Dla studentów
Badania
- wprowadzenie
- artykuły (po angielsku)
- seminarium PMOS
Rozmaitości
- Dla licealistów (i nie tylko)
- Otwarte problemy z nagrodami C. Kimberlinga
Teoria potencjału procesów Markowa
semestr letni 2014/15
Opis kursu
Teoria potencjału procesów Markowa to probabilistyczne podejście do teorii potencjału, działu analizy matematycznej, który poświęcony jest badaniu funkcji harmonicznych. W ramach przygotowań do kursu warto sobie odświeżyć pojęcia procesu Wienera, procesu Poissona i podstawowe fakty z teorii martyngałów.
Ramowy program wykładu znajduje się w karcie kursu. Będzie on dla nas cenną wskazówką, ale nie będziemy się go trzymać rygorystycznie.
Zasady zaliczenia
Zrobimy dwa krótkie kolokwia, na każdym do zdobycia 20 punktów, do tego do 10 punktów za aktywność i ewentualne kartkówki na ćwiczeniach. Progi punktowe ustalimy odpowiednie do wyników. Oczywiście będzie dodatkowy termin zaliczenia w sesji (choć liczę na to, że nikt nie będzie go potrzebował). [Ostatecznie na zaliczenie było zadanie domowe]
Materiały
- Notatki Jacka Muchy — dzięki!
- Lista 1 (potencjały skalarne i wektorowe; równania Maxwella)
- Lista 2 (operator potencjału Newtona)
- Lista 3 (konstrukcja ruchu Browna; własność Markowa)
- Lista 4 (czasy Markowa)
- Lista 5 (procesy Fellera — podstawy)
- Lista 6 (procesy Fellera — przykłady)
- Lista 7 (procesy Fellera — przykłady i generatory)
- Lista 8 (procesy Fellera — wzór Dynkina)
- Zadania na zaliczenie
- Krótkie komentarze do pierwszych czterech list
Przebieg zajęć
- Wykład 1: Wprowadzenie do klasycznej teorii potencjału. Równania elektrostatyki. Potencjał Newtona miary. Trzeci wzór Greena. Potencjał jako operator odwrotny do operatora Laplace’a (z minusem). Własność wartości średniej funkcji harmonicznych na sferach i kulach. Zasada maksimum i własność Liouville’a. Funkcja Greena i jądro Poissona kuli. Funkcja Greena i jądro Poissona zbiorów gładkich i zagadnienie Dirichleta.
- Ćwiczenia 1: Omówienie listy 1.
- Wykład 2: Ruch Browna jako proces Markowa. Warunkowa wartość oczekiwana. Definicja ruchu Browna jako izotropowego procesu o niezależnych i stacjonarnych przyrostach i ciągłych trajektoriach. Normalność rozkładów jednowymiarowych ruchu Browna. Konstrukcja ruchu Browna dla czasów wymiernych i ciągłe rozszerzenie. Miara Wienera. Rodzina miar dla procesów startujących z dowolnego punktu. Prawdopodobieństwo przejścia, wzór na rozkłady skończenie wymiarowe i własność Markowa.
- Ćwiczenia 2: Lista 2.
- Wykład 3: Czasy Markowa. Filtracja $\mathscr{F}_t$, rodziny $\mathscr{F}_{t+}$ i $\mathscr{F}_{t-}$. $(\mathscr{F}_t)$-czas Markowa i czas Markowa. $\sigma$-algebry $\mathscr{F}_\tau$, $\mathscr{F}_{\tau+}$ i $\mathscr{F}_{\tau-}$. Własności.
- Wykład 4: Mocna własność Markowa procesów Fellera. Fellerowskie prawdopodobieństwo przejścia i proces Fellera (definicja). Mocna własność Markowa. Mocna własnośc Markowa procesów Fellera. Prawo $0--1$ Blumenthala.
- Ćwiczenia 3 i 4: Lista 3 i lista 4.
- Wykład 5: Procesy Fellera. Fellerowskie prawdopodobieństwo przejścia (własności). Jądro i operator $\lambda$-potencjału. Przykłady (jądro Gaussa–Weierstrassa, jądro Poissona/Cauchy’ego, półgrupy splotowe).
- Ćwiczenia 5: Lista 3 i lista 4.
