Dla studentów
Badania
- wprowadzenie
- artykuły (po angielsku)
- seminarium PMOS
Rozmaitości
- Dla licealistów (i nie tylko)
- Otwarte problemy z nagrodami C. Kimberlinga
Analiza matematyczna M2
semestr letni 2015/16
Egzamin
Otrzymają Państwo zestaw egzaminacyjny: arkusz formatu A3 z zadaniami i miejscem na rozwiązania. Podczas egzaminu podstawowego mogą Państwo korzystać ze swoich (niezapisanych) kartek. Jednak w czasie egzaminu poprawkowego ze względów technicznych proszę pisać wyłącznie na arkuszach z zadaniami i (w razie potrzeby) dodatkowych kartkach formatu A3 od opiekuna.
Jak zwykle obowiązuje strój dowolny.
Zakres materiału na egzamin:
- Całka Riemanna–Stieltjesa: definicja całki Riemanna i Riemanna–Stieltjesa, związek między nimi: $\int_a^b f(t) dg(t) = \int_a^b f(t) g'(t) dt$, wzór na całkowanie przez podstawienie: $\int_a^b f(h(t)) dg(h(t)) = \int_{h(a)}^{h(b)} f(x) dg(x)$ i przez części: $\int_a^b f(t) dg(t) = f(b) g(b) - f(a) g(a) - \int_a^b g(t) df(t)$, proste własności.
- Szeregi o wyrazach nieujemnych: proste własności, kryteria: porównawcze, ilorazowe, Cauchy’ego, d’Alemberta, Cauchy’ego o zagęszczaniu i całkowe.
- Szeregi o wyrazach dowolnych: zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria Leibniza i Dirichleta, typowe szeregi ograniczone ($\sum_n \sin(a n)$, $\sum_n \cos(a n)$), twierdzenie o zmianie kolejności sumowania szeregów bezwzględnie zbieżnych, iloczyn Cauchy’ego szeregów bezwzględnie zbieżnych.
- Całki niewłaściwe: definicja, proste własności, związki z szeregami, zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria: porównawcze, ilorazowe i Dirichleta
- Całki z parametrem: Twierdzenia o ciągłości, różniczkowaniu i całkowaniu całek z parametrem, funkcja gamma Eulera.
- Ciągi i szeregi funkcji: Zbieżność punktowa i jednostajna, metryka supremum i norma supremum, kryterium Weierstrassa, kryteria Dirichleta i Abela (dla zbieżności jednostajnej), ciągłość granicy jednostajnej, zamiana kolejności granic, granicy i pochodnej, granicy i całki, twierdzenie (Weierstrassa) o aproksymacji wielomianami (do każdej funkcji ciągłej na $[a,b]$ zbieżny jest jednostajnie pewien ciąg wielomianów).
- Szeregi potęgowe: definicja, promień zbieżności i twierdzenie Cauchy’ego–Hadamarda, operacje na szeregach potęgowych, różniczkowanie i całkowanie wyraz po wyrazie, funkcje analityczne i ich własności.
- Funkcje dwóch zmiennych: definicje, granica, ciągłość, jednostajna ciągłość, zbiory zwarte (oraz pokrewne pojęcia z topologii) i twierdzenie Heinego–Borela, jednostajna ciągłość i własność kresów funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
- Pochodne cząstkowe: pochodne cząstkowe i kierunkowe, gradient, różniczkowalność, różniczkowalność funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych, równość pochodnych mieszanych, wzór Taylora rzędu 2, zastosowanie: szukanie ekstremów lokalnych i globalnych.
- Szeregi Fouriera: wielomian trygonometryczny, szereg Fouriera funkcji (wzór na współczynniki), lemat Riemanna–Lebesgue’a, zbieżność jednostajna szeregu Fouriera o bezwzględnie sumowalnych współczynnikach (wniosek z kryterium Weierstrassa), trzy wnioski z kryterium Diniego–Dirichleta (zbieżność szeregu Fouriera funkcji różniczkowalnych, funkcji spełniających warunek Höldera, odpowiednio regularnych funkcji posiadających skok).
Na szybko
Listy zadań:
- 1: całka Riemanna
- 2: całka Riemanna–Stieltjesa
- 3: szeregi o wyrazach nieujemnych
- 4: szeregi (1/2)
- 5: szeregi (2/2)
- 6: całki niewłaściwe (1/2)
- 7: całki niewłaściwe (2/2)
- 8: zbieżność jednostajna (uwaga: zmiany!)
