Test 4

Zadanie 1

Największą liczbą spełniającą nierównosć ${(4 + x)}^{2} < (x - 4) (x + 4) $ jest

A

- 5 ​

B

- 4 ​

C

- 3 ​

D

- 2 ​

Przekształcamy podaną nierówność:

${(4 + x)}^{2} < (x - 4) (x + 4) $

$16 + 8 x + x^{2} < x^{2} - 16 $

$8 x < - 32 $

$x < - 4 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Zadanie 2

Wartość wyrażenia $2 \log_{4} \sqrt{3} - \log_{4} 48 $ jest równa

A

- 2 ​

B

- 1 ​

C

2 ​

D

3 ​

Przekształcamy podane wyrażenie:

$2 \log_{4} \sqrt{3} - \log_{4} 48 = $

$\log_{4} {(\sqrt{3})}^{2} - \log_{4} 48 = $

$\log_{4} 3 - \log_{4} 48 = $

$\log_{4} \frac{3}{48} = \log_{4} \frac{1}{16} = - 2 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Zadanie 3

Kwotę $1000 $ zł wpłacamy do banku na $2 $ lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym banku co kwartał, a roczna stopa oprocentowania wynosi $6 % $ . Po dwóch latach otrzymamy kwotę:

A

1000 \cdot {(1,06)}^{2} ​

B

1000 \cdot {(1,06)}^{8} ​

C

1000 \cdot {(1,015)}^{2} ​

D

1000 \cdot {(1,015)}^{8} ​

Skoro roczna stopa procentowa jest równa $6 %, $ a kapitalizacja jest kwartalna, to znaczy, że stopa kwartalna jest równa $\frac{1}{4} \cdot 6 % = 1,5 % . $

Jeżeli kwotę $K $ wpłacamy na $n $ okresów kapitalizacyjnych, a stopa procentowa za pojedynczy okres wynosi $p %, $ wówczas po $n $ okresach kapitalizacyjnych kwota na rachunku jest równa

$K \cdot {(1 + p %)}^{n} = K \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n} $

W naszym przypadku $K = 1000, $ $p = 1,5 % = 0,015 $ oraz $n = 8 $ (dwa lata to osiem kwartałów). Wobec tego po dwóch latach otrzymamy kwotę

$1000 \cdot {(1 + 0,015)}^{8} = 1000 \cdot {(1,015)}^{8} $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.

Zadanie 4

Równość $\frac{k + 1}{4 - 2 \sqrt{3}} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} $ zachodzi dla

A

k = - 1 ​

B

k = 1 ​

C

k = 2 ​

D

k = 6 ​

Mnożymy podaną równość stronami przez iloczyn mianowników, a następnie przekstałcamy:

$\frac{k + 1}{4 - 2 \sqrt{3}} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} $

$2 (k + 1) = (4 + 2 \sqrt{3}) (4 - 2 \sqrt{3}) $

$2 k + 2 = 4^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2} $

$2 k + 2 = 16 - 4 \cdot 3 $

$2 k + 2 = 4 $

$k = 1 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 5

Układ równań

${\begin{array}{rcc} 2 x + y + 4 & = & 0 \\ - 4 x + 2 y & = & 0 \end{array} $

opisuje:

A zbiór pusty

​

B dokładnie jeden punkt

​

C dokładnie dwa różne punkty

​

D zbiór nieskończony

​

Metoda I

Przekształcamy podany układ równań:

${\begin{array}{rcc} 2 x + y + 4 & = & 0 \\ - 4 x + 2 y & = & 0 \end{array} $

${\begin{array}{rcl} y & = & - 2 x - 4 \\ y & = & 2 x \end{array} $

Każde z równań ostatniego układu przedstawia prostą.

Współczynniki kierunkowe tych prostych są różne.

Zatem proste nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie.

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Metoda II

Rozwiązujemy podany układ równań:

${\begin{array}{rcc} 2 x + y + 4 & = & 0 \\ - 4 x + 2 y & = & 0 \end{array} $

${\begin{array}{rcc} 2 x + y + 4 & = & 0 \\ y & = & 2 x \end{array} $

Podstawiamy $y = 2 x $ do pierwszego równania i rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $x $ :

$2 x + 2 x + 4 = 0 $

$4 x = - 4 $

$x = - 1 $

Podstawiamy $x = - 1 $ w równaniu $y = 2 x $ i wyznaczamy w ten sposób $y $ :

$y = 2 \cdot (- 1) = - 2 $

Tak więc układ ma jedno rozwiązanie $x = - 1, y = - 2. $ Rozwiązanie to jest pojedynczym punktem $(- 1, 2) . $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 6

Iloczyn wszystkich pierwiastków równania

$(x^{3} + 8) (x + 1) (x^{2} - 3) = 0 $

jest równy:

A

- 6 ​

B

- 18 ​

C

6 ​

D

18 ​

Równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z wyrażeń w nawiasach jest równe zeru.

