Matematyka (przestrzenie liniowe, miara Lebesgue’a; MAP3032)
semestr zimowy 2014/15

Zasady zaliczenia

Kolokwium zaliczeniowe na ostatnich ćwiczeniach 6 czerwca: 5 zadań po 5 punktów.

Progi na kolejne oceny: 11/14/17/20/23.

Materiał obowiązujący na kolokwium: definicja rzeczywistego i zespolonego szeregu Fouriera, umiejętność wyznaczania szeregów Fouriera prostych funkcji; pojęcie przestrzeni z iloczynem skalarnym, sprawdzanie, czy dany wzór określa iloczyn skalarny; związek iloczynu skalarnego z normą, nierówność Schwarza, nierówność trójkąta; układy ortogonalne i ortonormalne oraz ich własności; zupełność układów ortonormalnych.

Przykładowe kolokwium.

Inne informacje

Być może warto zajrzeć do programu kursu.

Przebieg wykładów:

    • Przypomnienie: wektory, współrzędne kartezjańskie, iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa.
    • Baza standardowa i współrzędne; inne bazy i współrzędne; bazy ortonormalne; podprzestrzenie i ich bazy (informacyjnie).
    • Coś pozornie innego: dźwięk jako fala, co słyszymy i jak to można opisać matematycznie: szeregi Fouriera.
    • Podobieństwo między szeregami Fouriera a współrzędnymi kartezjańskimi.
    • Zadanie domowe:
      (1) przypomnij sobie elementy algebry wspomniane na tym wykładzie (wrócimy do nich na kolejnym);
      (2) zainstaluj pakiety Octave oraz Maxima;
      (3) spróbuj odczytać częstotliwość dźwięku dzwonów w pliku church.wav w paczce.
    [paczka]
    • Przestrzeń liniowa, norma i iloczyn skalarny.
    • Standardowe przykłady: $L^2$, $L^1$, $L^\infty$.
    • Jeszcze raz szeregi Fouriera (rzeczywiste). Zbieżność w $L^2$, brak zbieżności w $L^1$ i w $L^\infty$. Kilka przykładów: funkcje $x$, $\operatorname{sign} x$, $|x|$, określone na $(-\pi, \pi)$.
    • Zadanie domowe:
      (1) Znajdź szeregi Fouriera funkcji $x^2$, $x^3 - \pi^2 x$, określonych na $(-\pi, \pi)$ (możesz wykorzystać np. Maximę);
      (2) Sporządź wykresy kilku pierwszych sum częściowych szeregów powyższych funkcji.
    [paczka]
    • Kilka dalszych faktów o szeregach Fouriera: zbieżność dla gładkich funkcji, zbieżność do średniej arytmetycznej granic jednostronnych przy nieciągłości typu skok, lokalność zbieżności szeregu Fouriera w punkcie.
    • Zastosowanie do obliczania sum nietypowych szeregów.
    • Zespolone szeregi Fouriera.
    • Wielowymiarowe szeregi Fouriera.
    • Transformata Fouriera.
    • Dyskretna transformata Fouriera.
    • Zadanie domowe:
      (1) Dowiedz się, jakie są (życiowe) zastosowania szeregów/transformat Fouriera;
      (2) Znajdź (dowolnym sposobem: w książce, w Internecie, od kolegi matematyka, samodzielnie) funkcję, której szeregiem Fouriera jest $\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{\cos(n x)}{n}$. A jakiej „funkcji” szeregiem Fouriera jest $\sum\limits_{n = 1}^\infty \sin(n x)$?
    • Rzeczywiste przestrzenie unitarne (tj. z iloczynem skalarnym).
    • Przestrzenie euklidesowa, $C([0,1])$ i $l^2$.
    • Nierówność Schwarza.
