Lista 1:

(1) Powtórka z analizy.
(2) Łatwe (podobne do (1)) przy założeżeniu $A_3 = 0$, bez tej podpowiedzi pozornie trudne.
(3) Nie są to jedyne możliwości, zob. (4) i (5).
(4) Gradient funkcji harmonicznej jest polem bezdywergentnym i bezwirowym. Takie pola nazywane są polami harmonicznymi.
(5) 
(6) Nie znam żadnej sensownej interpretacji tego wzoru.
(7) Jest to chyba najprostszy dowód twierdzenia Helmholtza. Nie daje on jednak tak eleganckich wzorów, jak podane wyżej sformułowanie.
(8) Ten warunek ustala A z dokładnością do dodania pola harmonicznego.
(9) Wydaje mi się, że nie, ale nie sprawdzałem.
(10) 
(11) Stąd wzięła się nazwa równania fali: opisuje fale elektromagnetyczne.
(12) 
(13) 
(14) Są to cztery niezależne równania!
(15) 

Lista 2:

(1) 
(2) 
(3) 
(4) Przy mocniejszych założeniach dowód jest niemal natychmiastowy.
(5) Analogiczne wzory są prawdziwe dla dużo ogólniejszej klasy zbiorów $D$.
(6) Jest to uogólnienie analogicznego faktu dla funkcji analitycznych.
(7) Przy dodatkowych założeniach o całkowalności $\mu$ zadanie mogłoby się znaleźć wcześniej na liście. W ogólnym przypadku dowód opiera się na podanym wyżej twierdzeniu.
(8) Zadanie to wykorzystuje (7).
(9) Konstrukcja przykładu jest raczej skomplikowana! Zadanie to jest blisko związane z własnościami transformat Riesza. Inne sformułowanie: jeśli zdefiniowane dystrybucyjnie $\Delta f$ okazuje się ciągłą funkcją, to nie oznacza to jeszcze, że $f$ jest klasy $C^2$.
(10) Uśrednianie po promieniu w tym zadaniu jest dużo łatwiejsze niż w zadaniu (4). Dowód twierdzenia odwrotnego jest raczej skomplikowany!
(11) 
(12) Dowód dla funkcji obustronnie ograniczonych jest tylko minimalnie łatwiejszy.
(13) Zazwyczaj transformację Kelwina definiuje się przy pomocy $|x|^{2 - d}$ zamiast $U(x) = c_d |x|^{2 - d}$. Wówczas jeśli $g$ jest transformatą Kelwina $f$, to $f$ jest transformatą Kelwina $g$.

Lista 3:

(1) 
(2) To po prostu twierdzenie o $\pi$-$\lambda$-układach.
(3) Norma tego operatora to oczywiście 1.
(4) 
(5) Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeśli $X$ i $Y$ są niezależne, mają ten sam rozkład i $X + Y$ oraz $X - Y$ są niezależne, to $X$ i $Y$ mają rozkład normalny.
(6) Wykorzystaj poprzednie zadanie.
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
(11) 
(12) 
(13) 

Lista 4:

(1) 
(2) Zupełnie nieprzydatne (ale przynajmniej łatwe) zadanie.
(3) 
(4) Przykład jest prosty, ale wymyślenie go wymaga (chyba) pewnej biegłości. % $X_t(\omega) = \min(t, \omega)$
(5) Przykład znów jest prosty, ale wymyślenie go jest jeszcze trudniejsze. % $\mathbbm{P}^0 = \delta_0$, $\mathbbm{P}^1(d\omega) = e^{-\omega} d\omega$; $X_t(\omega) = \mathbbm{1}_{[0, \omega)}(t)$; własność Markowa: wystarczy sprawdzić (M) dla $p_t(0, dy) = \delta_0(dy)$, $p_t(1, dy) = e^{-t} \delta_1(dy) + (1 - e^{-t}) \delta_0(dy)$.
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
(11) 
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18)