Mamy kolejno:

$x^{3} + 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 $

$x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 $

$x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{3} $ lub $x = - \sqrt{3} $

Tak więc pierwiastkami równania są liczby

$- 2, - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3} $

Iloczyn tych liczb jest równy $- 6. $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Zadanie 7

Równanie $\frac{x + 1}{x - 1} = x + 1 $ ma dokładnie

A jedno rozwiązanie

x = - 2 ​

B jedno rozwiązanie

x = - 1 ​

C dwa rozwiązania

x = - 1, x = 2 ​

D dwa rozwiązania

x = - 2, x = 1 ​

Dziedziną równania jest zbiór tych liczb $x $ , które są różne od $1. $

Mnożymy równanie stronami przez $x - 1 $ , a następnie przekształcamy:

$\frac{x + 1}{x - 1} = x + 1 $

$x + 1 = (x + 1) (x - 1) $

Dalszy ciąg rozwiązania możemy przeprowadzić dwiema metodami.

Metoda I

Zauważmy, że jednym z rozwiązań jest $x = - 1, $ ponieważ obie strony równania są wtedy równe zeru.

Dla $x \neq - 1 $ możemy równanie $x + 1 = (x + 1) (x - 1) $ podzielić stronami przez $x + 1 $ i otrzymujemy:

$1 = x - 1 $

$x = 2 $

Ostatecznie widzimy, że podane równanie ma dwa rozwiązania: $x = - 1, x = 2. $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Metoda II

Równanie $x + 1 = (x + 1) (x - 1) $ możemy napisać jako

$x + 1 = x^{2} - 1 $

czyli

$x^{2} - x - 2 = 0 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Jego wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ jest równy

$Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9 $

Mamy stąd $\sqrt{Δ} = 3. $

Rozwiązania $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $ naszego równania to

$x_{1} = \frac{- (- 1) - 3}{2} = - 1 $

$x_{2} = \frac{- (- 1) + 3}{2} = 2 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $y = f (x) $

Dziedziną funkcji jest

A

(- 1, 2 ⟩ ​

B

⟨ - 1, 2 ⟩ ​

C

(- 2, \infty) ​

D

⟨ - 2, \infty) ​

Odczytujemy dziedzinę z rysunku. Widzimy, że funkcja jest określona dla wszystkich $x $ spełniających warunek $x > - 2. $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 9

Na wykresie funkcji $f (x) = (2 - m) x - 5 $ leży punkt $A = (1, - 2), $ zatem:

A

m = - 5 ​

B

m = - 1 ​

C

m = 1 ​

D

m = 5 ​

Punkt $A = (1, - 2) $ leży na wykresie funkcji $y = f (x) $ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (1) = - 2. $

W naszym przypadku $f (x) = (2 - m) x - 5, $ zatem musi zachodzić równość

$(2 - m) \cdot 1 - 5 = - 2 $

Otrzymujemy stąd

$2 - m - 5 = - 2 $

$- 1 = m $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 10

Funkcja liniowa $f (x) = x - m + 1 $ ma takie samo miejsce zerowe, jak funkcja kwadratowa $g (x) = x^{2} - 6 x + 9. $ Wynika stąd, że

A

m = - 2 ​

B

m = 0 ​

C

m = 2 ​

D

m = 4 ​

Zauważamy, że $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2} . $ Wobec tego

$g (x) = {(x - 3)}^{2} $

Wynika stąd, że jedynym miejscem zerowym funkcji $g $ jest liczba $3. $

Ponieważ funkcja $f (x) = x - m + 1 $ ma takie samo miejsce zerowe, jak funkcja $g $ , więc musi zachodzić równość

$f (3) = 0 $

czyli

$3 - m + 1 = 0 $

Otrzymujemy stąd

$- m = - 4 $

$m = 4 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.

Zadanie 11

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem $f (x) = 3^{x} + b . $ Jeżeli $f (0) = 2, $ to

A

f (1) = 1 ​

B

f (1) = 3 ​

C

f (1) = 4 ​

D

f (1) = 9 ​

Ponieważ $f (x) = 3^{x} + b $ i $f (0) = 2 $ , więc

$3^{0} + b = 2 $

Otrzymujemy stąd

$1 + b = 2 $

$b = 1 $

Wzór naszej funkcji ma więc postać $f (x) = 3^{x} + 1. $

Do $f (x) = 3^{x} + 1 $ podstawiamy wartosć $x = 1 $ i otrzymujemy

$f (1) = 3^{1} + 1 = 4 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 12

Ile liczb całkowitych spełnia parę nierówności

$\frac{1}{2} < \frac{x}{5} < \frac{3}{2} $ ?

