Równania wymierne

Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.

Równania takie, jak:

$\frac{x + 1}{x - 2} = x - 5 - \frac{2}{x} $

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} = 3 $

$\frac{3 - x}{x + 2} = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 7} $

noszą nazwę równań wymiernych. Ogólnie, przyjmujemy następujące określenie:

Równanie, które można przekształcić do postaci

$\frac{P (x)}{Q (x)} = 0 $ gdzie $P (x) $ i $Q (x) $ są wielomianami, przy czym $Q (x) $ nie jest wielomianem zerowym, nazywamy równaniami wymiernymi.

Lewa stronę równania wymiernego, a więc wyrażenie $\frac{P (x)}{Q (x)} $ nosi nazwę funkcji wymiernej.

Dziedziną równania wymiernego jest zawsze zbiór tych liczb rzeczywistych $x $ , dla których mianownik $Q (x) $ jest różny od zera.

Gdy ustalimy już dziedzinę równania wymiernego, wówczas można je rozwiazać, mnożąc je stronami przez mianownik $Q (x) $ lewej strony. W ten sposób doprowadzamy równanie do postaci $P (x) = 0 $ .

Przykład 1

Rozważmy równanie $\frac{x - 1}{2 x + 2} = 0 $ .

Jego dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x \neq - 1 $ , ponieważ $2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 $ .

Tak więc dziedziną równania jest zbiór $R \ {- 1} $

Mnożąc nasze równanie stronami przez mianownik lewej strony $2 x + 2 $ , otrzymujemy równanie liniowe:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} = 0 / \cdot (2 x + 2) $

$x - 1 = 0 \cdot (2 x + 2) $

$x - 1 = 0 $

którego rozwiązaniem jest $x = 1. $ Otrzymana wartość należy do dziedziny równania.

Przykład 2

Rozważmy równanie $\frac{x^{2} - x}{4 x - 4} = 0 $ .

Jego dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x \neq 1 $ , ponieważ $4 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 $ .

Tak więc dziedziną równania jest zbiór $R \ {1} $

Mnożąc nasze równanie stronami przez mianownik lewej strony $4 x - 4 $ , otrzymujemy równanie kwadratowe:

$\frac{x^{2} - x}{4 x - 4} / \cdot (4 x - 4) $

$x^{2} - x = 0 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie:

$x^{2} - x = 0 $

$x (x - 1) = 0 $

$x = 0 $ lub $x = 1 $

Wartość $x = 1 $ musimy odrzucić, ponieważ nie należy do dziedziny równania.

Wartość $x = 0 $ jest jedynym rozwiązaniem naszego równania.

Uwaga. Nasze równanie można rozwiązać innym sposobem, wyłączając liczbę $4 $ przed nawias w mianowniku lewej strony i wyłączając $x $ przed nawias w liczniku:

$\frac{x^{2} - x}{4 x - 4} = 0 $

$\frac{x (x - 1)}{4 (x - 1)} = 0 $

$\frac{x}{4} = 0 $

$x = 0 $

Przykład 3

Rozważmy równanie $\frac{2 x - 1}{x + 2} = 1 - \frac{x}{x + 2} $ .

Mianowniki $x + 2 $ występujące w równaniu muszą być różne od zera.

Ponieważ $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 $ , więc dziedziną naszego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ różnych od $- 2 $ .

Tak więc dziedziną równania jest zbiór $R \ {- 2} $

Mnożymy równanie stronami przez $x + 2 $ , a następnie przekształcamy:

$\frac{2 x - 1}{x + 2} = 1 - \frac{x}{x + 2} / \cdot (x + 2) $

$\frac{2 x - 1}{x + 2} (x + 2) = 1 \cdot (x + 2) - \frac{x}{x + 2} (x + 2) $

$2 x - 1 = x + 2 - x $

$2 x = 3 $

$x = \frac{3}{2} $

Zadanie 1

Rozwiąż równanie $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} = 2 - \frac{3}{x} $ .

$x = \frac{9}{4} $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $x \neq 0 $ .

Dziedziną jest więc zbiór $R \ {0} $ .

Mnożymy równanie stronami przez $2 x $ i przekształcamy:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} = 2 - \frac{3}{x} / \cdot 2 x $

$\frac{1}{x} \cdot 2 x + \frac{1}{2 x} \cdot 2 x = 2 \cdot 2 x - \frac{3}{x} \cdot 2 x $

$2 + 1 = 4 x - 6 $

$9 = 4 x $

$x = \frac{9}{4} $

Otrzymana wartość $x = \frac{9}{4} $ należy do dziedziny $R \ {0} $ naszego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $\frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}} = 0 $ .

$x = - 6 $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $x \neq 0 $ .

