Kliknij w numer wybranego zadania, jeśli chcesz je zaznaczyć jako przerobione.
Możesz dowolnie zaznaczać zadania i usuwać zaznaczenia.
Jednak Twoje zaznaczenia nie będą widoczne po odświeżeniu strony.
Zadanie 1
Liczba jest równa
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 2
Wartość wyrażenia jest równa
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Zadanie 3
Przy -procentowej stawce podatku VAT cena brutto towaru wynosi zł. Jaka jest cena brutto tego towaru przy -procentowej stawce podatku VAT?
Metoda I
Podana cena brutto towaru to i jest ona równa ceny netto, bo VAT wynosi
Zatem cena netto to .
Przy -procentowej stawce podatku VAT cena brutto jest równa ceny netto.
Zatem cena brutto przy takiej stawce podatu VAT jest równa
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Metoda II
Oznaczamy przez szukaną cenę brutto przy -procentowej stawce VAT. Możemy napisać:
Wyznaczamy stąd
Metoda III (uproszczony zapis Metody II)
to
to
Zadanie 4
Wyrażenie jest równe
Metoda I
Sprawdzamy po kolei odpowiedzi:
Odpowiedź A okazała się prawidłowa.
Ponieważ na prawdziwym egzaminie maturalnym może się zdarzyć, że prawidłowa będzie dopiero ostatnia odpowiedź, przedstawimy inną metodę, pozwalającą uniknąć sprawdzania kolejno każdej odpowiedzi.
Metoda II
Zauważamy, że (ze wzoru skróconego mnożenia).
Zatem .
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
Zadanie 5
Para liczb jest rozwiązaniem układu równań gdy
Zauważmy, że drugie równanie jest spełnione, ponieważ
Podstawiamy do pierwszego równania
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 6
Równanie
Obliczamy wyróżnik trójmianu
Ponieważ więc równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Prawidłowa odpowiedź, to odpowiedź C.
Zadanie 7
Wartość wyrażenia jest równa
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Zadanie 8
Kąt jest ostry. Wyrażenie można zapisać w postaci
Przekształcamy wyrażenie:
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 9
Na rysunku przedstawiono fragment prostej . Wtedy
Prosta przecina oś w punkcie .
Odczytujemy z rysunku, że podana prosta przecina oś w punkcie
Zatem .
Odczytujemy z rysunku, że podana prosta przechodzi też przez punkt
Podstawiamy w równaniu wartości i
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Zadanie 10
Prosta przecina oś układu współrzędnych w punkcie i jest prostopadła do prostej . Wówczas prosta przecina oś układu współrzędnych w punkcie
Współczynnik kierunkowy prostej
jest równy
(dlaczego?)
.
Prosta ma więc równanie .
Prosta przecina oś w punkcie
W naszym przypadku prosta przecina oś w punkcie
Zatem
Prosta ma więc równanie
Aby wyznaczyć punkt przecięcia prostej z osią podstawiamy w jej równaniu
Szukany punkt to punkt Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
Zadanie 11
Liczba wymiernych rozwiązań równania jest równa
Rozwiązaniami równania są liczby .
Są wśród nich trzy liczby wymierne:
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 12
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji , której dziedziną jest przedział .
Funkcja jest rosnąca w przedziale
Funkcja jest rosnąca w tych przedziałach, w których jej wykres wznosi się.
Odczytujemy z wykresu, że wykres funkcji wznosi się w przedziale
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Zadanie 13
Ciąg geometryczny jest określony wzorem dla . Suma stu wyrazów określona jest wzorem
Pierwszy wyraz ciągu to
Drugi wyraz ciągu to
Iloraz ciągu jest równy
Stosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
Zadanie 14
W ciągu arytmetycznym suma pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu wynosi . Zatem drugi wyraz tego ciągu wynosi
Oznaczmy przez ogólny wyraz ciągu, a przez jego różnicę.
Dalszy ciąg rozwiązania przeprowadzimy dwiema metodami.
Metoda I
Zachodzą równości
Z treści zadania odczytujemy, że Mamy więc:
Ponieważ szukany wyraz to właśnie więc
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Metoda II
W zadaniu podano, że Jest to suma początkowych wyrazów ciągu:
Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, możemy dalej napisać:
Ponieważ w ciągu arytmetycznym , więc
Zatem Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 15
Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku Zatem
Z podanego stosunku wynika, że miary kątów wewnętrznych możemy zapisać w postaci .