A

3 ​

B

5 ​

C

6 ​

D

7 ​

Rozwiązujemy nierówność $\frac{x}{5} < \frac{3}{2} : $

$\frac{x}{5} < \frac{3}{2} / \cdot 10 $

$2 x < 15 $

$x < \frac{15}{2} = 7,5 $

Rozwiązujemy nierówność $\frac{1}{2} < \frac{x}{5} : $

$\frac{1}{2} < \frac{x}{5} / \cdot 10 $

$5 < 2 x $

$x > \frac{5}{2} = 2,5 $

Widzimy, że para nierówności $\frac{1}{2} < \frac{x}{5} < \frac{3}{2} $ jest spełniona dla $x \in (\frac{5}{2}, \frac{15}{2}) . $

Do przedziału tego należą liczby $3, 4, 5, 6, 7. $ Istnieje więc $5 $ liczb spełniających podaną parę nierówności.

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 13

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_{n}) $ spełniony jest warunek $a_{3} = 27 a_{1} . $ Iloraz $q $ tego ciągu jest równy

A

2 \sqrt{3} ​

B

3 \sqrt{3} ​

C

\sqrt[3]{3} ​

D

3 ​

Na podstawie definicji ciągu geometrycznego możemy napisać

$a_{3} = a_{2} \cdot q = (a_{1} \cdot q) \cdot q = a_{1} \cdot q^{2} $

Mamy więc $q^{2} = \frac{a_{3}}{a_{1}} $

Z drugiej strony w treści zadania podano, że $a_{3} = 27 a_{1}, $ zatem

$\frac{a_{3}}{a_{1}} = 27 $

Zachodzi więc równość

$q^{2} = 27 $

Ponieważ ciąg $(a_{n}) $ jest z założenia rosnący, więc jego iloraz musi być dodatni.

Zatem z równości $q^{2} = 27 $ otrzymujemy

$q = \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 9} = 3 \sqrt{3} $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 14

$\cos 135 ° $ jest równy

A

- \frac{\sqrt{3}}{2} ​

B

- \frac{\sqrt{2}}{2} ​

C

\frac{\sqrt{3}}{2} ​

D

\frac{\sqrt{3}}{2} ​

Zachodzi równość $135 ° = 180 ° - 45 ° . $

Korzystamy ze wzoru $\cos (180 ° - α) = - \cos α : $

$\cos (180 ° - 45 °) = - \cos 45 ° = - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 15

Jeżeli $0 ° < α < 90 ° $ i $\sin α = 4 \cos α, $ to

A

tg α = 0,25 ​

B

tg α = 0,5 ​

C

tg α = 2 ​

D

tg α = 4 ​

Zachodzi równość $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} . $

W treści zadania podano, że $\sin α = 4 \cos α . $

Otrzymujemy więc

$tg α = \frac{4 \cos α}{\cos α} = 4 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.

Zadanie 16

Miara kąta środkowego jest o $40 ° $ większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że kąt środkowy ma miarę

A

40 ° ​

B

60 ° ​

C

80 ° ​

D

120 ° ​

Pamiętamy, że kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Oznaczmy przez $x $ miarę kąta wpisanego. Wtedy miara kąta środkowego jest równa $2 x . $

Jednocześnie podano, że miara naszego kąta środkowego jest o $40 ° $ większa od miary kąta wpisanego.

Zatem zachodzi równość

$2 x = x + 40 ° $

$x = 40 ° $

Tak więc miara kąta wpisanego jest równa $40 ° . $

Szukana miara kąta środkowego jest dwa razy większa i równa $2 x = 80 ° . $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 17

Pole rombu o obwodzie $16 $ cm jest równe $8 $ cm $^{2} . $ Kąt ostry rombu ma miarę:

A

20 ° ​

B

30 ° ​

C

45 ° ​

D

60 ° ​

Nasz romb składa się z dwóch przystających trójkątów $A B D $ i $B C D . $ Jego pole powierzchni jest więc dwa razy większe niż pole powierzchni każdego z tych trójkątów:

$P_{A B C D} = 2 \cdot P_{B C D} = 2 \cdot \frac{1}{2} | B C | \cdot | C D | \cdot \sin α $

(korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o bokach $a, b $ i kącie $α $ między nimi $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin α $ )

W treści zadania podano, że obwód rombu jest równy $16, $ zatem długość każdego boku jest równa $4. $ Mamy więc