Dziedziną jest więc zbiór $R \ {0} $ .

Mnożymy równanie stronami przez $x^{2} $ i przekształcamy:

$\frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}} = 0 / \cdot x^{2} $

$\frac{1}{x} x^{2} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2} = 0 $

$x + 6 = 0 $

$x = - 6 $

Otrzymana wartość $x = - 6 $ należy do dziedziny $R \ {0} $ naszego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Zadanie 3

Rozwiąż równanie $\frac{1}{x + 2} - \frac{6}{x^{2} - 4} = 0 $

$x = 8 $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których mianowniki po lewej stronie równania są różne od zera.

Mamy $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 $ .

Na podstawie wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) $ zachodzi równość $x^{2} - 4 = $ $(x - 2) (x + 2) $ .

Zatem $x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = - 2 $ lub $x = 2 $ .

Widzimy stąd, że dziedziną naszego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $- 2 $ i od $2 $ .

Dziedziną równania jest więc zbiór $R \ {- 2, 2} $ .

Ponieważ $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) $ , więc mianowniki po lewej stronie równania mają wspólny czynnik $x - 2 $ .

Wystarczy więc pomnożyć równanie stronami przez $x^{2} - 4 $ , czyli przez $(x - 2) (x + 2) $ (zamiast przez iloczyn mianowników):

$\frac{1}{x + 2} - \frac{6}{x^{2} - 4} = 0 / \cdot (x^{2} - 4) $

$\frac{1}{x + 2} (x^{2} - 4) - \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 4) = 0 $

$\frac{1}{x + 2} (x - 2) (x + 2) - \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 4) = 0 $

$x - 2 - 6 = 0 $

$x - 8 = 0 $

$x = 8 $

Otrzymana wartość $x = 8 $ należy do dziedziny $R \ {- 2, 2} $ naszego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Uwaga. Nasze równanie możemy rozwiązywać również w ten sposób, że najpierw przenosimy wyraz $- \frac{6}{x^{2} - 4} $ na prawą stronę ze zmienionym znakiem i dopiero potem mnożymy stronami przez $x^{2} - 4 $ :

$\frac{1}{x + 2} - \frac{6}{x^{2} - 4} = 0 $

$\frac{1}{x + 2} = \frac{6}{x^{2} - 4} / \cdot (x^{2} - 4) $

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{6 \cdot (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} $

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2} = 6 $

$x - 2 = 6 $

$x = 8 $

Zadanie 4

Rozwiąż równanie $\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 2} $ .

$x = 7 $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których mianowniki po lewej stronie równania są różne od zera.

Na podstawie wzoru skróconego mnożenia ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} $ zachodzi równość $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2} $ .

Zatem $x^{2} + 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 $ .

Mamy też $2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 $ .

Widzimy stąd, że dziedziną naszego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $- 1 $ .

Dziedziną równania jest więc zbiór $R \ {- 1} $ .

W naszym równaniu stosujemy do mianownika lewej strony wzór skróconego mnożenia ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} $ , a w mianowniku prawej strony wyłączamy czynnik $2 $ przed nawias. Następnie mnożymy otrzymane równanie stronami przez $2 {(x + 1)}^{2} $ . Otrzymujemy kolejno:

$\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 2} $

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2 (x + 1)} / \cdot 2 {(x + 1)}^{2} $

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{2} = \frac{1}{2 (x + 1)} \cdot 2 {(x + 1)}^{2} $

$8 = x + 1 $

$x = 7 $

Otrzymana wartość $x = 7 $ należy do dziedziny $R \ {- 1} $ naszego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Zadanie 5

Rozwiąż równanie $\frac{x - 4}{x} = - 3 x $

$x = - \frac{4}{3} $ lub $x = 1 $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $x \neq 0 $ .

Dziedziną równania jest więc zbiór $R \ {0} $ .

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:

$\frac{x - 4}{x} = - 3 x / \cdot x $

$\frac{x - 4}{x} \cdot x = - 3 x \cdot x $

$x - 4 = - 3 x^{2} $

$3 x^{2} + x - 4 = 0 $

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania jest równy:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 49 $

Otrzymany wyróżnik jest dodatni. Mamy też $\sqrt{Δ} = 7 $ . Równanie kwadratowe ma zatem dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{6} = - \frac{4}{3} $

$x_{2} = \frac{- 1 + 7}{6} = 1 $

Otrzymane wartości należą do dziedziny $R \ {0} $ równania podanego w treści zadania.

Ostatecznie wnioskujemy, że nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - \frac{4}{3} $ lub $x = 1 $ .

Zadanie 6

Rozwiąż równanie $\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} = - 4 $ .

