Dla studentów
Badania
- wprowadzenie
- artykuły (po angielsku)
- seminarium PMOS
Rozmaitości
- Dla licealistów (i nie tylko)
- Otwarte problemy z nagrodami C. Kimberlinga
Matematyka (równania różniczkowe, rachunek prawdopodobieństwa; MAP1206)
semestr zimowy 2013/14
Uwagi wstępne
Niestety program kursu jest przeładowany i nie ma szans, byśmy go w pełni zrealizowali. Spróbujemy zrobić jak najwięcej, ale tak, by materiał był możliwie zrozumiały.
Zasady zaliczenia
Odbędą się dwa kolokwia, z każdego będzie można uzyskać 25 punktów. Dodatkowo można zdobyć do 10 punktów aktywnością na ćwiczeniach. Progi punktowe na kolejne oceny to: 25 (dst), 30 (dst+), 35 (db), 40 (db+), 45 (bdb). Aby uzyskać ocenę celującą, należy spełnić warunki na ocenę bardzo dobrą i wykazać się dodatkowym zaangażowaniem.
Egzaminy będą podobne do kolokwiów. Na każdym z nich można będzie uzyskać do 50 punktów, ocena wystawiana jest według tego samego schematu.
Ocena z ćwiczeń jest uznawana na wykładzie, a dodatkowym terminem zaliczenia ćwiczeń jest egzamin (są więc dwa dodatkowe terminy zaliczenia ćwiczeń).
Terminy kolokwiów: 10 kwietnia (na wykładzie) i 5 czerwca (na wykładzie). Terminy egzaminów: 21 czerwca, godz. 11:15–13:00, s. 110, bud. C-2 oraz 1 lipca, godz. 11:15–13:00, s. 110, bud. C-2.
Materiał obowiązujący na kolokwiach i egzaminach
Teoria równań różniczkowych (biegła znajomość poniższych zagadnień wystarczy na ocenę bardzo dobrą z I kolokwium oraz z pierwszej połowy egzaminu):
- Umiejętność zapisywania równań różniczkowych opisujących zagadnienia fizyczne (czyli zadania z treścią)
- Równania I rzędu o rozdzielonych zmiennych
- Równania liniowe I rzędu i metoda czynnika całkującego
- Sprowadzanie równań autonomicznych II rzędu do równań I rzędu (czyli „podstawienie” $y'=z(y)$)
- Układy dwóch równań liniowych I rzędu o stałych współczynnikach: metoda Eulera (dla układów jednorodnych o dwóch różnych wartościach własnych) i metoda uzmienniania stałych (dla układów niejednorodnych
- Równania liniowe II rzędu o stałych współczynnikach: metoda Eulera (dla układów jednorodnych) i metoda uzmienniania stałych (dla układów niejednorodnych
Teoria procesów stochastycznych (biegła znajomość poniższych zagadnień wystarczy na ocenę bardzo dobrą z II kolokwium oraz z drugiej połowy egzaminu):
- Zastosowania rachunku prawdopodobieństwa w codziennym życiu
- Obliczanie i przekształcanie gęstości i dystrybuant zmiennych o rozkładach absolutnie ciągłych
- Wykorzystanie rozkładu łącznego wektora losowego do wyznaczania prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych, także warunkowych
- Zastosowanie mocnego prawa wielkich liczb i centralnego twierdzenia granicznego
- Własności procesu Wienera i ruchu Browna
Rozszerzenia (mogą pomóc w uzyskaniu lepszej oceny, nawet celującej):
- Rodziny krzywych i ortogonalność krzywych a równania różniczkowe
- Równania Bernoulliego
- Układy trzech i więcej równań liniowych I rzędu o stałych współczynnikach
- Układy równań liniowych I rzędu o stałych współczynnikach z niepełnym układem wektorów własnych
- Równania liniowe trzeciego i wyższych rzędów o stałych współczynnikach
Listy zadań
W pierwszej części wykładu korzystamy z list zadań do równań różniczkowych zwyczajnych (nazywanych niżej listą RRZ), opracowanych przez dr. Gewerta i dr. Skoczylasa.
Listy zadań z rachunku prawdopodobieństwa:
- Lista 1: wprowadzenie
- Lista 2: rachunki
- Lista 3: rozkład normalny i CTG
- Lista 4: proces Wienera
- Lista 5: łańcuchy Markowa
- Lista 6: łańcuchy Markowa
Kontakt
Proszę pamiętać, że na informacje przesłane przez powyższy anonimowy formularz nie mogę odpowiedzieć!