$P_{A B C D} = 4 \cdot 4 \cdot \sin α = 16 \sin α $

W treści zadania podano, że $P_{A B C D} = 8. $ Otrzymujemy więc

$16 \sin α = 8 $

$\sin α = \frac{1}{2} $

$α = 30 ° $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 18

Prosta $l : y = m^{2} x - 2 m + 1 $ jest równoległa do prostej $k : y = (- 2 m - 1) x + 5 $ wtedy i tylko wtedy, gdy

A

m = - 2 ​

B

m = - 1 ​

C

m = 1 ​

D

m = 4 ​

Dwie proste są równoległe $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ∥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} $ wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Współczynnik kierunkowy prostej $l $ jest równy $m^{2} . $

Współczynnik kierunkowy prostej $k $ jest równy $- 2 m - 1. $

Proste $l $ i $k $ są więc równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

$m^{2} = - 2 m - 1 $

$m^{2} + 2 m + 1 = 0 $

Stąd i ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} $ skróconego mnożenia otrzymujemy

${(m + 1)}^{2} = 0 $

$m = - 1 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 19

Prosta $l : y = (m + 2) x - 3 $ jest prostopadła do prostej $k : y = m x + 2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy

A

m = - 2 ​

B

m = - 1 ​

C

m = 1 ​

D

m = 2 ​

Dwie proste są

Skorzystamy z prostopadłe $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} \cdot a_{2} = - 1 \Leftrightarrow a_{1} = - \frac{1}{a_{2}} $ wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1. $

Współczynnik kierunkowy prostej $l $ jest równy $m + 2. $

Współczynnik kierunkowy prostej $k $ jest równy $m . $

Proste $l $ i $k $ są więc prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość

$(m + 2) m = - 1 $

$m^{2} + 2 m = - 1 $

$m^{2} + 2 m + 1 = 0 $

Stąd i ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} $ skróconego mnożenia otrzymujemy

${(m + 1)}^{2} = 0 $

$m = - 1 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 20

Dane są punkty $A = (- 3, 2) $ i $B = (5, 10) . $ Punkt $K $ jest środkiem odcinka $A B $ . Obrazem punktu $K $ w symetrii osiowej względem osi $O Y $ jest punkt

A

(- 1, 6) ​

B

(1, - 6) ​

C

(4, 4) ​

D

(- 4, - 4) ​

Rysunek poniżej ilustruje całą sytuację.

Rozumowanie algebraiczne wygląda natomiast tak.

Współrzędne $x, y $ punktu $K $ jako środka odcinka $A B $ są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych punktów $A $ i $B : $

$x = \frac{- 3 + 5}{2} = 1 $

$y = \frac{2 + 10}{2} = 6 $

Zatem $K = (1, 6) . $

Pamiętamy, że obrazem punktu $(x, y) $ w symetrii osiowej względem osi $O Y $ jest punkt $(- x, y) $ (zmienia się znak współrzędnej $x $ ).

Wobec tego obrazem punktu $K = (1, 6) $ w tej symetrii jest punkt $(- 1, 6) . $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Zadanie 21

Przekątna sześcianu o objętości $27 $ cm $^{3} $ ma długość

A

3 \sqrt{2} ​

cm

B

9 ​

cm

C

3 \sqrt{3} ​

cm

D

12 ​

cm

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a $ .

Wtedy objętość sześcianu jest równa $a^{3} . $

W treści zadania podano, że objętość ta jest równa $27 $ cm $^{3} . $

Wobec tego

$a^{3} = 27 $

$a = 3 $

Długość krawędzi sześcianu (w cm) jest więc równa $3. $

Mamy wyznaczyć dlugość przekątnej sześcianu (czerwony odcinek na rysunku poniżej).

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Przy oznaczeniach jak na rysunku możemy napisać

${| A G |}^{2} = {| A C |}^{2} + {| C G |}^{2} $

Długość odcinka $C G $ to $a = 3 $ (wyznaczone wcześniej).

Ponieważ (również na mocy twierdzenia Pitagorasa) ${| A C |}^{2} = a^{2} + a^{2}, $ więc

${| A G |}^{2} = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3 \cdot 3^{2} = 27 $

Tak więc długość przekątnej (w cm) jest równa

$| A G | = \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 9} = 3 \sqrt{3} $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 22

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 ° . $ Długość krawędzi bocznej bryły jest równa $4 \sqrt{2} $ cm. Jaka jest wysokość tego ostrosłupa ?