$x = - \frac{1}{2} $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $x \neq 0 $ .

Dziedziną równania jest więc zbiór $R \ {0} $ .

Mnożymy równanie stronami przez $x^{2} $ i przekształcamy:

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} = - 4 / \cdot x^{2} $

$\frac{4}{x} \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2} = - 4 x^{2} $

$4 x + 1 = - 4 x^{2} $

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0 $

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania jest równy:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 4 = 0 $

Otrzymany wyróżnik jest równy zeru. Równanie ma zatem jedno rozwiązanie:

$x_{1, 2} = \frac{- 4}{2 \cdot 4} = - \frac{1}{2} $

Otrzymana wartość należą do dziedziny $R \ {0} $ równania podanego w treści zadania.

Ostatecznie wnioskujemy, że nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - \frac{1}{2} $ .

Uwaga. Równanie kwadratowe $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0 $ mogliśmy też rozwiązać, zauważając, że $4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2} $ , zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} . $ Otrzymalibyśmy ten sam wynik:

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0 $

${(2 x + 1)}^{2} = 0 $

$2 x + 1 = 0 $

$x = - \frac{1}{2} $

Zadanie 7

Rozwiąż równanie $\frac{x + 2}{2 - x} = x - 1 $ .

Równanie nie ma rozwiązań.

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $2 - x \neq 0 $ .

Ponieważ $2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2 $ , więc widzimy, że dziedziną równania jest zbiór $R \ {2} $ .

Mnożymy nasze równanie stronami przez mianownik lewej strony i przekształcamy:

$\frac{x + 2}{2 - x} = x - 1 / \cdot (2 - x) $

$\frac{x + 2}{2 - x} (2 - x) = (x - 1) (2 - x) $

$x + 2 = 2 x - x^{2} - 2 + x $

$x + 2 = - x^{2} + 3 x - 2 $

$x^{2} - 2 x + 4 = 0 $

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania jest równy:

$Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12 $

Ponieważ $Δ < 0 $ , więc równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $\frac{x + 1}{x + 3} = x + 1 $ .

$x = - 2 $ lub $x = - 1 $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $x + 3 \neq 0 $ .

Ponieważ $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 $ , więc widzimy, że dziedziną równania jest zbiór $R \ {- 3} $ .

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony, czyli przez $x + 3 $ :

$\frac{x + 1}{x + 3} = x + 1 / \cdot (x + 3) $

$\frac{x + 1}{x + 3} (x + 3) = (x + 1) (x + 3) $

$x + 1 = (x + 1) (x + 3) $

Dalszy ciąg rozumowania możemy przeprowadzić kilkoma metodami.

Metoda I

Zauważamy, że po obu stronach równania występuje wspólny czynnik $x + 1 $ .

Jeżeli $x + 1 = 0 $ , a więc gdy $x = - 1 $ , to równanie przyjmuje postać prawdziwej równości $0 = 0 $ , a więc jest spełnione.

Jednym z rozwiązań równania jest więc liczba $x = - 1 $ . Należy ona do dziedziny $R \ {- 3} $ naszego równania.

Jeżeli $x + 1 \neq 0 $ , to możemy podzielić równanie $x + 1 = (x + 1) (x + 3) $ stronami przez $x + 1 $ . Otrzymujemy wtedy kolejno:

$x + 1 = (x + 1) (x + 3) / : (x + 1) $

$\frac{x + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x + 3)}{x + 1} $

$1 = x + 3 $

$x = - 2 $

Otrzymana wartość $x = - 2 $ należy do dziedziny $R \ {- 3} $ naszego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Ostatecznie widzimy, że równanie $\frac{x + 1}{x + 3} = x + 1 $ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 2 $ lub $x = - 1 $ .

Metoda II.

W równaniu $x + 1 = (x + 1) (x + 3) $ przenosimy iloczyn z prawej strony na lewą ze zmienionym znakiem i otrzymujemy:

$x + 1 - (x + 1) (x + 3) = 0 $

Wyłączamy wyrażenie $x + 1 $ przed nawias i przekształcamy:

$(x + 1) (1 - (x + 3)) = 0 $

$(x + 1) (1 - x - 3) = 0 $

$(x + 1) (- x - 2) = 0 $

$x + 1 = 0 $ lub $- x - 2 = 0 $

$x = - 1 $ lub $x = - 2 $

Otrzymane wartości należą do dziedziny $R \ {- 3} $ , są więc rozwiązaniami równania.

Metoda III

Wymnażamy nawiasy po prawej stronie równania $x + 1 = (x + 1) (x + 3) $ , a następnie przekształcamy:

$x + 1 = (x + 1) (x + 3) $

$x + 1 = x^{2} + 3 x + x + 3 $

$x + 1 = x^{2} + 4 x + 3 $

$0 = x^{2} + 3 x + 2 $

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe $x^{2} + 3 x + 2 = 0 $ .