Przebieg wykładów
- Wykład 1:
- Przykłady:
(1) rozpad promieniotwórczy $y'=-Qy$;
(2) lot na spadochronie $v'=g-k\cdot v^2$ - Równania różniczkowe I rzędu
- Rownania o rozdzielonych zmiennych; przykłady:
(1) rozpad promieniotwórczy;
(2) skoczek spadochronowy gdy $g = 10 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ oraz $k = 2{,}5 \tfrac{1}{\mathrm{m}}$, czyli równanie $v'=10-2{,}5\,v^2$;
(3) $y'=-\frac{t}{y}$;
Przykłady do samodzielnego rozważenia:
(4) $y'=y\sin y$ (problem z całką nieoznaczoną);
(5) $y'=\tfrac{1}{1+\log y}$ (problem z rozwiązaniem równania uwikłanego) - Zagadnienie początkowe (inaczej: zagadnienie Cauchy’ego); przykłady:
(1) rozpad radioaktywny z warunkiem $y(0) = 1$
(2) skoczek spadochronowy z warunkiem $v(0) = 0$ - Istnienie i jednoznaczność rozwiązań: twierdzenia Picarda–Lindelöfa oraz Peana w pigułce; przykład:
(6) $y'=\sqrt[3]{y}$
Zadania domowe: powtórzyć różniczkowanie i całkowanie funkcji jednej zmiennej; poeksperymentować z WolframAlpha na wzór powyższych linków; przyswoić materiał z pierwszych zajęć.
- Przykłady:
- Wykład 2:
- Rodziny krzywych całkowych, pola kierunków i krzywe ortogonalne; przykłady:
(3) $x\,dx + y\,dy = 0$;
(7) $y\,dx - x\,dy = 0$;
(8) $x\,dx - y\,dy = 0$;
(9) $y\,dx + x\,dy = 0$ - Równania liniowe i metoda czynnika całkującego; przykłady:
(1) $y' = -Q y$;
(10) $y'+2ty=t^3$;
(11) $y'+2ty=1$ (kłopoty z całkowaniem);
(12) $2ty'+y=1$
Ponadto: zachęta do korzystania z MaximyZadanie domowe: przygotować się do ćwiczeń (równania liniowe, równania Bernoulliego, zadania z treścią; zob. plan ćwiczeń).
- Rodziny krzywych całkowych, pola kierunków i krzywe ortogonalne; przykłady:
- Wykład 3:
- Powtórka z równań liniowych:
(13) $ty'+y=t^2$ z warunkiem początkowym $y(-1)=1$ - Równania różniczkowe wyższych rzędów i zagadnienie początkowe; przykład:
(14) $y^{(n)}=1$ - Równania liniowe drugiego rzędu: jednorodne i niejednorodne; układ fundamentalny rozwiązań; wrońskian; rozwiązanie szczególne i ogólne równania niejednorodnego; przykład:
(15) $t^2y''+ty'+y=\log t$ (zob. rozwiązanie krok po kroku) - Równania drugiego rzędu, które nie zależą od zmiennej związanej, a tylko od jej pierwszej i drugiej pochodnej (podstawienie $z(t)=y'(t)$); przykład:
(2) lot na spadochronie $y''=10-2{,}5(y')^2$; - Sprowadzanie równań autonomicznych (nie zależących jawnie od zmiennej wolnej) drugiego rzędu do równań pierwszego rzędu (postulowanie zależności $y'=z(y)$ i traktowanie $y$ jak zmiennej wolnej, a $z$ jak zmiennej zależnej); przykłady:
(16) $yy''-(y')^2=y'$
(17*) $y''=(y')^2-2y$ z warunkiem początkowym $y(0)=0$, $y'(0)=1$:- równanie autonomiczne
- podstawienie $y'=u(y)$ prowadzi do równania Bernoulliego $u'u-u^2=-2y$
- podstawienie $u^2=v$ daje równanie liniowe $v'-2v=-4y$
- rozwiązujemy: $v(y)=2y+1+C_1e^{2y}$
- wstawiamy ponownie $u$: $u(y)=\sqrt{2y+1+C_1e^{2y}}$
- wyznaczamy stałą z warunku początkowego: $u(0)=1$, zatem $C_1=0$ oraz $u(y)=\sqrt{2y+1}$
- uzyskujemy równanie o rozdzielonych zmiennych: $y'=\sqrt{2y+1}$
- rozwiązanie: $\sqrt{2y+1}=t+C_2$
- wyznaczamy stałą z warunku początkowego: $\sqrt{2y(0)+1}=0+C_2$, czyli $C_2=1$
- ostatecznie $\sqrt{2y+1}=t+1$, czyli $y(t)=\tfrac{t^2}{2}+t$
Shift+Enter
. Przykładowe polecenia:plotdf([y^2,x^2]);
- Naszkicuj pole kierunków odpowiadające równaniu $\tfrac{dx}{y^2}+\tfrac{dy}{x^2}=0$. Kliknięcie myszką w obrębie rysunku powoduje dorysowanie krzywych całkowych równania.