A

4 ​

B

4 \sqrt{6} ​

C

4 \sqrt{2} ​

D

12 ​

Przy oznaczeniach jak na rysunku dane są:

$∡ O A S = 45 ° $

$| A S | = 4 \sqrt{2} $

Mamy wyznaczyć $| O S | . $

Możemy napisać

$\frac{| O S |}{| A S |} = \sin ∡ O A S $

skąd

$| O S | = | A S | \sin ∡ O A S $

Ponieważ $∡ O A S = 45 ° $ oraz $| A S | = 4 \sqrt{2}, $ więc mamy kolejno:

$| O S | = 4 \sqrt{2} \sin 45 ° $

$| O S | = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

$| O S | = 4 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Zadanie 23

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą $8. $ Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A

\frac{8^{2}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 3) ​

B

8^{2} \sqrt{3} ​

C

\frac{8^{2} \sqrt{6}}{3} ​

D

8^{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 3) ​

Podstawy naszego graniastosłupa są trójkątami równobocznymi. Każdy z tych trójkątów ma bok o długości $8. $

Wobec tego łączne pole powierzchni tych podstaw jest równe

$P_{p} = 2 \cdot \frac{8^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{8^{2} \sqrt{3}}{2} $

Nasz graniastosłup ma $3 $ ściany boczne będące kwadratami. Każdy z tych kwadratów ma bok o długości $8. $

Wobec tego pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest równe

$P_{b} = 3 \cdot 8^{2} $

Zatem pole powierzchni całkowitej bryły jest równe

$P_{p} + P_{b} = \frac{8^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 8^{2} $

$P_{p} + P_{b} = 8^{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 3) $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.

Zadanie 24

Ustal średnią ważoną ocen Basi, przedstawionych wraz z wagami w tabelce poniżej:

Ocena	4	3	5	2
Waga	3	2	3	2

A

3,5 ​

B

3,7 ​

C

3,8 ​

D

3,9 ​

Obliczamy średnią ważoną według wzoru

$S = \frac{w_{1} x_{1} + \dots w_{n} x_{n}}{w_{1} + \dots w_{n}} $

gdzie $x_{1}, \dots x_{n} $ to wartości w zbiorze danych, a $w_{1}, \dots w_{n} $ – odpowiadające im wagi.

W naszym przypadku średnia ta wynosi

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 2}{3 + 2 + 3 + 2} = \frac{37}{10} = 3,7 $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Zadanie 25

Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą?

A

\frac{1}{2} ​

B

\frac{1}{3} ​

C

\frac{1}{4} ​

D

\frac{1}{9} ​

Za przestrzeń zdarzeń elementarnych $Ω $ przyjmijmy zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb $(k, m), $ gdzie $k, m \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} . $ Liczba $k $ oznacza liczbę oczek po pierwszym rzucie, liczba $m $ oznacza liczbę oczek po drugim rzucie. Istnieje $36 $ wszystkich takich par.

Zatem $| Ω | = 36. $

Oznaczmy przez $A $ zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą.

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, oba czynniki są nieparzyste.

Zatem zdarzeniu $A $ sprzyjają wszystkie takie zdarzenia elementarne $(k, m), $ że zarówno $k, $ jak $m $ jest liczbą nieparzystą:

$A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} $

Widzimy, że zdarzeniu $A $ sprzyja $9 $ zdarzeń elementarnych, $| A | = 9 $ .

Zgodnie z definicją prawodpodobieństwa otrzymujemy:

$P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność ${(x - 2)}^{2} \leq 2 x^{2} + 7. $

$x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ - 1, \infty) $

Przekształcamy podaną nierowność:

${(x - 2)}^{2} \leq 2 x^{2} + 7 $

$x^{2} - 4 x + 4 \leq 2 x^{2} + 7 $

$- x^{2} - 4 x - 3 \leq 0 $

Aby uprościć dalsze obliczenia, mnożymy ostatnią nierówność stronami przez $- 1, $ zmieniając przy tym jej kierunek i otrzymujemy

$x^{2} + 4 x + 3 \geq 0 $

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu $x^{2} + 4 x + 3. $ Jego wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ jest równy

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 $

Otrzymany wyróżnik jest dodatni, więc nasz trójmian ma dwa

miejsca zerowe: $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

$x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2} = - 3 $

$x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2} = - 1 $

Znając miejsca zerowe, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej

$x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3) $

Nierówność $x^{2} + 4 x + 3 \geq 0 $ przyjmuje więc postać

$(x + 1) (x + 3) \geq 0 $

Szkicujemy wykres lewej strony nierówności:

Odczytujemy z rysunku, że nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $x \leq - 3 $ lub $x \geq - 1. $

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$(- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ - 1, \infty) $

Zadanie 27

Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych przy dzieleniu przez $8 $ daje resztę $2. $