- 9: zamiana kolejności
- 10: szeregi potęgowe
- 11: całki z parametrem
- 12: aproksymacja
- 13: funkcje dwóch zmiennych
- 14: ekstrema
- 15: ekstrema i ekstrema warunkowe
- 16: szeregi Fouriera (do zrobienia samodzielnie)
Typowe elementy dowodów w analizie
I kolokwium i szkice rozwiązań
II kolokwium i szkice rozwiązań
egzamin i szkice rozwiązań
egzamin poprawkowy
Dla wnikliwych: karta kursu.
Zasady zaliczenia
Ocena wystawiana będzie na podstawie aktywności, kartkówek (dwunastu), kolokwiów (dwóch, prawdopodobnie w 6 i 11 tygodniu zajęć) i egzaminu (jednego, dwa podejścia, w sesji egzaminacyjnej). Za wszystko otrzymuje się punkty: do 16 za aktywność, po 2 za kartkówkę, po 30 za kolokwia i 100 za egzamin. Razem 200 punktów. Progi na kolejne oceny: 80 (dst), 100 (dst+), 120 (db), 140 (db+), 160 (bdb). Ocena celująca przyznawana będzie indywidualnie. Dopuszczam podciągnięcie oceny, jeśli widać wyraźne postępy. Zasady przyznawania 40 punktów za aktywność i kartkówki mogą być inne w grupie BD.
Terminy kolokwiów i egzaminów:
- I kolokwium: 15 kwietnia (zadania i szkice rozwiązań)
- II kolokwium: 20 maja (zadania i szkice rozwiązań)
- Egzamin podstawowy: 22 czerwca, godz. 11–14; s. 204, bud. A-1 (zadania i szkice rozwiązań)
- Egzamin poprawkowy: 30 czerwca, godz. 11–14; s. 204, bud. A-1 (zadania)
Jak się uczyć?
- Przychodzić na wykłady i ćwiczenia. Notować samemu, albo przepisywać — nie kserować! — notatki.
- Jak najszybciej nadrobić zaległości z pierwszego semestru.
- Koniecznie nie zgubić wątku na wykładzie (są konsultacje, są podręczniki, są koledzy, jest internet — proszę korzystać!).
- Robić dużo zadań. Jak najwięcej — samodzielnie.
- Korzystać z podręcznika!
Co było?
- 24 lutego (środa)
- 1. Całka Riemanna–Stieltjesa: Przypomnienie podstawowych pojęć (ciągłość, jednostajna ciągłość). Funkcje klasy $\mathcal{C}^n$ na $(a, b)$ i na $[a, b]$. Przypomnienie definicji całki Riemanna (interpretacja geometryczna, intepretacja jako praca siły nad ciałem). Definicja całki Riemanna–Stieltjesa. Interpretacja jako praca siły nad ciałem, interpretacja geometryczna. Proste przykłady ($g(t) = t$, $g(t) = \operatorname{const}$, $g(t)$ skokowa, $f(t) = 1$). Własności: dwuliniowość. Twierdzenie Riemanna–Lebesgue’a (kryterium całkowalności w sensie Riemanna) i wnioski (całkowalność złożenia z funkcją ciągłą i iloczynu). Elementarny dowód całkowalności iloczynu funkcji całkowalnej i ciągłej.
Materiały: Łojasiewicz, I.5–6. - 25 lutego (czwartek)
- 1. Całka Riemanna–Stieltjesa (cd.): Związek całki Riemanna–Stieltjesa z całką Riemanna. Wzory na całkowanie przez podstawienie: $\int_a^b f(h(t)) dg(h(t)) = \int_{h(a)}^{h(b)} f(x) dg(x)$ (z dowodem) oraz $\int_a^b f(t) dG(t) = \int_a^b f(t) g(t) dh(t)$ gdy $G(t) = \int g(t) dh(t)$ (bez dowodu). Wniosek: wzór na całkowanie przez podstawienie dla całki Riemanna. Wzór na całkowanie przez części i jego interpretacja geometryczna. Wahanie funkcji, funkcje o wahaniu skończonym, istnienie całki $\int_a^b f(t) dg(t)$ gdy $f$ jest ciągła i $g$ ma wahanie skończone lub $f$ i $g$ mają wahanie skończone i nie mają wspólnych punktów nieciągłości (bez dowodu).
