Test 2

Z rysunku odczytujemy, że wykresy przecinają się w punkcie $\left(1,2\right)\text{}$.

Widzimy, że tylko w odpowiedzi A oba równania są spełnione przez parę $x=1,y=2\text{}$.

Metoda I

Liczba $78\text{}$ jest o $50\%\text{}$ większa od $c\text{}$.

Oznacza to, że $78=c+{\displaystyle \frac{1}{2}}c=\mathrm{1,5}\cdot c\text{}$

Wobec tego z czterech odpowiedzi trzeba wybrać tę, przy ktorej $78=\mathrm{1,5}\cdot c\text{}$

$\mathrm{1,5}\cdot 60=90\text{}$

$\mathrm{1,5}\cdot 52=78\text{}$

Druga odpowiedź okazała się prawidłowa.

Metoda II

$78=150\%\cdot c\text{}$

$78={\displaystyle \frac{3}{2}}c\text{}$($150\%=\mathrm{1,5}={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{}$)

$c={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 78=52\text{}$

Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:

${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}+1}}=\text{}$

${\displaystyle \frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\text{}$

${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}+2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}}=\text{}$

${\displaystyle \frac{4}{3-1}}=2\text{}$

${\log }_{8}16={\log }_8{2}^4=\text{}$

$4{\log }_{8}2=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{}$

Wobec tego

${\log }_{8}16+1={\displaystyle \frac{4}{3}}+1={\displaystyle \frac{7}{3}}\text{}$

Pierwiastkami równania $\left(x^2-1\right)\left(x-10\right)\left(x-5\right)\text{}$ są liczby $1,-1,10,5\text{}$.

Jedynym pierwiastkiem równania ${\displaystyle \frac{2x-10}{x-1}}=0\text{}$ jest liczba $5\text{}$.

Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$m^2-4<0\text{}$

$\left(m-2\right)\left(m+2\right)<0\text{}$

$m\in \left(-2,2\right)\text{}$

Z wykresu odczytujemy, że miejsca zerowe funkcji $f\text{}$ to liczby $-1\text{}$ i $3\text{}$.

Miejsca zerowe funkcji opisanych w odpowiedziach A i B to $1\text{}$ i $3\text{}$, a więc żadna z tych odpowiedzi nie jest poprawna.

Podstawy $AB\text{}$ i $CD\text{}$ trapezu są równoległe.

Wobec tego proste zawierające te podstawy też muszą być równoległe.

Podana prosta ma współczynnik kierunkowy równy $2\text{}$.

Szukana prosta też musi mieć współczynnik kierunkowy równy $2.\text{}$

Wobec tego odpowiedź poprawna to D.

Ponieważ $x>-3\text{}$, więc $x+3>0\text{}$.

Zatem $\left|x+3\right|=x+3\text{}$ i mamy:

${\displaystyle \frac{\left|x+3\right|-x+3}{x}}={\displaystyle \frac{x+3-x+3}{x}}={\displaystyle \frac{6}{x}}\text{}$.

Metoda I

Pierwiastkami równania są liczby $x_1=-2\text{}$ i $x_2=2\text{}$.

Ich odwrotności to ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{}$ i ${\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{}$.

Suma tych odwrotności to

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\text{}$

Metoda II ((bez liczenia)

Pierwiastki równania to $-2\text{}$ i $2\text{}$.

Są to liczby przeciwne, więc ich odwrotności też są do siebie przeciwne.

Suma liczb przeciwnych jest równa zeru.

Z treści zadania odczytujemy, że pierwszy wyraz ciągu jest równy $2\text{}$.

Podstawiając $n=1\text{}$ we wzorze $a_n=-3n+5\text{}$, widzimy, że

$a_1=-3\cdot 1+5=2\text{}$

Pole powierzchni trójkąta $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\text{}$ jest dwa razy większe od pola powierzchni trójkąta $ABC\text{}$.

Wiemy, że jeżeli skala podobieństwa figur jest równa $k\text{}$, to stosunek pól powierzchni jest równy $k^2\text{}$.

Ponieważ podany ciąg jest geometryczny, więc zachodzi równość

${\displaystyle \frac{6}{x-2}}={\displaystyle \frac{12}{6}}\text{}$

Dzielimy licznik i mianownik wyrażenia przez $\cos \alpha \text{}$ i przekształcamy (dzielenie jest dozwolone, ponieważ dla kątów ostrych $\cos \alpha >0)\text{.}\text{}$

${\displaystyle \frac{3\cos \alpha -2\sin \alpha }{\sin \alpha -5\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3\cos \alpha -2\sin \alpha }{\cos \alpha }}}{{\displaystyle \frac{\sin \alpha -5\cos \alpha }{\cos \alpha }}}}=\text{}$

${\displaystyle \frac{3-2{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}}{{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}-5}}\text{}$

Badamy liczbę punktów wspólnych okręgu z osią $Ox\text{}$.

W tym celu do równania okręgu podstawiamy $y=0\text{}$ i przekształcamy otrzymane równanie z niewiadomą $x\text{.}\text{}$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2=4\text{}$

${\left(x+2\right)}^2+9=4\text{}$

${\left(x+2\right)}^2=4-9\text{}$

${\left(x+2\right)}^2=-5\text{}$

Przy oznaczeniach jak na rysunku wysokość trapezu to długość odcinka $CF\text{}$ (i jednocześnie odcinka $DE\text{}$).

Zachodzi równość

${\displaystyle \frac{\left|CF\right|}{2\sqrt{3}}}=\sin 60°\text{}$

Wyznaczamy stąd wartość $\left|FB\right|:\text{}$

$\left|FB\right|=2\sqrt{3}\sin 60°\text{}$

$\left|FB\right|=2\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{}$

$\left|FB\right|=3\text{}$

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Ponieważ długość łuku to ${\displaystyle \frac{4}{5}}\text{}$ długości okręgu, więc oparty na nim kąt środkowy ma miarę równą ${\displaystyle \frac{4}{9}}\text{}$ miary kąta pełnego.

Z treści zadania wynika, że $f\left(1\right)=2\text{}$ oraz $f\left(-2\right)=3.\text{}$

Musimy sprawdzić, który wzór spełnia obie zależności.

Od razu widać, że odpowiedzi B i C możemy odrzucić. W przypadku B mamy bowiem

$f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1+2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{}$,

a w przypadku C mamy

$f\left(1\right)=-3\cdot 1+7=4\text{}$

Pozstają odpowiedzi A i D.

W przypadku A mamy

$f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{7}{3}}=2\text{}$

$f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \left(-2\right)+{\displaystyle \frac{7}{3}}=3\text{}$

zgodnie z informacją w treści zadania.

Liczba ścian bocznych ostrosłupa jest równa liczbie jego krawędzi bocznych (możemy myśleć, że numerujemy ściany boczne ich "lewymi krawędziami". Wystarczy więc policzyć, ile nasz ostrosłup ma krawędzi bocznych.