Nierówności kwadratowe

Nierówności kwadratowe

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Najprostsze nierówności kwadratowe

Nierównością kwadratową nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do jednej z nastepujących postaci:

a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c 0

przy czym zakładamy, że a 0. Założenie to jest istotne, ponieważ dla a = 0 każda z powyższych nierówności jest nierównością liniową, a nie kwadratową.

Niektóre nierówności kwadratowe można rozwiazać bardzo łatwo, korzystając z następującego faktu.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej a jest liczbą nieujemną:

a 2 0

Kwadrat liczby rzeczywistej a jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest różna od zera:

a 2 > 0 a 0

Kwadrat liczby rzeczywistej a jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba a jest równa zeru:

a 2 = 0 a = 0

Przykład 1

Nierówność ( x 7 ) 2 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x .

Zbiór rozwiązań tej nierówności możemy zapisać jako R .

Możemy go również zapisać w postaci sumy przedziału ( , ) .

Przykład 2

Nierówność ( x 7 ) 2 > 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 7.

Zbiór rozwiązań tej nierówności to możemy zapisać jako R \ { 7 } .

Możemy go również zapisać w postaci sumy przedziałów ( , 7 ) ( 7 , ) .

Przykład 3

Nierówność ( x 7 ) 2 0 jest spełniona tylko dla x = 7.

Zbiór rozwiązań tej nierówności jest jednoelementowy. Możemy go zapisać jako { 7 } .

Przykład 4

Nierówność ( x 7 ) 2 < 0 nie jest spełniona dla żadnej liczby rzeczywistej x = 7.

Zbiór rozwiązań tej nierówności jest pusty.

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność x 2 + 5 x + 1 x x 2 1

x R

Przenosimy wszystkie wyrazy z prawej strony nierówności na lewą i porządkujemy:

x 2 + 5 x + 1 x x 2 1

2 x 2 + 4 x + 2 0

Dzielimy nierówność stronami przez 2 :

2 x 2 + 4 x + 2 0    / : 2

x 2 + 2 x + 1 0

Zauważmy, że x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2 , a więc nasza nierówność przyjmuje postać:

( x + 1 ) 2 0

Lewa strona otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej x .

Wobec tego zbiór rozwiązań naszej nierówności to R .

Zauważ, że nie musieliśmy w trakcie rozwiązania szkicować wykresu funkcji kwadratowej będącej lewą stroną nierówności ( x + 1 ) 2 0 , ponieważ wystarczyło skorzystać z dobrze znanej własności kwadratu liczby rzeczywistej. Oczywiście można nasz wynik zilustrować również rysunkiem, jak to pokazano poniżej. Widać na nim, że żaden punkt wykresu funkcji f ( x ) = ( x + 1 ) 2 nie jest położony poniżej osi O X , tak więc nierówność f ( x ) 0 jest spełniona dla wszystkich x R .


2x2p4xp2.gif

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność 3 x 2 12 x + 12 < 0

Żadna liczba x nie jest rozwiązaniem nierówności. Zbiór rozwiązań jest pusty.

Dzielimy nierówność stronami przez 3 :

3 x 2 12 x + 12 < 0    / : 3

x 2 4 x + 4 < 0

Zauważmy, że x 2 4 x + 4 = ( x 2 ) 2 , a więc nasza nierówność przyjmuje postać:

( x 2 ) 2 < 0

Lewa strona ( x 2 ) 2 otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej x .

Wobec tego nierówność ( x 2 ) 2 < 0 nie jest spełniona dla żadnej liczby rzeczywistej x .

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność 1 2 x 2 + 4 x + 8 0

x = 4

Mnożymy nierówność stronami przez 2 :

1 2 x 2 + 4 x + 8 0    / 2

x 2 + 8 x + 16 0

Zauważmy, że x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4 ) 2 , a więc nasza nierówność przyjmuje postać:

( x + 4 ) 2 0

Lewa strona ( x + 4 ) 2 otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej x .

Wynika stąd, że nierówność ( x + 4 ) 2 0 jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x + 4 = 0 , a więc gdy x = 4.