Każdą liczbę nieparzystą możemy zapisać w postaci $2 n - 1, $ gdzie $n = 1, 2, 3, \dots $

Liczba nieparzysta występująca po liczbie $2 n - 1 $ to liczba o $2 $ większa, czyli $2 n + 1. $

Suma kwadratów liczby $2 n - 1 $ i liczby $2 n + 1 $ jest równa:

${(2 n - 1)}^{2} + {(2 n + 1)}^{2} = $

$4 n^{2} - 4 n + 1 + 4 n^{2} + 4 n + 1 = $

$8 n^{2} + 2 $

Widzimy więc, że suma kwadratów ${(2 n - 1)}^{2} + {(2 n + 1)}^{2} $ dwóch kolejnych liczb nieparzystych da się zapisać w postaci $8 m + 2, $ gdzie $m $ jest liczbą całkowitą (w naszym przypadku $m = n^{2}) . $

Każda liczba postaci $8 m + 2 $ daje przy dzieleniu przez $8 $ resztę $2. $

W ten sposób wykazaliśmy fakt będący treścią zadania.

Zadanie 28

Wykaż, że liczba $6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} $ jest podzielna przez $17. $

Liczba jest podzielna przez $17 $ wtedy i tylko wtedy, gdy może być zapisana w postaci

$17 \cdot m $

gdzie $m $ jest liczbą całkowitą. Wykażemy, że podana w treści zadania liczba da się zapisać w takiej postaci.

W wyrażeniu $6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} $ wyłączamy przed nawias $6^{98} $ i otrzymujemy:

$6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = $

$6^{98} (6^{2} - 2 \cdot 6^{1} + 10) = $

$6^{98} (36 - 12 + 10) = 6^{98} \cdot 34 = $

$17 \cdot 2 \cdot 6^{98} $

Przedstawiliśmy podaną liczbę w postaci $17 \cdot m $ (w tym przypadku $m = 2 \cdot 6^{98} $ ).

W ten sposób wykazaliśmy fakt będący treścią zadania.

Zadanie 29

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji $f (x) = x^{2} - 4 x + 5 $ w przedziale $⟨ 0, 3 ⟩ . $

Wartość najmniejsza: $1 $

Wartość największa: $5 $

Współczynnik przy $x^{2} $ jest dodatni. Wobec tego wykresem funkcji $f $ jest parabola o ramionach zwróconych ku górze.

Wynika stąd, że nasza funkcja przyjmuje swoją najmniejszą wartość:

albo w punkcie $x_{w} $ będącym odciętą wierzchołka paraboli (jeżeli wierzchołek leży w podanym przedziale),
albo w którymś końcu podanego przedziału (jeżeli wierzchołek leży poza podanym przedziałem).

Odcięta wierzchołka wykresu funkcji $y = a x^{2} + b x + c $ jest równa $x_{w} = - \frac{b}{2 a} . $

W naszym przypadku $x_{w} = - \frac{- 4}{2} = 2. $

Liczba ta leży wewnątrz przedziału $⟨ 0, 3 ⟩, $ zatem $f (x_{w}) $ jest najmniejszą wartością naszej funkcji w całym przedziale. Wartość ta jest równa

$f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 5 = 1 $

Na końcach przedziału $⟨ 0, 3 ⟩ $ funkcja przyjmuje wartości:

$f (0) = 5 $

$f (3) = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 5 = 2 $

Ostatecznie wnioskujemy, że:

– najmniejszą wartością funkcji $f $ w podanym przedziale jest $f (2) = 1; $

– największą wartością funkcji $f $ w podanym przedziale jest $f (0) = 5. $

Zadanie 30

Wyznacz równanie symetralnej odcinka $A B $ , jeżeli $A = (- 4, 6) $ oraz $B = (- 2, 8) . $

$y = - x + 4 $

Metoda I (algebraiczna)

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Środek naszego odcinka to punkt, którego współrzędne są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych punktów $A $ i $B : $

$S = (\frac{- 4 + (- 2)}{2}, \frac{6 + 8}{2}) = (- 3, 7) $

Musimy więc wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt $S $ i prostopadłej do prostej $k $ przechodzącej przez punkty $A, B . $

Piszemy równanie prostej $k : $

$y - 6 = \frac{8 - 6}{- 2 - (- 4)} (x - (- 4)) $

$y = x + 10 $

Prosta prostopadła do prostej $k $ ma współczynnik kierunkowy równy $- 1 $ ( dlaczego $l_{1} : y = a_{1} x + b_{1} $
$l_{2} : y = a_{2} x + b_{2} $
$l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow a_{1} \cdot a_{2} = - 1 \Leftrightarrow a_{1} = - \frac{1}{a_{2}} $ )?