Materiały: Łojasiewicz, I.5–6. - 2 marca (środa)
- 2. Szeregi liczbowe: Definicje (szereg, wyrazy, sumy częściowe, suma, reszty; krótko). Niezależność zbieżności szeregu od początkowych wyrazów. Twierdzenie o arytmetyce szeregów. Warunek konieczny zbieżności (zbieżność wyrazów do zera). Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Twierdzenie o zbieżności szeregów zbieżnych bezwzględnie. Kryteria: porównawcze (wersja z nierównością i z granicą); Cauchy’ego; d’Alemberta;…
Materiały: Leja, IV.1–9 (Fichtenholz, …). - 3 marca (czwartek)
- 2. Szeregi liczbowe (cd.): …zagęszczania (Cauchy’ego o zagęszczaniu). Przykłady.
Materiały: Leja, IV.1–9 (Fichtenholz, …). - 9 marca (środa)
- 2. Szeregi liczbowe: Kryteria Leibniza, Dirichleta i Abela. Wzór na sumowanie przez części. Dowód ograniczoności szeregu $\sum_n \sin(a n)$, przykłady. Łączność dodawania szeregów. Możliwość osobnego dodawania wyrazów nieujemnych i ujemnych dla szeregów bezwzględnie zbieżnych.
Materiały: Leja, IV.10–11 (Fichtenholz, …). - 10 marca (czwartek)
- 2. Szeregi liczbowe (cd.): Rozbieżność szeregów wyrazów nieujemnych i ujemnych dla szeregów warunkowo zbieżnych (bez dowodu, z przykładem). Możliwość dowolnego przestawiania wyrazów szeregów bezwzględnie zbieżnych. Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych (bez dowodu). Iloczyn szeregów wg Dirichleta i Cauchy’ego. Zbieżność bezwzględna iloczynu Cauchy’ego szeregów bezwzględnie zbieżnych. Twierdzenia Mertensa (bez dowodu) i Abela (bez dowodu). Iloczyn nieskończony.
Materiały: Leja, IV.11–12 (Fichtenholz, …). - 16 marca (środa)
- 2. Szeregi liczbowe (cd.): Przykłady iloczynów nieskończonych: $\prod_n (1 - \tfrac{1}{n + 1})$ oraz $\prod_{n \ge 2} (1 - \tfrac{1}{n^2})$. Związek iloczynu $\prod_n a_n$ z szeregiem $\sum_n \ln(a_n)$. Równoważność zbieżności $\prod_n (1 + a_n)$ oraz $\sum_n a_n$ gdy $a_n$ ma stały znak. Przykłady: $\prod_n (1 + 1 / n^a)$, rozbieżność $\sum_n (a_n / s_n)$ gdy $\sum_n a_n$ jest rozbieżny, iloczyn Weierstrassa dla $\sin(\pi t) / (\pi t)$.
3. Całki niewłaściwe: Definicja. Przykłady: $\int_{0^+}^1 (1 / t) dt$, $\int_0^{+\infty} \sin(t) dt$, $\int_{-\infty}^{+\infty} 1 / (1 + t^2) dt$, $\int_{-1}^1 1 / \sqrt{|t|} \, dt$.
Materiały: Leja, VI.12, IX.15 (Fichtenholz, …). - 17 marca (czwartek)
- 3. Całki niewłaściwe (cd.): Analogie z szeregami. Warunki zbieżności. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Kryteria zbieżności: porównawcze, ilorazowe, Dirichleta, Abela. Przykłady.
Materiały: Leja, IX.15–16, IX.18 (Fichtenholz, …). - 23 marca (środa, czwartek PWr)
- 3. Całki niewłaściwe (cd.): Rozbieżność całki z $|\sin(t)|/t$. Związki całek z szeregami. Kryterium całkowie zbieżności szeregu. Podstawienia w całkach niewłaściwych. Przykłady.
Materiały: Leja, IX.15–16, IX.18 (Fichtenholz, …). - 30 marca (środa)
- 4. Zbieżność jednostajna: Zbieżność punktowa i jednostajna (oraz niemal jednostajna) ciągów i szeregów funkcji. Metryka supremum i norma. Przykłady. Warunek Cauchy’ego zbieżności. Przykłady.