eq:y*'diff(y,t,2)-('diff(y,t))^2='diff(y,t);
- Zapisz równanie $yy''-(y')^2=y'$ pod nazwą
eq
. sol:ode2(eq,y,t);
- Rozwiąż równanie
eq
ze zmienną związaną $y$ i zmienną wolną $t$ i zapisz rozwiązanie ogólne pod nazwąsol
. icsol:ic2(sol,t=0,y=1,diff(y,t)=2);
- Dobierz stałe do zagadnienia początkowego $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ w rozwiązaniu
sol
i zapisz rozwiązanie zagadnienia początkowego pod nazwąicsol
. radcan(icsol);
- Uprość nieco wynik
icsol
.
Zadanie domowe: przygotować się do ćwiczeń (równania autonomiczne, równania liniowe drugiego rzędu; zob. plan ćwiczeń).
- Powtórka z równań liniowych:
- Wykład 4:
- Układy równań różniczkowych zwyczajnych; zamiana (układów) równań wyższych rzędów na układy równań I rzędu; przykład:
(18) ruch Ziemi i Księżyca $\vec{x}_1''=Gm_2\tfrac{\vec{x}_2-\vec{x}_1}{|\vec{x}_2-\vec{x}_1|^3}$, $\vec{x}_2''=Gm_1\tfrac{\vec{x}_1-\vec{x}_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}$; równoważnie: $\vec{x}_1'=\vec{v}_1$, $\vec{x}_2'=\vec{v}_2$, $\vec{v}_1'=Gm_2\tfrac{\vec{x}_2-\vec{x}_1}{|\vec{x}_2-\vec{x}_1|^3}$, $\vec{v}_2'=Gm_1\tfrac{\vec{x}_1-\vec{x}_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}$ - Wektory i wartości własne macierzy; układy jednorodnych równań liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach i metoda Eulera; przykłady:
(19) $x'=4x+3y$, $y'=3x-4y$
(20) $x'=4x-3y$, $y'=3x+4y$
(21*) $x'=x+y$, $y'=-x+3y$
plotdf([4*x+3*y,3*x-4*y]); plotdf([4*x-3*y,3*x+4*y]);
- Naszkicuj pola kierunków odpowiadające układom równań z przykładów (19) i (20). Kliknięcie myszką w obrębie rysunku powoduje dorysowanie krzywych całkowych układów.
m:matrix([4,3],[3,-4]);
- Zapisz macierz $\bigl(\begin{smallmatrix}4&3\\3&-4\end{smallmatrix}\bigr)$ pod nazwą
m
. eigenvalues(m);
- Wyznacz wartości własne macierzy
m
(wynik składa się z dwóch części: listy wartości własnych oraz listy ich krotności). eigenvectors(m);
- Wyznacz wartości i wektory własne macierzy
m
(wynik składa się z dwóch części: wyniku funkcjieigenvalues(m)
oraz listy wektorów własnych, odpowiednio pogrupowanych). m1.m2;
- Wyznacz iloczyn macierzy
m1
im2
.
Zadanie domowe: przygotować się do ćwiczeń (jednorodne układy równań liniowych I rzędu o stałych współczynnikach; zob. plan ćwiczeń).
- Układy równań różniczkowych zwyczajnych; zamiana (układów) równań wyższych rzędów na układy równań I rzędu; przykład:
- Wykład 5:
- Metoda uzmienniania stałych dla układów równań liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach; przykład:
(22) $x'=2x-y+\cos t$, $y'=x+2y+\sin t$ oraz zagadnienie początkowe z warunkiem $x(0)=y(0)=0$ - Jednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach i metoda Eulera; przykłady:
(23) $y''+y'-2y=0$
(24) $y''+4y'+13y=0$
(25) $4y''-4y'+y=0$ - Metoda uzmienniania stałych dla równań liniowych o stałych współczynnikach; przykłady:
(23) $y''+y'-2y=t+e^t$
(24) $y''+4y'+13y=\sin t$ z warunkiem $y(0)=y'(0)=0$
(25) $4y''-4y'+y=e^{t/2}$ - Przykłady zastosowań:
(26) amortyzacja: jak dobrać współczynnik oporu $p$ tak, by tłumienie ciężarka na sprężynie (równanie: $m\,y''=-k\,y-p\,y'$) było możliwie najszybsze
(27) dwa jednakowe ciężarki na jednakowych sprężynach: $y_1''=-y_1+(y_2-y_1)$, $y_2''=-(y_2-y_1)$
(28) obwód RLC: $L\,I''(t)+R\,I'(t)+\frac{1}{C}I(t)=V'(t)$
Zadanie domowe: przygotować się do ćwiczeń (metoda uzmienniania stałych; równania liniowe o stałych współczynnikach; zob. plan ćwiczeń).