Zatem równanie szukanej prostej ma postać

$y = - x + b $

Wartość $b $ wyznaczymy, wiedząc, że punkt $S = (- 3, 7) $ należy do szukanej prostej.

$7 = - (- 3) + b $

$b = 4 $

Ostatecznie widzimy, że równanie szukanej prostej to

$y = - x + 4 $

Metoda II (graficzna)

Rysujemy w układzie współrzędnych prostą zawierającą odcinek $A B, $ a następnie symetralną tego odcinka.

Widzimy z rysunku, że symetralna odcinka $A B $ ma współczynnik kierunkowy równy $- 1, $ ponieważ w przypadku tej prostej wzrost wartości $x $ o $1 $ powoduje zmniejszenie wartości $y $ o $1. $

Ponadto symetralna przecina oś $O Y $ w punkcie $(0, 4) . $ Zatem w jej równaniu $y = a x + b $ współczynnik $b $ musi być równy $4 $ .

Ostatecznie widzimy, że równanie symetralnej to $y = - x + 4. $

Zadanie 31

Jeżeli licznik i mianownik pewnego ułamka nieskracalnego zwiększymy o $3 $ , to otrzymamy $0,75 . $ Jeżeli zaś licznik tego ułamka powiększymy dwa razy, to otrzymamy $1,2 . $ Jaki to ułamek?

$\frac{3}{5} $

Zapiszmy ułamek w postaci $\frac{x}{y} . $

Z treści zadania odczytujemy, że

$\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{3}{4} $

$\frac{2 x}{y} = \frac{6}{5} $

Przekształcając każdą z powyższych równości, otrzymujemy następujący układ równań:

${\begin{matrix} 4 x - 3 y & = & - 3 \\ 10 x - 6 y & = & 0 \end{matrix} $

czyli, po uproszczeniu drugiego równania,

${\begin{matrix} 4 x - 3 y & = & - 3 \\ 5 x - 3 y & = & 0 \end{matrix} $

Odejmując teraz pierwsze równanie od drugiego stronami, otrzymujemy

$(5 x - 3 y) - (4 x - 3 y) = 0 - (- 3) $

$x = 3 $

Podstawiając teraz $x = 3 $ do równania $5 x - 3 y = 0, $ otrzymujemy

$5 \cdot 3 - 3 y = 0 $

$y = 5 $

Ostatecznie otrzymujemy $x = 3, y = 5. $

Zatem szukany ułamek to $\frac{3}{5} . $

Zadanie 32

Podstawą ostrosłupa $A B C D $ jest trójkąt $A B C $ . Krawędź $A D $ jest wysokością ostrosłupa, jak na rysunku poniżej. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeżeli wiadomo, że $| A D | = 12, | B C | = 6 $ oraz $| B D | = | C D | = 13. $ (wszystkie podane długości są w centymetrach).

$48 $

Rysunek poniżej przdstawia nasz ostrosłup z wymiarami podanymi w treści zadania.

Ponieważ $| B D | = | C D |, $ więc ściana boczna $B C D $ jest trójkątem równoramiennym.

Krawędź $A D $ jest wysokością bryły, zatem podstawa $A B C $ też jest trójkątem równoramiennym.

Objętość ostrosłupa jest równa

$V = \frac{1}{3} P_{A B C} \cdot | A D | $

Ponieważ znamy $| A D |, $ więc musimy wyznaczyć pole powierzchni podstawy, a więc trójkąta $A B C $ .

Bok $B C $ tego trójkąta ma długość $| B C | = 6. $ Musimy więc wyznaczyć długość jego wysokości.

Oznaczmy przez $E $ środek krawędzi $B C $ . Ponieważ trójkąt $B C D $ jest równoramienny o ramionach $B D $ i $C D $ , więc odcinek $D E $ jest jego wysokością, a to znaczy, że kąt $∡ B E D $ (również kąt $∡ C E D $ ) jest prosty. Wobec tego odcinek $A E $ jest wysokością trójkąta $B C D $ .

Długość wysokości $A E $ wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $B E D : $

${| D E |}^{2} + {| C E |}^{2} = {| C D |}^{2} $

czyli

${| D E |}^{2} + 3^{2} = 13^{2} $

${| D E |}^{2} = 13^{2} - 3^{2} = 160 $

W trójkącie $A E D $ kąt $∡ D A E $ jest prosty (ponieważ $A D $ jest wysokością bryły).