Rozwiązujemy je, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania i stosując wzory na pierwiastki równania kwadratowego.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^{2} + 3 x + 2 $ jest równy:

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $

Pierwiastki trójmianu to:

$x_{1} = \frac{- 3 - 1}{2} = - 2 $

$x_{2} = \frac{- 3 + 1}{2} = - 1 $

Otrzymane wartości należą do dziedziny $R \ {- 3} $ , są więc rozwiązaniami równania.

Nawet jeśli w poprzednim zadaniu uzyskałeś wynik zgodny z odpowiedzią, to i tak przeczytaj rozwiązanie zadania. Pokazuje ono, że równania wymierne można rozwiązywać różnymi metodami.

Zadanie 9

Rozwiąż równanie $\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 6 x + 9 $ .

$x = - \frac{3}{2} $ lub $x = \frac{11}{9} $

Dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x $ , dla których $4 - 3 x \neq 0 $ .

Ponieważ $4 - 3 x = 0 \Leftrightarrow 4 = 3 x \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} $ , więc widzimy, że dziedziną równania jest zbiór $R \ {\frac{4}{3}} $ .

Zauważamy, że gdy po prawej stronie równania $\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 6 x + 9 $ wyłączymy przed nawias liczbę $2 $ , to otrzymamy po obu stronach wspólny czynnik:

$\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 6 x + 9 $

$\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 3 (2 x + 3) $

Mnożymy równanie stronami przez mianownik lewej strony:

$\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 3 (2 x + 3) / \cdot (4 - 3 x) $

(1) $2 x + 3 = 3 (2 x + 3) (4 - 3 x) $

Jeżeli $2 x + 3 = 0 $ , a więc gdy $x = - \frac{3}{2} $ , to nasze równanie przyjmuje postać równości $0 = 0 $ , zatem jest spełnione.

Liczba $x = - \frac{3}{2} $ należy do dziedziny $R \ {\frac{4}{3}} $ , jest więc jednym z rozwiązań równania.

Jeżeli z kolei $2 x + 3 \neq 0 $ , to możemy podzielić równanie (1) stronami przez $2 x + 3 $ . Otrzymujemy kolejno:

$2 x + 3 = 3 (2 x + 3) (4 - 3 x) / : (2 x + 3) $

$\frac{2 x + 3}{2 x + 3} = \frac{3 (2 x + 3) (4 - 3 x)}{2 x + 3} $

$1 = 3 (4 - 3 x) $

$1 = 12 - 9 x $

$9 x = 11 $

$x = \frac{11}{9} $

Otrzymana wartość $x = \frac{11}{9} $ należy do dziedziny $R \ {\frac{4}{3}} $ rozpatrywanego równania. Jest więc jego rozwiązaniem.

Ostatecznie widzimy, że nasze równanie $\frac{2 x + 3}{4 - 3 x} = 6 x + 9 $ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - \frac{3}{2} $ lub $x = \frac{11}{9} $ .

Zadanie 10

Wiadomo, że liczba $x = \frac{1}{2} $ jest rozwiązaniem równania $x + \frac{1}{m^{2} x} = \frac{2}{m} $ . Wyznacz wartosć $m $ .

$m = 2 $

Przede wszystkim zauważmy, że musimy wykluczyć z rozważań wartość $m = 0 $ , ponieważ $m $ występuje jako czynnik w mianowniku lewej strony równania.

Podstawiamy $x = \frac{1}{2} $ do równania $x + \frac{1}{m^{2} x} = \frac{2}{m} $ : i przekształcamy otrzymane równanie z niewiadomą $m $ :

$\frac{1}{2} + \frac{1}{m^{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{m} $

$\frac{1}{2} + \frac{2}{m^{2}} = \frac{2}{m} / \cdot 2 m^{2} $

$m^{2} + 4 = 4 m $

$m^{2} - 4 m + 4 = 0 $

Zauważmy, że lewa strona ostatniego równania jest kwadratem wyrażenia $m - 2 $ na mocy wzoru skróconego mnożenia ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} $ .

Otrzymujemy więc:

${(m - 2)}^{2} = 0 $

$m = 0 $

Otrzymana wartość $m $ jest różna od zera, spełnia więc warunek sformułowany na początku rozwiązania.

Ostatecznie wnioskujemy, że jeżeli liczba $x = \frac{1}{2} $ jest rozwiązaniem równania $x + \frac{1}{m^{2} x} = \frac{2}{m} $ , to $m = 2 $ .