- Metoda uzmienniania stałych dla układów równań liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach; przykład:
- Wykład 6:
- Przykłady zastosowań raz jeszcze, dokładniej
- Liniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu i metoda charakterystyk:
(29) równanie $(x^2-y^2)\tfrac{\partial u}{\partial x}+2xy\tfrac{\partial u}{\partial y}=-u$
Zadanie domowe: powtórzyć cały materiał — kolokwium coraz bliżej!
- Wykład 7:
- Wprowadzenie do rachunku prawdopodbieństwa: częstościowa definicja prawdopodobieństwa; pojęcia eksperymentu losowego, zdarzenia losowego, zmiennej (wektora, funkcji) losowej; rozkład zmiennej i wektora losowego; dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej; rozkład dyskretny i absolutnie ciągły; rozkład jednostajny i wykładniczy; prawdopodobieństwo jako miara; nieoczekiwane własności rozkładu jednostajnego (liczb wymiernych jest mniej niż niewymiernych)
Zadanie domowe: przygotować się na kolokwium; przemyśleć zadania z listy na najbliższe ćwiczenia
- Wykład 8 — kolokwium!
- Wykład 9:
- Dystrybuanta, gęstość, rozkłady absolutnie ciągłe i dyskretne; przekształcanie zmiennych losowych; rozkład łączny i rozkłady brzegowe wektora losowego; niezależność zmiennych losowych; wartość oczekiwana; wariancja.
- Mocne prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne; rozkład normalny.
Zadanie domowe: przygotować się do listy nr 2.
- Wykład 10:
- Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe, przekształcanie wektorów losowych.
- Mocne prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne — przypomnienie; rozkład normalny; proces Wienera i zbieżność procesów sum częściowych do procesu Wienera; podstawowe własności procesu Wienera; przykład zbieżności do innego procesu niż proces Wienera.
Zadanie domowe: przygotować się do listy nr 3.
- Wykład 11:
- Kowariancja, korelacja, związki z niezależnością; wielowymiarowy rozkład normalny, parametry: wektor średnich i macierz kowariancji; własności: niezależność a nieskorelowanie; wielowymiarowe centralne twierdzenie graniczne.
- Proces Wienera — przypomnienie; funkcja kowariancji procesu Wienera; rozkłady skończenie wymiarowe procesu Wienera.
Zadanie domowe: przygotować się do listy nr 3.
- Wykład 12:
- Wielowymiarowe centralne twierdzenie graniczne — przykład; rozkłady warunkowe (dwuwymiarowych) wektorów normalnych (przy okazji przykładu).
- Geometryczny (= wykładniczy) ruch Browna, jego wartość oczekiwana i wariancja; model Blacka-Scholesa.
Zadanie domowe: przygotować się do listy nr 4.
- Wykład 13:
- Łańcuchy Markowa.
Zadanie domowe: przygotować się do kolokwium.
- Wykład 14 — kolokwium!
- Wykład 15 — plan:
- Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym.
Przebieg ćwiczeń
- Lista RRZ, zadania 1.2–1.7 (ze szczególnym naciskiem na 1.4–1.7)
- Lista RRZ, zadania 1.11, 1.13, 1.15 oraz słowo o 1.17
- Lista RRZ, zadania 1.17, 1.18 (krótko) oraz 1.12, 1.16, 1.25–1.29 (wybrane podpunkty)
Dla zainteresowanych: 1.23–1.24 - Lista RRZ, zadania 1.30 (krótko); 1.31–1.33, 1.34(b)
- Lista RRZ, zadania 2.15, 3.1; 3.10–3.13
- Lista RRZ, zadania 2.12, 2.13, 2.21(a), 2.22, 2.27, 3.19
- [moja grupa] Powtórzenie materiału przed kolokwium
- Lista zadań z wprowadzenia do rachunku prawdopodobieństwa
- Lista zadań rachunkowych z rachunku prawdopodobieństwa
- Lista zadań rachunkowych z rachunku prawdopodobieństwa
- Lista zadań z rozkładu normalnego i CTG
- Lista zadań z procesu Wienera
- Lista zadań z łańcuchów Markowa
- Lista zadań z łańcuchów Markowa z czasem ciągłym
Kontakt
Jeśli mam odpowiedzieć, potrzebuję informacji kontaktowych.