- Wykład 6: Procesy Fellera. Funkcje ekscesywne. Twierdzenie o istnieniu procesu Fellera.
- Ćwiczenia 6: Lista 4 i lista 5.
- Wykład 7: Kwazilewostronna ciągłość. Operatory przesunięcia. Twierdzenie o kwazilewostronnej ciągłości procesu Fellera.
- Ćwiczenia 7: lista 5.
- Wykład 8: Czasy trafienia. Czas trafienia w zbiór i czas wyjścia ze zbioru. Mierzalność dla zbiorów otwartych i domkniętych. Twierdzenie o debiucie i mierzalność dla zbiorów borelowskich. Krótko o trzech ideach: czasach wyjścia (zagadnienie Dirichleta), funkcjonałach addytywnych (zmiana czasu) i funkcjonałach multiplikatywnych (zmiana masy).
- Ćwiczenia 8: lista 5.
- Wykład 9: Półgrupa, rezolwenta i generator. Generator półgrupy i związek z rezolwentą: przypadek łańcucha Markowa z czasem ciągłym, regularnego krokowego procesu Markowa i przypadek ogólny. Własności generatora.
- Ćwiczenia 9: lista 6.
- Wykład 10: Wzór Dynkina. Wzór Dynkina. Operator charakterystyczny Dynkina i związek z generatorem (lemat Dynkina).
- Ćwiczenia 10: lista 6.
- Wykład 11: Miara harmoniczna. Dowód lematu Dynkina. Miara harmoniczna, operator Greena i ich własności.
- Ćwiczenia 11: lista 7.
- Wykład 12: Funkconały multiplikatywne. Funkcjonał multiplikatywny i operatory z nim związane. Podproces (proces zabity). Wzory Dynkina z funkcjonałem multiplikatywnym
- Ćwiczenia 12: lista 7.
- [tu lista się urywa]
Dodatkowe materiały
Literatura polecana:
- John Wermer, Potential theory (1974) — doskonałe wprowadzenie do analitycznej klasycznej teorii potencjału. Książka dostępna online z obszaru Politechniki Wrocławskiej.
- Kai Lai Chung, Zhongxin Zhao, From Brownian Motion to Schrödinger’s Equation (1995, 2001) — znakomite wprowadzenie do probabilistycznej klasycznej teorii potencjału. Książka dostępna online z obszaru Politechniki Wrocławskiej.
- Joseph L. Doob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart (2001) — świetny (chyba, za dobrze go nie znam) podręcznik do nauki (analitycznej i probabilistycznej) klasycznej teorii potencjału. Książka dostępna online z obszaru Politechniki Wrocławskiej.
- Michael Sharpe, General theory of Markov processes (1988) — bardzo ogólna, trudna i wymagająca, ale jednak podstawowa książka do ogólnej teorii potencjału procesów Markowa.
- Kai Lai Chung, John B. Walsh, Markov Processes, Brownian Motion, and Time Symmetry (2005) — znakomity, świetnie napisany, choć bardzo wymagający podręcznik ogólnej teorii potencjału procesów Markowa. Książka dostępna online z obszaru Politechniki Wrocławskiej.
Literatura dla odważnych:
- Naum S. Landkof, Foundations of modern potential theory (1972) — książka zdecydowanie nie do nauki, choć bardzo dobra.
- Jürgen Bliedtner, Wolfhard Hansen, Potential Theory. An Analytic and Probabilistic Approach to Balayage (1986) — bardzo dobry, ale trudny w czytaniu podręcznik do (przede wszystkim analitycznej) ogólnej teorii potencjału.
- Robert M. Blumenthal, Ronald K. Getoor, Markov processes and potential theory (1968, 1985, 2007) — książka raczej nie do nauki, trudna w lekturze i wymagająca. Choć brakuje w niej wielu nowszych wyników, wciąż jest podstawowym podręcznikiem ogólnej teorii potencjału procesów Markowa.
- Zhen-Qing Chen, Masatoshi Fukushima, Symmetric Markov Processes, Time Change, and Boundary Theory (2011) — książka pisana z innego punktu widzenia, wychodząca od pojęcia formy Dirichleta.
Kontakt
Jeśli mam odpowiedzieć, potrzebuję informacji kontaktowych.