Materiały: Leja, IV.14–17 (Fichtenholz, …). - 31 marca (czwartek)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregu funkcji. Kryteria Abela i Dirichleta (bez dowodu). Przykłady. Twierdzenie o ciągłości jednostajnej granicy funkcji ciągłych, zamiana kolejności granic i wnioski.
Materiały: Leja, IV.14–17 (Fichtenholz, …). - 6 kwietnia (środa)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Dowód twierdzenia o zamianie kolejności granic. Twierdzenie Diniego (bez dowodu). Wersje szeregowe powyższych twierdzeń. Twierdzenie o zamianie granicy i pochodnej. Twierdzenie o zamianie granicy i całki Riemanna.
Materiały: Leja, IV.17–18 (Fichtenholz, …). - 7 kwietnia (czwartek)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Dowód twierdzenia o zamianie granic i całki Riemanna. Szereg potęgowy. Twierdzenie Cauchy’ego–Hadamarda. Mnożenie, dzielenie i składanie szeregów potęgowych (bez dowodu). Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych. Przykłady.
Materiały: Leja, IV.19–24 (Fichtenholz, …). - 13 kwietnia (środa)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Twierdzenie Abela, twierdzenie Taubera, uogólnienie Littlewooda (bez dowodu). Funkcja analityczna. Wzór Taylora i szereg Taylora funkcji analitycznej. Analityczność funkcji elementarnych (bez dowodu).
Materiały: Leja, IV.19–24 (Fichtenholz, …). - 14 kwietnia (czwartek)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Funkcje dwóch zmiennych. Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji dwóch zmiennych. Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej na prostokącie z brzegiem. Całki z parametrem. Przykłady. Twierdzenie o ciągłości całki z parametrem. Ciągłość funkcji eliptycznej $K$.
Materiały: (Fichtenholz, …). - 20 kwietnia (środa)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Ciągłość całek niewłaściwych, wspólnie ograniczonych przez funkcję całkowalną (dowód na ćwiczeniach). Ciągłość funkcji gamma Eulera. Inne własności funkcji gamma Eulera. Ciągłość funkcji beta (bez szczegółów). Różniczkowanie całki z parametem. Różniczkowalność funkcji eliptycznej $K$. Różniczkowalność całek niewłaściwych, o pochodnej wspólnie ograniczonej przez funkcję całkowalną. Różniczkowalność i wypukłość funkcji gamma Eulera. Całki iterowane z $(x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)^2$ na $[0, 1] \times [0, 1]$.
Materiały: (Fichtenholz, …). - 21 kwietnia (czwartek)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Całki z parametrem: zamiana kolejności w całce iterowanej. Całki iterowane z $x^y$ na $[0, 1] \times [\alpha, \beta]$. Zamiana kolejności całek niewłaściwych, ograniczonych przez iloczyn funkcji całkowalnych. Związek między funkcją gamma Eulera i funkcją beta. Nieformalne obliczenie całki z $\sin(t) / t$.
Materiały: (Fichtenholz, …). - 27 kwietnia (środa)
- 4. Zbieżność jednostajna (cd.): Przykład van der Waerdena (podobny do przykładu Weierstrassa) funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej. Twierdzenie Bernsteina o aproksymacji wielomianami i twierdzenie Weierstrassa (ze szkicem probabilistycznego dowodu).
5. Funkcje wielu zmiennych: Definicje $\mathbf{R}^k$, $\vec{u} = \bar{u} = (u_1, \ldots, u_k)$, obszaru (spójnego zbioru otwartego), funkcji wielu zmiennych, wykresu, poziomic. Przykład.
Materiały: (Leja, V.1–9; Fichtenholz, …). - 28 kwietnia (czwartek)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Przykład: $\frac{x y}{x^2 + y^2}$; ciągłość, granica (równoważne definicje), ciągłość po współrzędnych; przykłady. Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa w $\mathbf{R}^k$. Definicje topologiczne: zbiór otwarty, zbiór domknięty, zbiór ograniczony, brzeg, domknięcie, wnętrze, zbiór (ciągowo) zwarty. Twierdzenie Heinego–Borela. Twierdzenie o jednostajnej ciągłości i osiąganiu kresów przez funkcje ciągłe na zbiorze zwartym. Pochodna funkcji wielu zmiennych jako funkcjonał liniowy. Pochodne wyższych rzędów jako formy wieloliniowe, wzór Taylora jako definicja pochodnych.