    • Odległość, wzór polaryzacyjny, równość równoległoboku.
    • Ortogonalność, twierdzenie Pitagorasa, układy ortogonalne, rzut ortogonalny.
    • Zadanie domowe:
      (1) Wiadomo, że $\|x\| = \|y\|$. Oblicz $\langle x + y, x - y \rangle$. Narysuj to.
      (2) Wiadomo, że $\|x\| = \|y\| = \|x - y\|$. Oblicz $\langle x, y \rangle$.
      (3) Wiadomo, że $\|x\| = \|y\|$ oraz $\|x + y\| = \|x - y\|$. Oblicz $\langle x, y \rangle$.
      (4) Wiadomo, że $\langle x, y \rangle = \|x\| \|y\|$. Wykaż, że $x$ i $y$ są współliniowe.
      (5) Sprawdź, że $\|x + y\|^2 \le 2 \|x\|^2 + 2 \|y\|^2$. Kiedy nierówność staje się równością?
      (6) Sprawdź, że $\|x + y + z\|^2 \le 3 \|x\|^2 + 3 \|y\|^2 + 3 \|z\|^2$. A co dla większej liczby wektorów?
      (7) Sprawdź, że iloczyn skalarny w podanych dwóch przykładowych przestrzeniach faktycznie spełnia postulaty iloczynu skalarnego.
      (8) Sprawdź, że wzór $\langle x, y \rangle = 2 x_1 y_1 + 3 x_2 y_2$, gdzie $x = (x_1, x_2)$, $y = (y_1, y_2)$, określa iloczyn skalarny w przestrzeni $\mathbb{R}^2$. Napisz wzór na odpowiadającą mu normę. Poeksperymentuj z innymi wzorami.
      (9) Uzasadnij, że w przestrzenach: (a) $\mathbb{R}^3$ z normą $\|x\| = |x_1| + |x_2| + |x_3|$; (b) $l^1$ ciągów bezwzględnie sumowalnych, z normą $\|x\| = \sum_{n = 1}^\infty |x_n|$; (c) $C([0, 1])$ z normą $\|f\| = \max_{x \in [0, 1]} |f(x)|$, nie można określić iloczynu skalarnego (zgodnego z podaną normą).
      (10*) Wektory $e_1, e_2, ...$ tworzą układ ortonormalny. Skonstruuj ciąg wektorów $x_n$ taki, że $\|x_n\| = 1$ oraz $\langle x_n, x_m \rangle = \tfrac{1}{2}$ gdy $n \ne m$. Jakimi liczbami $a$ można zastąpić liczbę $\tfrac{1}{2}$?
    • Przypomnienie, przykłady.
    • Układ ortogonalny i ortonormalny — definicje. Przykłady: $e_n = (0, ..., 0, 1, 0, ...)$ w $l^2$; funkcje $f_n(x) = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}} \sin(n x)$ w $C([0, \pi])$; funkcje $g_n(x)$ równe na przemian $1$ i $-1$ na przedziałach długości $1/2^n$ w $C([0, 1])$.
    • Fakt: jeśli $v = \sum_{n=1}^N a_n e_n$, to
      (a) $a_n = \langle v, e_n\rangle$ dla $n = 1, ..., N$,
      (b) $\|v\|^2 = \sum_{n=1}^N |a_n|^2$,
      (c) można przyjąć $N$ nieskończone, o ile suma ma sens (o czym na kolejnym wykładzie).
    • Twierdzenie: jeśli $v$ jest dowolnym wektorem, $a_n = \langle v, e_n\rangle$, to
      (a) $\sum_n |a_n|^2 \le \|v\|^2$ (nierówność Bessela),
      (b) $\sum_{n=1}^N a_n e_n$ jest rzutem ortogonalnym $v$ na zbiór wektorów postaci $\sum_{n=1}^N c_n e_n$,
      (c) można przyjąć nieskończone $N$ w punkcie (b), o ile suma ma sens (o czym na kolejnym wykładzie).
    • Przykład: jeśli $v = (1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, ...)$ (w $l^2$), to $a_n = \tfrac{1}{n}$ i $\sum_{n = 1}^\infty |a_n|^2 = \|v\|^2$; ponadto $(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, ..., \tfrac{1}{N}, 0, 0, ...)$ jest rzutem ortogonalnym $v$ na podprzestrzeń wektorów, które mają same zera za $N$-tym miejscem.