Tylko w takim przypadku bowiem spełniona jest też nierówność ( x + 4 ) 2 0.

Ostatecznie zbiorem rozwiązań naszej nierówności jest zbiór jednoelementowy { 4 } .

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność 7 x x 2 < x + 9.

x 3

W innym zapisie: x R \ { 3 }

W innym zapisie: x ( , 3 ) ( 3 , )

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, a następnie porządkujemy:

7 x x 2 < x + 9

x 9 + 7 x x 2 < 0

x 2 + 6 x 9 < 0

Mnożymy nierówność stronami przez 1 , zmieniając przy tym kierunek nierówności:

x 2 + 6 x 9 < 0    / ( 1 )

x 2 6 x + 9 > 0

Zauważmy, że x 2 6 x + 9 = ( x 3 ) 2 . Nasza nierówność przyjmuje więc postać:

( x 3 ) 2 > 0

Lewa strona ( x 3 ) 2 otrzymanej nierówności jest kwadratem, zatem jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej x .

Ponadto wyrażenie ( x 3 ) 2 jest równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy x 3 = 0 , a więc gdy x = 3. W każdym innym przypadku wyrażenie ( x 3 ) 2 jest dodatnie.

Nasza nierówność jest więc spełniona dla wszystkich x różnych od 3.

Zbiór rozwiązań nierówności to R \ { 3 } . Zbiór ten możemy zapisać również jako sumę przedziałów ( , 3 ) ( 3 , ) .

Nierówności kwadratowe w ogólnym przypadku

Jeżeli lewą stronę nierówności kwadratowej potraktujemy jak funkcję zmiennej x ,

f ( x ) = a x 2 + b x + c

to widzimy, że rozwiązanie nierówności kwadratowej sprowadza się do wyznaczenia przedziałów, w których funkcja f przyjmuje wartości:

– dodatnie w przypadku nierówności a x 2 + b x + c > 0

– ujemne w przypadku nierówności a x 2 + b x + c < 0

– nieujemne w przypadku nierówności a x 2 + b x + c 0

– niedodatnie w przypadku nierówności a x 2 + b x + c 0

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych przydaje się następujaca taktyka.

1. Doprowadzamy nierówność do postaci, w której lewa strona jest trójmianem kwadratowym, a prawa jest równa zeru, na przykład a x 2 + b x + c > 0.

2. Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = a x 2 + b x + c , będącej lewą stroną nierówności. W tym celu rozwiązujemy równanie a x 2 + b x + c = 0.

3. Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej f ( x ) = a x 2 + b x + c . Dbamy przy tym o dwie rzeczy:

a) ramiona paraboli będącej wykresem zwrócone są ku górze, gdy a > 0 , natomiast ku dołowi, gdy a < 0 ;

b) wykres przecina oś O X w punktach, których odcięte (a więc współrzędne " x ") są miejscami zerowymi funkcji f .

3. Odczytujemy z wykresu przedział lub przedziały, w których wykres naszej funkcji kwadratowej jest położony:

a) powyżej osi O X w przypadku nierówności a x 2 + b x + c > 0

a) poniżej osi O X w przypadku nierówności a x 2 + b x + c < 0

a) powyżej osi O X i na samej osi w przypadku nierówności a x 2 + b x + c 0

a) poniżej osi O X i na samej osi w przypadku nierówności a x 2 + b x + c 0.

Przedział lub przedziały wyznaczone w punkcie 3 powyżej to zbiór rozwiązań naszej nierówności.

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność 3 x 2 3 x 6 < 0.

Znajdujemy miejsca zerowe funkcji f ( x ) = 3 x 2 3 x 6. W tym celu rozwiązujemy równanie 3 x 2 3 x 6 = 0 :

3 x 2 3 x 6 = 0    / : 3

x 2 x 2 = 0

Δ = 1 4 1 ( 2 ) = 9

Δ = 3

x 1 = 1 3 2 = 1

x 2 = 1 + 3 2 = 2

Szkicujemy wykres funkcji f ( x ) = 3 x 2 3 x 6.

