Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.
Nierównością kwadratową nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do jednej z nastepujących postaci:
przy czym zakładamy, że Założenie to jest istotne, ponieważ dla każda z powyższych nierówności jest nierównością liniową, a nie kwadratową.
Niektóre nierówności kwadratowe można rozwiazać bardzo łatwo, korzystając z następującego faktu.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną:
Kwadrat liczby rzeczywistej jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest różna od zera:
Kwadrat liczby rzeczywistej jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba jest równa zeru:
Przykład 1
Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej .
Zbiór rozwiązań tej nierówności możemy zapisać jako .
Możemy go również zapisać w postaci sumy przedziału
Przykład 2
Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej różnej od
Zbiór rozwiązań tej nierówności to możemy zapisać jako .
Możemy go również zapisać w postaci sumy przedziałów
Przykład 3
Nierówność jest spełniona tylko dla
Zbiór rozwiązań tej nierówności jest jednoelementowy. Możemy go zapisać jako .
Przykład 4
Nierówność nie jest spełniona dla żadnej liczby rzeczywistej
Zbiór rozwiązań tej nierówności jest pusty.
Zadanie 1
Rozwiąż nierówność
Przenosimy wszystkie wyrazy z prawej strony nierówności na lewą i porządkujemy:
Dzielimy nierówność stronami przez
Zauważmy, że a więc nasza nierówność przyjmuje postać:
Lewa strona otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej .
Wobec tego zbiór rozwiązań naszej nierówności to
Zauważ, że nie musieliśmy w trakcie rozwiązania szkicować wykresu funkcji kwadratowej będącej lewą stroną nierówności ponieważ wystarczyło skorzystać z dobrze znanej własności kwadratu liczby rzeczywistej. Oczywiście można nasz wynik zilustrować również rysunkiem, jak to pokazano poniżej. Widać na nim, że żaden punkt wykresu funkcji nie jest położony poniżej osi tak więc nierówność jest spełniona dla wszystkich
Zadanie 2
Rozwiąż nierówność
Żadna liczba nie jest rozwiązaniem nierówności. Zbiór rozwiązań jest pusty.
Dzielimy nierówność stronami przez
Zauważmy, że a więc nasza nierówność przyjmuje postać:
Lewa strona otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej .
Wobec tego nierówność nie jest spełniona dla żadnej liczby rzeczywistej .
Zadanie 3
Rozwiąż nierówność
Mnożymy nierówność stronami przez :
Zauważmy, że a więc nasza nierówność przyjmuje postać:
Lewa strona otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej .
Wynika stąd, że nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy a więc gdy
Tylko w takim przypadku bowiem spełniona jest też nierówność
Ostatecznie zbiorem rozwiązań naszej nierówności jest zbiór jednoelementowy
Zadanie 4
Rozwiąż nierówność
W innym zapisie:
W innym zapisie:
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, a następnie porządkujemy:
Mnożymy nierówność stronami przez zmieniając przy tym kierunek nierówności:
Zauważmy, że . Nasza nierówność przyjmuje więc postać:
Lewa strona otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej .
Ponadto wyrażenie jest równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy , a więc gdy W każdym innym przypadku wyrażenie jest dodatnie.
Nasza nierówność jest więc spełniona dla wszystkich różnych od
Zbiór rozwiązań nierówności to Zbiór ten możemy zapisać również jako sumę przedziałów
Jeżeli lewą stronę nierówności kwadratowej potraktujemy jak funkcję zmiennej
to widzimy, że rozwiązanie nierówności kwadratowej sprowadza się do wyznaczenia przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości:
– dodatnie w przypadku nierówności
– ujemne w przypadku nierówności
– nieujemne w przypadku nierówności
– niedodatnie w przypadku nierówności
Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych przydaje się następujaca taktyka.
1. Doprowadzamy nierówność do postaci, w której lewa strona jest trójmianem kwadratowym, a prawa jest równa zeru, na przykład
2. Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej będącej lewą stroną nierówności. W tym celu rozwiązujemy równanie
3. Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej . Dbamy przy tym o dwie rzeczy:
a) ramiona paraboli będącej wykresem zwrócone są ku górze, gdy , natomiast ku dołowi, gdy ;
b) wykres przecina oś w punktach, których odcięte (a więc współrzędne "") są miejscami zerowymi funkcji .
3. Odczytujemy z wykresu przedział lub przedziały, w których wykres naszej funkcji kwadratowej jest położony:
a) powyżej osi w przypadku nierówności
a) poniżej osi w przypadku nierówności
a) powyżej osi i na samej osi w przypadku nierówności
a) poniżej osi i na samej osi w przypadku nierówności
Przedział lub przedziały wyznaczone w punkcie 3 powyżej to zbiór rozwiązań naszej nierówności.