Stosując ponownie twierdzenie Pitagorasa, możemy napisać

${| A D |}^{2} + {| A E |}^{2} = {| D E |}^{2} $

$12^{2} + {| A E |}^{2} = 160 $

${| A E |}^{2} = 160 - 12^{2} = 16 $

$| A E | = 4 $

Możemy teraz obliczyć pole powierzchni podstawy naszego ostrosłupa:

$P_{p} = P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | B C | \cdot | A E | $

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 $

Ostatecznie objętość ostrosłupa jest równa

$V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot | A D | $

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 = 48 $

Zadanie 33

W pierwszej loterii jest $200 $ losów, w tym $24 $ losy wygrywające. W drugiej loterii jest $150 $ losów, w tym $n $ losów wygrywających. Oblicz $n $ , wiedząc, że prawdopodobieństwo wygranej przy kupnie pojedynczego losu jest w pierwszej loterii trzykrotnie większe niż w drugiej.

$n = 6 $

Prawdopodobieństwo $P_{1} $ kupienia wygrywającego losu w pierwszej loterii. Z treści zadania wynika, że

$P_{1} = \frac{24}{200} = \frac{3}{25} $

Podobnie, prawdopodobieństwo kupienia wygrywającego losu w drugiej loterii jest równe

$P_{2} = \frac{n}{150} $

W treści zadania podano, że $P_{1} = 3 P_{2} . $ Otrzymujemy więc równanie z niewiadomą $n : $

$\frac{3}{25} = 3 \cdot \frac{n}{150} $

Przekształcamy je:

$\frac{3 n}{150} = \frac{3}{25} / : 3 $

$\frac{n}{150} = \frac{1}{25} / \cdot 25 $

$\frac{n}{6} = 1 $

$n = 6 $

Zadanie 34

Państwo Kowalscy mają troje dzieci, których wiek w latach opisują liczby tworzące ciąg geometryczny. Dzieci mają w sumie $19 $ lat, a najstarsze z nich jest dziewięciolatkiem. Obliczy, ile lat ma każde dziecko.

Dzieci są wieku $4, 6, 9 $ lat (licząc w kolejności od najmłodszego).

Skorzystamy z definicji $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $ ciągu geometrycznego.

Ponieważ

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q $ ,

więc

$a_{n} = \frac{a_{n + 1}}{q} $ .

Oznaczmy przez $q $ iloraz ciągu geometrycznego, który stanowią liczby opisujące wiek dzieci.

Z treści zadania odczytujemy, że najstarsze dziecko ma $9 $ lat.

Wobec tego średnie dziecko ma $\frac{9}{q} $ lat.

Najmłodsze dziecko ma zatem $\frac{9}{q^{2}} $ (dlaczego?) $\frac{\frac{9}{q}}{q} = \frac{9}{q^{2}} $ lat.

Suma lat wszystkich dzieci jest równa $19 $ . Możemy więc napisać:

$\frac{9}{q^{2}} + \frac{9}{q} + 9 = 19 $

Przekształcamy otrzymane równanie:

$\frac{9}{q^{2}} + \frac{9}{q} + 9 = 19 : / q^{2} $

$9 + 9 q + 9 q^{2} = 19 q^{2} $

$10 q^{2} - 9 q - 9 = 0 $

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą $q . $

Wyróżnik wyróżnik $a x^{2} + b x + c : $
$Δ = b^{2} - 4 a c $ trójmianu $10 q^{2} - 9 q - 9 $ jest równy:

$Δ = {(- 9)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 9) = 441 $

Wyróżnik jest dodatni oraz $\sqrt{Δ} = 21 $ .

Równanie $10 q^{2} - 9 q - 9 = 0 $ ma dwa rozwiązania: $a x^{2} + b x + c = 0 $
$\Leftrightarrow x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} $
lub
$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} $

$q_{1} = \frac{- (- 9) - 21}{2 \cdot 10} = - \frac{3}{5} $

$q_{2} = \frac{- (- 9) + 21}{2 \cdot 10} = \frac{3}{2} $

Rozwiązanie $q_{1} = - \frac{3}{5} $ odrzucamy, ponieważ rozpatrywany ciąg jest rosnący (wiek dzieci podany jest w kolejności od najmłodszego do najstarszego).

Pozostaje rozwiązanie $q_{2} = \frac{3}{2} $ . Jest to iloraz naszego ciągu.

Ostatecznie liczby opisujące wiek dzieci w latach są następujące:

wiek najmłodszego dziecka to $\frac{9}{{(\frac{3}{2})}^{2}} = 4 $ lata;
wiek średniego dziecka to $\frac{9}{\frac{3}{2}} = 6 $ lat;
wiek najstarszego dziecka (podany w treści zadania) to $9 $ lat.

Test 4

Zadania zamknięte

Zadania otwarte