

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania $x^{2} + 4 x + m = 0 : $

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 (4 - m) $

Równanie ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ > 0, $ a więc gdy $4 - m > 0. $

Nierówność $4 - m > 0 $ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $m < 4. $

Równanie ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ = 0, $ a więc gdy $4 - m = 0. $

Równość $4 - m = 0 $ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $m = 4. $

Wreszcie równanie nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ < 0, $ a więc gdy $4 - m < 0. $

Nierówność $4 - m < 0 $ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $m > 4. $

Podsumowująć, otrzymujemy następujący wniosek:

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $m < 4; $

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $m = 4; $

– równanie $x^{2} + 4 x + m = 0 $ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $m > 4. $