Przykład 5
Rozwiążemy nierówność
Znajdujemy miejsca zerowe funkcji W tym celu rozwiązujemy równanie
Szkicujemy wykres funkcji
Wykresem tym jest parabola. Jej ramiona są zwrócone ku górze, ponieważ współczynnik przy we wzorze funkcji jest dodatni.
Miejsca zerowe funkcji to i .
Nierówność jest spełniona dla tych wartości , dla których wykres funkcji jest położony poniżej osi .
Odczytujemy z rysunku, że nierówność ta jest spełniona dla należących do przedziału
Przedział ten jest zbiorem rozwiązań naszej nierówości.
Przykład 6
Rozwiążemy nierówność .
Lewa strona nierówności jest tym samym wyrażeniem, co lewa strona w poprzednim przykładzie.
Tak więc wystarczy z rysunku powyżej odczytać przedziały, w których wykres funkcji jest położony poniżej osi i na samej osi.
Jest to przedział domknięty
Tak więc
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział domknięty
Przykład 7
Rozwiążemy nierówność .
Wystarczy z rysunku powyżej odczytać przedziały, w których wykres funkcji jest położony powyżej osi i na samej osi.
Są to przedziały oraz .
Tak więc
Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów .
Zadanie 5
Rozwiąż nierówność
Zastosuj wzór skróconego mnożenia
Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia
lub
Szkicujemy wykres funkcji
Wykresem tym jest parabola. Jej ramiona są zwrócone ku górze (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy jest dodatni. .
Miejsca zerowe funkcji to i .
Nierówność jest spełniona dla tych wartości , dla których wykres funkcji jest położony powyżej osi .
Odczytujemy z rysunku, że wykres jest położony powyżej osi dla
Ostatecznie wnioskujemy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to suma przedziałów
Zadanie 6
Rozwiąż nierówność
Przenosimy wyraz z prawej strony na lewą i otrzymujemy nierówność:
Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej rozwiązując w tym celu równanie
lub
Szkicujemy wykres funkcji
Wykresem tym jest parabola o ramionach skierowanych ku górze (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy jest dodatni. .
Miejsca zerowe funkcji to i .
Nierówność jest spełniona dla tych , dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne
Funkcja przyjmuje wartości ujemne w tych przedziałach, w których jej wykres jest położony poniżej osi
Odczytujemy z rysunku, że
Ostatecznie wnioskujemy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to przedział .
Zadanie 7
Rozwiąż nierówność .
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej , rozwiązując w tym celu równanie
lub
lub
Szkicujemy wykres funkcji Ramiona paraboli będącej wykresem zwrócone są ku górze, ponieważ wyraz który otrzymalibyśmy po wymnożeniu nawiasów, ma dodatni współczynnik przy .
Miejsca zerowe funkcji to oraz
Nierówność jest równoważna warunkowi, że , jest więc spełniona dla tych , dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera.
Funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera w tych przedziałach, w których jej wykres jest położony poniżej osi .
Odczytujemy z rysunku, że
Zbiór rozwiązań naszej nierówności to przedział .
Zadanie 8
Rozwiąż nierówność .
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej rozwiązując w tym celu równanie
Wyróżnik trójmianu po lewej stronie równania jest równy:
Wyróżnik ten jest dodatni oraz .
Funkcja ma więc dwa miejsca zerowe:
Szkicujemy wykres funkcji
Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji są zwrócone ku dołowi (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy jest ujemny. .
Miejsca zerowe funkcji to oraz
Nierówność jest równoważna warunkowi, że .
Nierówność zachodzi dla tych , dla których wykres funkcji jest położony poniżej osi lub na tej osi.
Odczytujemy z rysunku, że
Zbiór rozwiązań naszej nierówności to suma przedziałów .
Zadanie 9
Rozwiąż nierówność .
Wyznacz miejsca zerowe funkcji W tym celu rozwiąż równanie Następnie przestudiuj rozwiązanie poprzedniego zadania.
Zadanie 10
Rozwiąż nierówność .
Zadanie 11
Rozwiąż nierówność .
Zadanie 12
Rozwiąż nierówność .
Zadanie 13
Rozwiąż nierówność .
Zadanie 14
Dla jakich wartości wartości funkcji są niemniejsze od wartości funkcji ?
Wartości funkcji są niemniejsze od wartości funkcji dla tych , dla których spełniona jest nierówność .
Zadanie 15
Wyznacz przedziały wartości , w których wykres funkcji znajduje się pod wykresem funkcji
Wykres funkcji znajduje się pod wykresem funkcji dla tych wartości , dla których .