Wykresem tym jest parabola. Jej ramiona są zwrócone ku górze, ponieważ współczynnik przy x 2 we wzorze funkcji jest dodatni.

Miejsca zerowe funkcji f to x 1 = 1 i x 2 = 2 .


graphics/rownania-4__2.png

Nierówność 3 x 2 3 x 6 < 0 jest spełniona dla tych wartości x , dla których wykres funkcji f jest położony poniżej osi O X .

Odczytujemy z rysunku, że nierówność ta jest spełniona dla x należących do przedziału ( 1 , 2 ) .

Przedział ten jest zbiorem rozwiązań naszej nierówości.

Przykład 6

Rozwiążemy nierówność 3 x 2 3 x 6 0 .

Lewa strona nierówności jest tym samym wyrażeniem, co lewa strona w poprzednim przykładzie.

Tak więc wystarczy z rysunku powyżej odczytać przedziały, w których wykres funkcji f ( x ) = 3 x 2 3 x 6 jest położony poniżej osi O X i na samej osi.

Jest to przedział domknięty 1 , 2 .

Tak więc f ( x ) 0 x 1 , 2 .

Zbiorem rozwiązań nierówności 3 x 2 3 x 6 0 jest przedział domknięty 1 , 2 .

Przykład 7

Rozwiążemy nierówność 3 x 2 3 x 6 0 .

Wystarczy z rysunku powyżej odczytać przedziały, w których wykres funkcji f ( x ) = 3 x 2 3 x 6 jest położony powyżej osi O X i na samej osi.

Są to przedziały ( , 1 oraz 2 , ) .

Tak więc f ( x ) 0 x ( , 1 2 , ) .

Zbiór rozwiązań nierówności 3 x 2 3 x 6 to suma przedziałów ( , 1 2 , ) .

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność x 2 9 > 0.

Zastosuj wzór skróconego mnożenia a 2 b 2 = ( a b ) ( a + b ) .

x ( , 3 ) ( 3 , )

Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = x 2 9 , korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia a 2 b 2 = ( a b ) ( a + b ) .

x 2 9 = 0 ( x 3 ) ( x + 3 ) = 0 x = 3 lub x = 3.

Szkicujemy wykres funkcji f ( x ) = x 2 9.

Wykresem tym jest parabola. Jej ramiona są zwrócone ku górze (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy x 2 jest dodatni. .

Miejsca zerowe funkcji f to x 1 = 3 i x 2 = 3 .


x2m9less0.gif

Nierówność x 2 9 > 0 jest spełniona dla tych wartości x , dla których wykres funkcji f jest położony powyżej osi O X .

Odczytujemy z rysunku, że wykres jest położony powyżej osi O X dla x ( , 3 ) ( 3 , ) .

Ostatecznie wnioskujemy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to suma przedziałów ( , 3 ) ( 3 , )

Zadanie 6

Rozwiąż nierówność x 2 < 2 x .

x ( 0 , 2 )

Przenosimy wyraz 2 x z prawej strony na lewą i otrzymujemy nierówność:

x 2 2 x < 0

Znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = x 2 2 x , rozwiązując w tym celu równanie x 2 2 x = 0.

x 2 2 x = 0

x ( x 2 ) = 0

x = 0 lub x = 2

Szkicujemy wykres funkcji f ( x ) = x 2 2 x .

Wykresem tym jest parabola o ramionach skierowanych ku górze (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy x 2 jest dodatni. .

Miejsca zerowe funkcji to x 1 = 0 i x 2 = 2 .


x2m2xless0.gif

Nierówność x 2 2 x < 0 jest spełniona dla tych x , dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne .

Funkcja f przyjmuje wartości ujemne w tych przedziałach, w których jej wykres jest położony poniżej osi O X .

Odczytujemy z rysunku, że f ( x ) < 0 x ( 0 , 2 ) .

Ostatecznie wnioskujemy, że zbiór rozwiązań naszej nierówności to przedział ( 0 , 2 ) .

Zadanie 7

Rozwiąż nierówność ( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) < 0 .

x ( 4 , 1 2 )

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = ( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) , rozwiązując w tym celu równanie ( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) = 0.

( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) = 0

2 x 1 = 0 lub 4 x 16 = 0

x = 1 2 lub x = 4

Szkicujemy wykres funkcji f ( x ) = ( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) . Ramiona paraboli będącej wykresem zwrócone są ku górze, ponieważ wyraz 8 x 2 , który otrzymalibyśmy po wymnożeniu nawiasów, ma dodatni współczynnik przy x 2 .

Miejsca zerowe funkcji f to x 1 = 4 oraz x 2 = 1 2 .


miejscazerowem4oraz05.png

Nierówność ( 2 x 1 ) ( 4 x + 16 ) < 0 jest równoważna warunkowi, że f ( x ) < 0 , jest więc spełniona dla tych x , dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od zera.

Funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od zera w tych przedziałach, w których jej wykres jest położony poniżej osi O X .

Odczytujemy z rysunku, że f ( x ) 0 x ( 4 , 1 2 ) .

Zbiór rozwiązań naszej nierówności to przedział ( 4 , 1 2 ) .

Zadanie 8

Rozwiąż nierówność 4 x 2 + 13 x 3 0 .

x ( , 1 4 3 , )

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = 4 x 2 + 13 x 3 , rozwiązując w tym celu równanie 4 x 2 + 13 x 3 = 0.

Wyróżnik trójmianu po lewej stronie równania jest równy:

Δ = 13 2 4 ( 4 ) ( 3 ) = 121

Wyróżnik ten jest dodatni oraz Δ = 11 .

Funkcja f ( x ) = 4 x 2 + 13 x 3 ma więc dwa miejsca zerowe:

x 1 = 13 11 8 = 3

x 2 = 13 + 11 8 = 1 4

Szkicujemy wykres funkcji f ( x ) = 4 x 2 + 13 x 3

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f są zwrócone ku dołowi (dlaczego?) Ponieważ współczynnik przy x 2 jest ujemny. .

Miejsca zerowe funkcji f to x 1 = 1 4 oraz x 2 = 3.


minusmiejscazerowe025oraz3.png

Nierówność 4 x 2 + 13 x 3 0 jest równoważna warunkowi, że f ( x ) 0 .

Nierówność f ( x ) 0 zachodzi dla tych x , dla których wykres funkcji f jest położony poniżej osi O X lub na tej osi.

Odczytujemy z rysunku, że f ( x ) 0 x ( , 1 4 3 , ) .

Zbiór rozwiązań naszej nierówności to suma przedziałów ( , 1 4 3 , ) .

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność 20 x 2 x + 1 > 0 .

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f ( x ) = 20 x 2 x + 1. W tym celu rozwiąż równanie 20 x 2 x + 1 = 0. Następnie przestudiuj rozwiązanie poprzedniego zadania.

x ( 1 4 , 1 5 )

Zadanie 10

Rozwiąż nierówność 2 x 2 3 x 5 0 .

x 1 , 5 2

Zadanie 11

Rozwiąż nierówność x 2 + 11 x + 30 0 .

x 6 , 5

Zadanie 12

Rozwiąż nierówność ( x 2 ) 2 2 x 2 + 7 .

x ( , 3 1 , )

Zadanie 13

Rozwiąż nierówność 3 x 2 x + 7 > 5 x 2 + x 5 .

x ( 3 , 2 )

Zadanie 14

Dla jakich wartości x wartości funkcji f ( x ) = x 2 + 4 x + 2 są niemniejsze od wartości funkcji g ( x ) = 4 x 2 x + 4 ?

Wartości funkcji f są niemniejsze od wartości funkcji g dla tych x , dla których spełniona jest nierówność f ( x ) g ( x ) .

x 2 3 , 1

Zadanie 15

Wyznacz przedziały wartości x , w których wykres funkcji f ( x ) = 6 x 2 + 3 x + 2 znajduje się pod wykresem funkcji g ( x ) = 2 x + 3.

Wykres funkcji f znajduje się pod wykresem funkcji g dla tych wartości x , dla których f ( x ) < g ( x ) .

( 1 2 , ) ( , 1 3 )