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa .
Wobec tego
Najmniejszy kąt ma więc miarę .
Wynika stąd, że odpowiedzi A i B są nieprawidłowe.
Sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny. Widzimy, że
Trójkąt jest prostokątny. Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Zadanie 16
Wyznacz miarę kąta .
Trójkąt jest prostokątny.
Kąt ma miarę .
Zatem kąt ma miarę (suma miar kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa
Wobec tego miara kąta jest równa
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 17
Liczby są długościami boków trójkąta równoramiennego. Długość boku wynosi
Trójkąt jest równoramienny, więc albo albo
Suma długości boków trójkąta musi być mniejsza od długości trzeciego boku:
Widać, że nie może być równe , ponieważ wtedy musiałaby zachodzić nierówność , która jest fałszywa.
Tak więc Odpowiedź prawidłowa to odpowiedź C.
Zadanie 18
Dwa z boków trójkąta mają długości i , a kąt między nimi zawarty ma miarę . Wówczas pole powierzchni tego trójkąta jest równe
Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni trójkąta o danych dwóch bokach i mierze kąta między nimi:
Mamy
Tak więc pole powierzchni trójkąta wynosi
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Zadanie 19
Tworząca stożka ma długość cm, a średnica cm.
Zatem kąt rozwarcia stożka ma miarę
Metoda I
Rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczamy podane w treści zadania wielkości:
Szukany kąt znajdziemy, obliczając wartość jego sinusa:
Zatem więc
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Metoda II
Zauważamy, że tworząca ma długość równą długości przekątnej kwadratu o dlugości boku .
Wobec tego wysokość stożka też ma długość .
Zatem ponieważ jest to kąt między przekątną kwadratu a jego bokiem.
Zatem Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Zadanie 20
Liczba wszystkich ścian graniastosłupa sześciokątnego jest równa
Podstawą graniastosłupa sześciokątnego jest sześciokąt.
Graniastosłup ma więc sześć ścian bocznych (każdy bok podstawy jest bokiem jednej ściany).
Graniastosłup ma również dwie podstawy, będące oczywiście jego ścianami.
Razem wszystkich ścian jest więc
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Zadanie 21
W czworościanie foremnym cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi
Kąt, którego cosinus mamy wyznaczyć, jest to kąt na rysunku poniżej.
Szukany cosinus jest równy
W czworościanie wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi o tej samej długości boku .
Oznaczmy przez wysokość podstawy czworościanu. Wówczas (dlaczego?) wysokość trójkąta równobocznego o boku jest równa .
Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w 2/3 swoich długości.
Zatem
Ponieważ więc szukany cosinus jest równy
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
Zadanie 22
Liczba jest jednym z przybliżeń liczby Błąd względny tego przybliżenia wynosi
Błąd względny przybliżenia jest równy
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
Zadanie 23
Średnia arytmetyczna zestawu danych: jest równa a średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa . Wynika stąd, że
Z treści zadania odczytujemy, że
Otrzymujemy po przekształceniach:
Zastępujemy wartością w zestawie danych . Z treści zadania odczytujemy, że
Również z treści zadania odczytujemy, że
Przekształcamy:
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Zadanie 24
Ile jest różnych liczb dwucyfrowych podzielnych przez i niepodzielnych przez
Liczby dwucyfrowe podzielne przez to liczby:
Liczb tych jest
Wśród liczb powyżej podzielne przez są liczby:
Liczb tych jest
Wobec tego liczb spełniających warunki zadania jest
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
Zadanie 25
Na loterię przygotowano losów, w tym wygrywających. Po wykupieniu pewnej liczby losów, wśród których jeden był wygrywający, szansa na wygraną nie zmieniła się. Wynika stąd, że wykupiono
Oznaczmy przez liczbę losów wygrywających wśród losów.
Prawdopodobieństwo wygranej przed wykupieniem losów jest równe
Po wykupieniu losów (w tym jednego wygrywającego) prawdopodobieństwo wygranej jest takie samo, a jednocześnie równe
Mamy więc
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
Zadanie 26
Rozwiąż nierówność
Przekształcamy nierówność:
Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:
(
(tutaj wzór)
wyróżnik
(tutaj wzory) lub
Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego
Odczytujemy z wykresu przedział, w którym
Zadanie 27
Rozwiąż równanie
W innym zapisie:
lub lub
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru:
lub lub
Widzimy, że jednym z rozwiązań jest
Rozwiązujemy równanie
lub
W ten sposób znaleźliśmy łącznie trzy rozwiązania:
Rozwiązujemy równanie
Obliczamy wyróżnik:
Ponieważ wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków.
