Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Zadanie 1

Rozwiąż równanie $| x | = 4. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 4 $ lub $x = - 4. $

Jeżeli Twój wynik nie jest zgodny z odpowiedzią, kliknij przycisk "Powtórka" poniżej.

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej opisuje odległość tej liczby od liczby $0 $ na osi liczbowej. Na przykład wartość bezwzględna liczby $5 $ wynosi $5 $ . Wartość bezwzględna liczby $- 5 $ również wynosi $5 $ . Obie liczby są położone w odległości $5 $ od liczby $0 $ :

Definicja 1

Wartość bezwzględna liczby dodatniej jest równa tej liczbie, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej:

$| a | = {\begin{matrix} a & dla & a \geq 0 \\ - a & dla & a < 0 \end{matrix} $

Z powyższej definicji wynika następujący fakt.

Jeżeli liczba $r $ jest nieujemna, to zachodzi równoważność:

$| a | = r \Leftrightarrow a = r lub a = - r $

Nasze ćwiczenie.

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 4 $ i $a = x . $

Liczba $x $ spełnia więc równanie wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 4 $ lub $x = - 4. $

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $| x - 2 | = 4. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 6 $ lub $x = - 2. $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 4 $ i $a = x - 4. $

Liczba $x $ spełnia więc równanie $| x - 2 | = 4 $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$x - 2 = 4 $ lub $x - 2 = - 4 $

Przekształcamy każde z równań i otrzymujemy:

$x = 4 + 2 $ lub $x = - 4 + 2 $

$x = 6 $ lub $x = - 2 $

Zadanie 3

Rozwiąż równanie $| 2 x + 6 | = 8. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 1 $ lub $x = - 7. $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 8 $ i $a = 2 x + 6. $

Liczba $x $ spełnia więc równanie $| 2 x + 6 | = 8 $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$2 x + 6 = 8 $ lub $2 x + 6 = - 8 $

Przekształcamy każde z równań powyżej i otrzymujemy:

$2 x = 2 $ lub $2 x = - 14 $

$x = 1 $ lub $x = - 7 $

Zadanie 4

Rozwiąż równanie $| x - 2 | = | x - 10 | . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 6. $

Jeżeli Twój wynik nie jest zgodny z odpowiedzią, kliknij przycisk "Powtórka" poniżej.

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby $1 $ oraz $7 $ . Zauważmy, że ich odległość wynosi $6 $ . Zachodzą jednocześnie równości $| 7 - 1 | = | 6 | = 6 $ i $| 1 - 7 | = | - 6 | = 6 $ .

Podobnie, odległość liczb $- 6 $ i $4 $ na osi liczbowej wynosi $10 $ . Mamy też $| 4 - (- 6) | = | 4 + 6 | = | 10 | = 10 $ i jednocześnie $| - 6 - 4 | = | - 10 | = 10 $ .

Możemy sformułować następujący wniosek.

Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest równa odległości tych liczb na osi liczbowej.

Nasze ćwiczenie. Rozwiążemy równanie $| x - 2 | = | x - 10 | . $

Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest równa ich odległości na osi liczbowej.

Wobec tego równanie jest spełnione dla wszystkich takich liczb $x $ , że odległość $x $ od liczby $2 $ jest równa odległości $x $ od liczby $10 $ .

Przypomnijmy, że liczbą równoodległą od dwóch liczb $a, b $ , gdzie $a < b, $ jest środek przedziału $⟨ a, b ⟩ . $

Środek przedzialu $[a, b] $ jest wyznaczony przez średnią arytmetyczną $\frac{a + b}{2} $ końców tego przedziału.

W naszym przypadku $a = 2 $ i $b = 10. $

Liczbą o jednakowej odległości od liczby $2 $ i liczby $10 $ jest więc $x = \frac{2 + 10}{2} = 6. $

Ostatecznie liczba $x $ jest rozwiązaniem równania $| x - 2 | = | x - 10 | $ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 6. $

Zadanie 5

Rozwiąż równanie $| x + 6 | = | x + 16 | . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdzy $x = - 11. $

Przekształcamy najpierw nasze równanie w następujący sposób:

$| x + 6 | = | x + 16 | $

$| x - (- 6) | = | x - (- 16) | $

Widzimy, że szukana wartość $x $ musi być liczbą położoną w równej odległości od liczb $- 6 $ i $- 16 $ .