    • Przykład: jeśli $f(x) = 1$, to (dla układu $f_n$ z poprzedniego wykładu) $a_n = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}} \cdot \tfrac{2}{n}$ dla $n$ nieparzystych, $0$ dla $n$ parzystych; stąd $\tfrac{8}{\pi} \sum_{k = 0}^\infty \tfrac{1}{(2 k + 1)^2} \le \pi$ (w istocie jest równość i w zasadzie już o tym wiemy, bo uczyliśmy się o szeregach Fouriera);
    • Przykład: jeśli $f(x) = x$, to (dla układu $g_n$ z poprzedniego wykładu) $a_n = -\frac{1}{2^{n+1}}$ (zob. zadanie domowe), zatem $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{4^{n+1}} \le \|f\|^2 = \frac{1}{3}$; tym razem nie ma równości, bo suma szeregu wynosi $\frac{1}{12}$
    • Układ ortonormalny nazywamy zupełnym, jeśli każdy wektor $v$ można przedstawić w postaci $v = \sum_{n = 1}^\infty a_n e_n$ (przy czym $a_n$ siłą rzeczy musi być równe $\langle v, e_n\rangle$)
    • $e_n = (0, ..., 0, 1, 0, ...)$ tworzą układ zupełny w $l^2$.
    • Twierdzenie: $f_n$ tworzą układ zupełny w $C([0, \pi])$.
    • Fakt: $g_n$ nie tworzą układu zupełnego w $C([0, 1])$.
    • Zadanie domowe:
      (1) Oblicz, że $\int_0^1 x g_n(x) dx = -1 / 2^{n+1}$.
      (2) Niech $g_0(x) = 1$. Sprawdź, że $f(x) = x$ jest równe $\sum_{n = 0}^\infty a_n g_n$, gdzie $a_n = \langle f, g_n\rangle$.
      (3) Niech $f(x) = 1$ dla $x \in [0, \tfrac{1}{4})$, $f(x) = -1$ dla $x \in [\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})$ oraz $f(x) = 0$ w pozostałych przypadkach. Sprawdź, że $\langle f, g_n\rangle = 0$ dla wszystkich $n = 0, 1, 2, ...$ i wywnioskuj, że układ $g_0, g_1, g_2, ...$ nie jest zupełny.
    • Zupełność przestrzeni: jeśli współczynniki należą do $l^2$, to szereg ortonormalny jest zbieżny; niezupełność $C([0,1])$.
    • Abstrakcyjna definicja uzupełnienia przestrzeni (wzmianka); uzupełnieniem $C([0,1])$ jest przestrzeń funkcji $f$, dla których całka Lebesgue’a z $|f(x)|^2$ istnieje i jest skończona.
    • Miara zewnętrzna Lebesgue’a zbioru $A$: $m^*(A)$ zdefiniowane jako liczba większa od $|I_1| + |I_2| + ...$ dla dowolnego układu przedziałów/prostokątów/prostopadłościanów $I_n$, które w sumie zawierają $A$.
    • Miara wewnętrzna: $m_*(A) = |I| - m^*(I \setminus A)$, gdzie $I$ jest przedziałem/prostokątem/prostopadłościanem zawierającym $A$; odpowiednia modyfikacja dla zbiorów nieograniczonych.
    • Mierzalność w sensie Lebesgue&rsquo'a: $m^*(A) = m_*(A)$. Miara Lebesgue’a to wspólna wartośc $m(A) = m^*(A) = m_*(A)$.
    • Całka Lebesgue’a z funkcji nieujemnej to miara zbioru pod wykresem. Całka z dowolnej funkcji to różnica całek z części dodatniej i części ujemnej.
    • Przykłady: zbiór liczb wymiernych ma miarę zero; zbiór liczb niewymiernych — pełną; miara trójkąta prostokątnego pokrywa się ze standardowo zdefiniowanym polem powierzchni.
    • Zbiory niemierzalne: paradoks Banacha–Tarskiego.

Wyniki

Statystyki: 2 bdb, 6 db+, 8 db, 24 dst+, 48 dst, 25 ndst (przed poprawką).

Kontakt

Jeśli mam odpowiedzieć, potrzebuję informacji kontaktowych.