Materiały: (Leja, V.1–9; Fichtenholz, …). - 4 maja (środa)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych. Pochodne cząstkowe. Wyznaczanie pochodnej przy pomocy pochodnych cząstkowych. Przykład: $\frac{x y}{x^2 + y^2}$. Pochodna kierunkowa. Związek pochodnej kierunkowej z pochodnymi cząstkowymi i pochodną. Przykład: $\frac{x y^2}{x^2 + y^4}$. Interpretacja geometryczna: pochodna a płaszczyzna styczna, pochodna cząstkowa lub kierunkowa a prosta styczna na do cięcia wykresu. Przykład.
Materiały: (Leja, V.1–9; Fichtenholz, …). - 5 maja (czwartek)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Różniczkowalność funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych. Równość pochodnych mieszanych. Przykłady. Uogólnienie: wzór Taylora (bez dowodu).
Materiały: (Leja, V.1–9; Fichtenholz, …). - 11 maja (środa)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Dowód wzoru Taylora rzędu 2. Ekstremum lokalne. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Warunek dostateczny istnienia ekstremum. Punkt siodłowy.
Materiały: (Leja, V.11–13; Fichtenholz, …). - 18 maja (środa)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Własność macierzy dodatnio określonych (lemat do warunku koniecznego istnienia ekstremum). Uwaga o uogólnieniu dla funkcji $k$ zmiennych. Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji na obszarze z brzegiem. Brzeg jako krzywa zamknięta; parametryzacja brzegu. Metoda mnożników Lagrange’a.
Materiały: (Leja, V.11–13; Fichtenholz, …). - 19 maja (czwartek)
- 5. Funkcje wielu zmiennych: Przykłady obliczania ekstremów funkcji wielu zmiennych.
Materiały: (Leja, V.11–13; Fichtenholz, …).
[tu lista niestety się urywa; dalej było o szeregach Fouriera]
Listy zadań:
- 1: całka Riemanna
- 2: całka Riemanna–Stieltjesa
- 3: szeregi o wyrazach nieujemnych
- 4: szeregi (1/2)
- 5: szeregi (2/2)
- 6: całki niewłaściwe (1/2)
- 7: całki niewłaściwe (2/2)
- 8: zbieżność jednostajna (uwaga: zmiany!)
- 9: zamiana kolejności
- 10: szeregi potęgowe
- 11: całki z parametrem
- 12: aproksymacja
- 13: funkcje dwóch zmiennych
- 14: ekstrema
- 15: ekstrema i ekstrema warunkowe
- 16: szeregi Fouriera (do zrobienia samodzielnie)
Literatura
Podręczniki:
- G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III. PWN, 1978.
- L. Górniewicz, S. R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Wyd. Naukowe UMK, 2012.
- W. Janowski, P. Wiatrowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. WSiP, 1971.
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 2009.
- C. Kuratowski, Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego, MM 15, IM PAN, 1948.
- K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, 1973.
- F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, BM 2, PWN, 2008.
- S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, BM 46, PWN, 1976.
- H. Musielak, J. Musielak, Analiza matematyczna, tom I, II, Wyd. Naukowe UAM, 1993.
- W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, 1982.
- R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, 2001.
- A. Sołtysiak, Analiza matematyczna. Część 1, Wyd. Naukowe UAM, 2009.
- M. Zakrzewski, Markowe wykłady z matematyki. Analiza, GiS, 2013.
- W. Żakowski, G. Decewicz, Matematyka. Część 1, WNT, 2012.
Zbiory zadań:
- J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 2001.
- B. P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, cz. 1, 2, 3, Wyd. Naukowa Książka, Lublin, 1992–93.
- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach. Część I, PWN, Warszawa 2013.
- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach. Część II, PWN, Warszawa 2011.
Książki w serwisie libra.ibuk.pl dostępne są za darmo i legalnie z obszaru Politechniki Wrocławskiej lub przez proxy.
Inne informacje
- Warto zerknąć do regulaminu studiów. Nikt nie czyta regulaminów — a to błąd!
- Obecność na zajęciach (ćwiczeniach i wykładach) jest obowiązkowa i będzie kontrolowana.
- Osoby chore lub nieobecne na kolokwium lub egzaminie z innych ważnych przyczyn powinny się ze mną jak najszybciej skontaktować, najlepiej emailowo.
- Typowe elementy dowodów w analizie.
Kontakt
Jeśli mam odpowiedzieć, potrzebuję informacji kontaktowych.