Ostatecznie widzimy, że zbiór rozwiązań wyjściowego równania to
Zadanie 28
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
Zastosuj wzór skróconego mnożenia do części wyrażenia podanego w zadaniu.
Przekształcamy podaną nierówność tak, aby można było zastosować wzór skróconego mnożenia .
Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność (suma kwadratów dowolnych liczb jest nieujemna).
Wobec tego nierówność podana w zadaniu jest prawdziwa, co kończy dowód.
Zadanie 29
Odcinki i na rysunku są równoległe.
Udowodnij, że
Narysuj półprostą
Oznacz punkt przecięcia tej półprostej z odcinkiem przez
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa
Zastosuj ten fakt do trójkąta
Narysujmy półprostą i oznaczmy punkt jej przecięcia z odcinkiem przez
Zachodzą równości:
(kąty te są naprzemianległe)
(kąty te są przyległe)
Suma miar kątów w trójkącie jest równa Zatem:
Stąd i z poprzednich zależności otrzymujemy:
co kończy dowód.
Zadanie 30
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą dla Wykres funkcji przecina oś w punkcie Zapisz wzór funkcji
Zapiszmy szukany wzór w postaci kanonicznej:
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą lub najmniejszą (w zależności od znaku ) dla i wartość ta jest równa
Z treści zadania wynika więc, że i
Wzór funkcji ma postać
Wykres funkcji przechodzi przez punkt
Zatem i spełniają równanie określające naszą funkcję.
Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź:
Zadanie 31
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymano liczbę podzielną przez lub przez .
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe to
Liczb takich jest .
Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie jednej liczby z .
Zbiór zdarzeń elementarnych liczy więc elementów:
Niech oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez lub przez
Wypiszmy wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez
– jest takich liczb.
Wypiszmy wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez
– jest takich liczb.
W obu zestawach występują dwie liczby podzielne przez i przez Są to liczby i
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu jest więc równa:
Szukane prawdopodobieństwo jest równe:
Zadanie 32
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny gdzie Trzeci wyraz tego ciągu to
Wyrazy tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego.
Wyznacz wzór na -ty wyraz ciągu
Oznaczmy przez różnicę ciągu arytmetycznego
Wówczas
Z treści zadania mamy Stąd
Wyrazy możemy teraz zapisać jako
Ponieważ tworzą ciąg geometryczny, więc
(kwadrat wyrazu środkowego w ciągu geometrycznym jest iloczynem wyrazów sąsiadujących)
czyli
Przekształcamy otrzymane równanie z niewiadomą
lub
Ponieważ ciąg jest rosnący, więc odrzucamy.
Pozostaje
Ponieważ wcześniej widzieliśmy, że więc
Tak więc i czyli ze wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
czyli po przekształceniu
Zadanie 33
Dany jest trójkąt równoramienny , gdzie Ponadto wiadomo, że Wierzchołek leży na osi . Oblicz współrzędne wierzchołka
Ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych wyznaczamy i
W zadaniu podano, że Mamy więc kolejno:
Otrzymujemy stąd
Zatem
Zadanie 34
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa cm Długość krawędzi podstawy jest równa cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Mamy podane: (długość boku podstawy ostrosłupa) i (objętość).
Mamy obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. Jest ono równe:
gdzie to pole powierzchni podstawy, a to pole powierzchni bocznej.
Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym, więc
(dlaczego?) pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku jest równe .
Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć pole powierzchni bocznej W tym celu wystarczy wyznaczyć pole powierzchni jednej ściany bocznej (na przykład trójkąta ) i pomnożyć wynik przez .
Pole powierzchni trójkąta jest równe
Potrzebujemy znać wartość Wyznaczymy ją z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta (zacieniowanego na rysunku). Znamy w nim długość przyprostokątnej bo jest to 1/3 wysokości trójkąta równobocznego
Długość wyznaczymy, wykorzystując wzór na objętość ostrosłupa i fakt, że objętość ta jest dana w zadaniu, a my już na początku znaleźliśmy
Znając i możemy wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa.
Możemy teraz wreszcie obliczyć pole powierzchni ściany bocznej :
Szukane pole powierzchni całkowitej wynosi więc