Liczba ta jest średnią arytmetyczną liczb $- 6 $ i $- 16 $ (porównaj poprzednie ćwiczenie).

$x = \frac{(- 6) + (- 16)}{2} = \frac{- 6 - 16}{2} = \frac{- 22}{2} = - 11 $

Ostatecznie widzimy, że liczba $x $ jest rozwiązaniem naszego równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 11. $

Zadanie 6

Rozwiąż równanie $| 2 x + 6 | = | 2 x - 12 | . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = \frac{3}{2} . $

Przekształcamy nasze równanie:

$| 2 x + 6 | = | 2 x - 12 | $

$| 2 x - (- 6) | = | 2 x - 12 | $

Ostatnie równanie mówi, że liczba $2 x $ jest położona w tej samej odległości od liczb $- 6 $ i $12. $

Możemy zatem napisać (porównaj poprednie ćwiczenie):

$2 x = \frac{(- 6) + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Ponieważ $2 x = 3, $ więc $x = \frac{3}{2} . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = \frac{3}{2} . $

Zadanie 7

Rozwiąż równanie $| \frac{x + 3}{x - 1} | = 2. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdzy $x = 5 $ lub $x = - \frac{1}{3} . $

Zbiór rozwiązań równania to ${- \frac{1}{3}, 5} . $

Przede wszystkim zauważmy, że wyrażenie $x - 1 $ w mianowniku po lewej stronie równania musi być różne od zera, zatem musi być spełniony warunek $x \neq 1 $ . Równoważnie powiemy, że dziedziną naszego równania jest zbiór $R \ {1} . $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 2 $ i $a = \frac{x + 3}{x - 1} . $

Liczba $x $ spełnia więc równanie wtedy i tylko wtedy, gdy

$\frac{x + 3}{x - 1} = 2 $ lub $\frac{x + 3}{x - 1} = - 2. $

Zajmiemy się najpierw równaniem $\frac{x + 3}{x - 1} = 2. $ Mnożąc obie jego strony przez $x - 1, $ otrzymujemy kolejno:

$x + 3 = 2 (x - 1) $

$x + 3 = 2 x - 2 $

$- x = - 5 $

$x = 5 $

Otrzymana wartość należy do dziedziny równania.

Zajmiemy się teraz równaniem $\frac{x + 3}{x - 1} = - 2. $

Podobnie, jak poprzednio, mnożymy obie jego strony przez $x - 1 $ i otrzymujemy kolejno:

$x + 3 = - 2 (x - 1) $

$x + 3 = - 2 x + 2 $

$3 x = - 1 $

$x = - \frac{1}{3} $

Otrzymana wartość również należy do dziedziny równania.

Ostatecznie widzimy, że zbiór rozwiązań naszego równania to ${- \frac{1}{3}, 5} . $

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - \frac{1}{2} . $

Przypomnijmy następującą własność wartości bezwzględnej:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a $ , $b $ zachodzi równość:

$\sqrt{a^{2}} = | a | $

Przypomnijmy też wzór skróconego mnożenia:

Dla dowolnych liczb $a, b $ prawdziwe są równości:

$\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{matrix} $

Oba wzory zapisujemy czasem w postaci jednego wzoru:

${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2} $

przy czym czytamy go w ten sposób, że albo bierzemy pod uwagę znak "plus" po obu stronach, albo znak "minus" po obu stronach wzoru.

Nasze ćwiczenie. Mamy rozwiązać równanie $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} . $

Na podstawie wzoru skróconego mnożenia ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2} $ możemy napisać:

$x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2} $

$x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} $

Nasze równanie przyjmuje więc postać:

$\sqrt{{(x + 3)}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} $

Na podstawie równości $\sqrt{a^{2}} = | a | $ możemy napisać:

$\sqrt{{(x + 3)}^{2}} = | x + 3 | $

oraz

$\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = | x - 2 | $

Nasze równanie możemy więc przepisać jako:

$| x + 3 | = | x - 2 | $

czyli, równoważnie,

$| x - (- 3) | = | x - 2 | $

Stąd ostatecznie otrzymujemy:

$x = \frac{(- 3) + 2}{2} = - \frac{1}{2} $

Zadanie 9

Rozwiąż równanie $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} = | x | . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = \frac{1}{2} . $

Przekształcamy nasze równanie podobnie, jak w poprzednim ćwiczeniu:

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} = | x | $

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = | x | $

$| x - 1 | = | x | $

Wyrażenie $| x | $ możemy zapisać równoważnie jako $| x - 0 |, $ otrzymując równanie:

$| x - 1 | = | x - 0 | $

Otrzymujemy stąd:

$x = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} $

Zadanie 10

Rozwiąż równanie $| 2 x - 3 | = x $ .

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 1 $ lub $x = 3. $

Zbiór rozwiązań równania to ${1, 3} . $

Lewa strona naszego równania to $| 2 x - 3 | . $ Jest ona zawsze nieujemna, ponieważ wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną.

Wobec tego prawa strona naszego równania też musi być nieujemna.

Prawa strona naszego równania to $x $ .

Tak więc dziedziną równania jest zbiór tych liczb $x $ , dla których $x \geq 0. $

Dziedzina ta zapisana w języku zbiorów to przedział $⟨ 0, \infty) . $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = x $ i $a = 2 x - 3. $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem równania $| 2 x - 3 | = x $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$2 x - 3 = x $ lub $2 x - 3 = - x $

Otrzymujemy stąd:

$x = 3 $ lub $3 x = 3 $

$x = 3 $ lub $x = 1 $

Obie otrzymane wartości należą do dziedziny równania.

Ostatecznie zbiór rozwiązań wyjściowego równania to ${1, 3} . $

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $| 4 x + 6 | + x = 0 $ .

Liczba $x $ jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 2 $ lub $x = - \frac{6}{5} . $

Zbiór rozwiązań równania to ${- 2, - \frac{6}{5}} . $

Przenosimy w naszym równaniu $x $ na prawą stronę ze zmienionym znakiem i otrzymujemy:

$| 4 x + 6 | = - x $

Lewa strona otrzymanego równania to $| 4 x + 6 | . $ Wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną. Wobec tego prawa strona naszego równania też musi być nieujemna.

Prawa strona naszego równania to $- x $ .

Tak więc dziedziną naszego równania jest zbiór tych liczb $x $ , dla których $- x \geq 0 $ czyli $x \leq 0. $

Dziedzina ta zapisana w języku zbiorów to przedział $(- \infty, 0 ⟩ . $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = - x $ i $a = 4 x + 6. $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem równania $| 4 x + 6 | = - x $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$4 x + 6 = - x $ lub $4 x + 6 = - (- x) $

Otrzymujemy stąd kolejno:

$5 x = - 6 $ lub $4 x + 6 = x $

$5 x = - 6 $ lub $3 x = - 6 $

$x = - \frac{6}{5} $ lub $x = - 2 $

Wartość $x = - \frac{6}{5} $ należy do dziedziny $(- \infty, 0 ⟩ $ .

Wartość $x = - 2 $ również należy do dziedziny $(- \infty, 0 ⟩ . $

Zatem liczba $x $ spełnia nasze równanie wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - \frac{6}{5} $ lub $x = - 2. $

Zbiór rozwiązań równania to ${- 2, - \frac{6}{5}} . $

Zadanie 12

Rozwiąż równanie $| x + 2 | = 2 x + 6. $

$x = - \frac{8}{3} $

Określamy, podobnie, jak w poprzednich ćwiczeniach, dziedzinę równania:

$2 x + 6 \geq 0 $

$x \geq - 3 $

Dziedzina równania zapisana w języku zbiorów to przedzial $⟨ - 3; \infty) . $

Korzystamy z równoważności $| a | = r \Leftrightarrow a = r $ lub $a = - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 2 x + 6 $ i $a = x + 2. $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem równania $| x + 2 | = 2 x + 6 $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$x + 2 = 2 x + 6 $ lub $x + 2 = - (2 x + 6) $

Otrzymujemy stąd kolejno:

$x + 2 = 2 x + 6 $ lub $x + 2 = - 2 x - 6 $

$- x = 4 $ lub $3 x = - 8 $

$x = - 4 $ lub $x = - \frac{8}{3} $

Wartość $x = - 4 $ nie należy do dziedziny $⟨ - 3; \infty) . $

Wartość $x = - \frac{8}{3} $ należy do dziedziny $⟨ - 3; \infty), $ ponieważ $- \frac{8}{3} = - 3 + \frac{1}{3} > - 3. $

Ostatecznie jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest $x = - \frac{8}{3} . $

Zadanie 13

Rozwiąż nierówność $| x | < 4. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $- 4 < x < 4. $

Równoważnie: $x \in (- 4, 4) $ .

Zbiór rozwiązań nierowności to $(- 4, 4) . $

Jeżeli Twój wynik nie jest zgodny z odpowiedzią, kliknij przycisk "Powtórka" poniżej.

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest równa odległości tej liczby od liczby $0 $ na osi liczbowej. Na przykład wartość bezwzględna liczby $5 $ wynosi $5 $ . Wartość bezwzględna liczby $- 5 $ również wynosi $5 $ . Obie liczby są położone w odległości $5 $ od liczby $0 $ :

Ma miejsce następujący fakt.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a $ i dowolnej liczby dodatniej $r $ zachodzą równoważności:

$| a | < r \Leftrightarrow $ $- r < a < r $

$| a | \leq r \Leftrightarrow $ $- r \leq a \leq r $

$| a | > r \Leftrightarrow $ $a > r $ lub $a < - r $

$| a | \geq r \Leftrightarrow $ $a \geq r $ lub $a \leq - r $

Powyższe cztery równoważności możemy sformułować inaczej, używając pojęcia przedziału na osi liczbowej.

$| a | < r \Leftrightarrow a \in (- r, r) $

$| a | \leq r \Leftrightarrow $ $a \in ⟨ - r, r ⟩ $

$| a | > r \Leftrightarrow a \in (- \infty, - r) \cup (r, \infty) $

$| a | \geq r \Leftrightarrow $ $a \in (- \infty, - r ⟩ \cup ⟨ r, \infty) $

Nasze ćwiczenie. Mamy rozwiązać nierówność $| x | < 4. $

Korzystamy z równoważności $| a | < r \Leftrightarrow a \in (- r, r) $ w twierdzeniu powyżej.

Przyjmujemy w niej $r = 4 $ i $a = x . $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem naszej nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (- 4, 4) . $

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $(- 4, 4) . $

Zadanie 14

Rozwiąż nierówność $| x | \leq 6. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $- 6 \leq x \leq 6. $

Równoważnie: $x \in ⟨ - 6, 6 ⟩ $ .

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $⟨ - 6, 6 ⟩ . $

Korzystamy z równoważności $| x | \leq r \Leftrightarrow $ $- r \leq a \leq r . $

Przyjmujemy w niej $r = 6 $ i $a = x . $

Liczba $x $ spełnia więc omawianą nierówność wtedy i tylko wtedy, gdy $- 6 \leq x \leq 6. $

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $⟨ - 6, 6 ⟩ . $

Zadanie 15

Rozwiąż nierówność $| x | > 8. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x > 8 $ lub $x < - 8. $

Równoważnie: $x \in (- \infty, - 8) \cup (8, \infty) . $

Zbiór rozwiązań nierówności to $(- \infty, - 8) \cup (8, \infty) . $

Korzystamy z równoważności $| a | > r \Leftrightarrow $ $a > r $ lub $a < - r $ .

Przyjmujemy w niej $r = 8 $ i $a = x . $

Liczba $x $ spełnia naszą nierówność wtedy i tylko wtedy, gdy $x > 8 $ lub $x < - 8. $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $(- \infty, - 8) \cup (8, \infty) . $

Zadanie 16

Rozwiąż nierówność $| x | \geq 3. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x \geq 3 $ lub $x \leq - 3. $

Równoważnie: $x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty) . $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $(- \infty, - 3) \cup (3, \infty) . $

Korzystamy z równoważności $| a | \geq r \Leftrightarrow $ $a \geq r $ lub $a \leq - r $ .

Przyjmujemy w niej $r = 3 $ i $a = x . $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x \geq 3 $ lub $x \leq - 3. $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $(- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty) . $

Zadanie 17

Rozwiąż nierówność $| x - 3 | < 5 $ .

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $- 2 < x < 8. $

Równoważnie: $x \in (- 2, 8) . $

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $x \in (- 2, 8) . $

Korzystamy z równoważności $| a | < r \Leftrightarrow $ $- r < a < r . $

Przyjmujemy w niej $r = 5 $ oraz $a = x - 3. $

Nierówność $| x - 3 | < 5 $ jest równoważna parze nierówności:

$- 5 < x - 3 < 5 $

Rozwiązujemy najpierw pierwszą nierówność, czyli $- 5 < x - 3 : $

$- 5 < x - 3 $

$- x < 2 $

$x > - 2 $

Rozwiązujemy następnie drugą nierówność, czyli $x - 3 < 5 : $

$x - 3 < 5 $

$x < 8 $

Ostatecznie liczba $x $ jest rozwiązaniem naszej nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $- 2 < x < 8. $

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $(- 2, 8) . $

Zadanie 18

Rozwiąż nierówność $| x + 4 | \leq 7. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in ⟨ - 11, 3 ⟩ . $

Równoważnie: $x \in ⟨ - 11, 3 ⟩ . $

Zbiór rozwiazań nierówności to przedział $⟨ - 11, 3 ⟩ . $

Korzystamy z równoważności $| x | \leq r \Leftrightarrow $ $- r \leq a \leq r . $

Przyjmujemy w niej $r = 7 $ i $a = x + 4. $

Zatem liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności $| x + 4 | \leq 7 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $- 7 \leq x + 4 \leq 7. $

Rozwiązujemy nierówność $- 7 \leq x + 4 : $

$- 7 \leq x + 4 $

$- x \leq 11 $

$x \geq - 11 $

Rozwiązujemy nierówność $x + 4 \leq 7 : $

$x + 4 \leq 7 $

$x \leq 3 $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem naszej nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $- 11 \leq x \leq 3. $

Równoważnie, $x \in ⟨ - 11, 3 ⟩ . $

Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $⟨ - 11, 3 ⟩ . $

Zadanie 19

Rozwiąż nierówność $| 2 x + 4 | > 1. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x > - \frac{3}{2} $ lub $x < - \frac{5}{2} . $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty) . $

Korzystamy z równoważności $| a | > r \Leftrightarrow $ $a > r $ lub $a < - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 1 $ i $a = 2 x + 4. $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem nierówności $| 2 x + 4 | > 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$2 x + 4 > 1 $ lub $2 x + 4 < - 1 $

Przekształcamy ostatnie dwie nierówności:

$2 x > - 3 $ lub $2 x < - 5 $

$x > - \frac{3}{2} $ lub $x < - \frac{5}{2} $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty) . $

Zadanie 20

Rozwiąż nierówność $| 4 - 5 x | \geq 3. $

Liczba $x $ jest rozwiązaniem nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy $x \leq \frac{1}{5} $ lub $x \geq \frac{7}{5} . $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $⟨ - \infty, \frac{1}{5} ⟩ \cup ⟨ - \frac{7}{5}, \infty ⟩ . $

Korzystamy z równoważności $| a | \geq r \Leftrightarrow $ $a \geq r $ lub $a \leq - r . $

Przyjmujemy w niej $r = 3 $ i $a = 4 - 5 x . $

Liczba $x $ jest więc rozwiązaniem nierówności $| 4 - 5 x | \geq 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$4 - 5 x \geq 3 $ lub $4 - 5 x \leq - 3 $

Przekształcamy ostatnie dwie nierówności:

$- 5 x \geq - 1 $ lub $- 5 x \leq - 7 $

Mnożymy każdą nierówność stronami przez $- 1, $ pamiętając przy tym o zmianie kierunku nierówności:

$5 x \leq 1 $ lub $5 x \geq 7 $

$x \leq \frac{1}{5} $ lub $x \geq \frac{7}{5} $

Zbiór rozwiązań nierówności to suma przedziałów $⟨ - \infty, \frac{1}{5} ⟩ \cup ⟨ - \frac{7}{5}, \infty ⟩ . $

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną