% -- Notatki --

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[polish]{babel}

\sloppy

% ------------------------------  o  ------------------------------

\newcounter{block}[section]
\newcommand{\et}[1]{\par\noindent\textbf{#1} }
\newenvironment{block}[1]
  {\medskip\refstepcounter{block}\et{\arabic{block}. #1.}}
  {\medskip}
\newcommand{\blockref}[2]{\ref{sec:#1}.\ref{bl:#1:#2}}

\newcommand{\why}{$\spadesuit$}

\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\power}[1]{\mathcal{P}\expr{#1}}
\newcommand{\hash}[1]{\# #1}

\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\begin{document}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\title{Brzegowa zasada Harnacka dla funkcji harmonicznych na podzbiorach $\R^3$ o gładkich brzegach}
\author{Mateusz Kwaśnicki}
\maketitle

% ------------------------------  o  ------------------------------

Poniższa notatka jest krótkim, elementarnym dowodem brzegowej zasady Harnacka dla nieujemnych funkcji harmonicznych na zbiorach posiadających własność kuli zewnętrznej i wewnętrznej.

% ------------------------------  o  ------------------------------

\begin{block}{Zbiory gładkie}
Będziemy zawsze zakładali, że $D$ jest otwartym i spójnym podzbiorem $\R^3$ o następującej własności: dla pewnej liczby $\rho > 0$ i każdego punktu $z \in \partial D$ istnieją kule $B_z = B(p_z, \rho) \subset D$ i $B^z = B(p^z, \rho) \subset D^c$, których brzegi zawierają $z$. Takie zbiory często określa się mianem zbiorów klasy $C^{1, 1}$. Dla $x \in D$ oznaczamy przez $z_x$ pewien punkt na $\partial D$ najbliższy $x$. Ponadto określamy $\delta(x) = \abs{x - z_x}$. Przez $f$ będziemy zawsze oznaczali nieujemną funkcję ciągłą na $D$ i harmoniczną w $D$.
\end{block}

\begin{block}{Funkcja Greena i jądro Poissona}
Funkcja Greena $G_D(x, y)$ to, przy ustalonym $x \in D$, ciągła funkcja zmiennej $y \in \bar{D} \setminus \set{x}$ równa zero na $\partial D$ i spełniająca warunek $\int_D G_D(x, y) \Delta f(y) dy = -f(x)$ dla $f \in C_c^\infty(D)$. Jest to symetryczna funkcja harmoniczna ze względu na każdą ze współrzędnych.

Jądro Poissona $P_D(x, y)$ to, przy ustalonym $x \in D$, ciągła funkcja $y \in \partial D$ zdefiniowana jako pochodna funkcji Greena w (wewnętrznym) kierunku normalnym do $\partial D$. Jeśli $f$ jest ciągłą funkcją na $\partial D$, to po rozszerzeniu $f$ na $D$ według wzoru $f(x) = \int_{\partial D} P_D(x, y) f(y) \sigma(dy)$, gdzie $\sigma$ jest miarą powierzchniową, otrzymamy funkcję ciągłą na $\bar{D}$ i harmoniczną na $D$.

Funkcja Greena jest rosnącą funkcją zbioru. Stąd wynika też analogiczna własność dla jądra Poissona na części wspólnej brzegów. Zachodzi ponadto $G_D(x, y) \leq 1 / (\pi \abs{x - y})$.

Dla kuli $D = B(0, r)$ mamy:
\[
  G_D(x, y) =
  \frac{1}{\pi \abs{x - y}}
    - \frac{\abs{x}^2 \abs{y}^2}{\pi \abs{\abs{y}^3 x - \abs{x}^3 y}}
  \, , \text{ and } \,
  P_D(x, y) =
  \frac{r^2 - \abs{x}^2}{4 \pi \abs{x - y}^3}
  \, .
\]
\end{block}

\begin{block}{Zasada Harnacka}
Jeśli $K \subset D$ jest spójnym zbiorem zwartym, to dla pewnej stałej $c > 0$ zależnej od $K$ i $D$ zachodzi:
\[
  P_D(x_1, y) \leq
  c P_D(x_2, y)
\]
dla wszystkich $x_1, x_2 \in K$, $y \in \partial D$. W istocie, wpierw na mocy wzoru na jądro Poissona kuli stwierdzamy, że kule domknięte zawarte w $D$ mają tę własność, a następnie pokrywamy $K$ skończoną liczbą takich kul.
\end{block}

\begin{block}{Zasada Harnacka dla kuli}
Wobec wzoru na jądro Poissona kuli $B(z, \rho)$, dla $x \in D$ takiego, że $\delta(x) < \rho$, $z = z_x$ i $y \in \partial D$:
\[
  P_D(x, y) \geq
  \expr{1 - \frac{(\rho - \delta(x))^2}{\rho^2}} P_D(p_z, y)
  \, .
\]
\end{block}

\begin{block}{Oszacowanie jądra Poissona}
Niech $D = B(0, r) \setminus \bar{B}(0, \rho)$. Funkcja $f(x) = 1 / \rho - 1 / \abs{x}$ jest harmoniczna na $D$ i ciągła na $\bar{D}$, a więc:
\[
  \frac{r - \rho r \abs{x}^{-1}}{r - \rho} =
  \int_{\partial B(0, r)} P_D(x, y) \sigma(dy)
  \, .
\]
\end{block}

\begin{block}{Oszacowanie funkcji Greena}
Niech $p, q \in \R^3$ oraz $r \leq |p - q| / 3$. Załóżmy, że $r > \rho$ i określmy $D = (\bar{B}(p, \rho) \cup \bar{B}(q, \rho))^c$. Niech $x, y \in D$, $x \in B(p, r)$ i $y \in B(q, r)$, i niech $D_1 = B(p, r) \setminus \bar{B}(p, \rho)$, $D_2 = B(q, r) \setminus \bar{B}(q, \rho)$. Zachodzi:
\[
  G_D(x, y) =
  \int_{\partial B(p, r)} \int_{\partial B(q, r)}
    G_D(\xi, \eta) P_{D_1}(x, \xi) P_{D_2}(y, \eta) d\eta d\xi
  \, .
\]
Korzystając z oszacowania jądra Poissona, nierówności $\abs{\xi - \eta} \geq r$ oraz $G_D(\xi, \eta) \leq 1 / (\pi \abs{\xi - \eta})$, otrzymujemy:
\[
  G_D(x, y) \leq
  \frac{1}{\pi r} 
    \cdot \frac{r - \rho r \abs{x - p}^{-1}}{r - \rho}
    \cdot \frac{r - \rho r \abs{y - p}^{-1}}{r - \rho}
  \, .
\]
\end{block}

\begin{block}{Brzegowa zasada Harnacka}
Niech $F$ będzie spójnym zbiorem zwartym zawartym w otwartym zbiorze $G$. Niech $D$ będzie spójnym zbiorem otwartym o własności kuli wewnętrznej i zewnętrznej z promieniem $\rho$. Niech $f, g$ będą nieujemnymi funkcjami harmonicznymi na $D$ i ciągłymi na $\bar{D}$, i niech ponadto $f(z) = g(z) = 0$ dla $z \in G \cap \partial D$. Wówczas istnieje stała $c > 0$ zależna tylko do $D$, $F$ i $G$ taka, że dla wszystkich $x, y \in F \cap D$:
\[
  \frac{f(x)}{g(x)} \leq
  c \, \frac{f(y)}{g(y)}
  \, .
\]

\begin{proof}
Oznaczmy $K = \set{x \in D : \delta(x) \geq \rho}$. Niech $5 r$ będzie odległością pomiędzy $F$ i $G^c$. Możemy bez straty ogólności założyć, że $4 \rho \leq r$. Niech $x, y \in D \setminus K$, $\abs{x - y} \geq 4 r$. Niech $p = p^{z_x}$, $q = p^{z_y}$. Wówczas $\abs{p - q} \geq 3 r$. Na mocy oszacowania funkcji Greena i zawierania $D \subset (\bar{B}^{z_x} \cup \bar{B}^{z_y})^c$:
\[
\begin{split}
  G_D(x, y) & \leq
  \frac{1}{\pi r} 
    \cdot \frac{r - \rho r (\rho + \delta(x))^{-1}}{r - \rho}
    \cdot \frac{r - \rho r (\rho + \delta(y))^{-1}}{r - \rho}
  \\ & =
  \frac{r \delta(x) \delta(y)}{(r - \rho)^2(\rho + \delta(x))(\rho + \delta(y))}
  \, .
\end{split}
\]
Obliczając pochodną przy $y \rightarrow z \in \partial D$ otrzymujemy:
\[
  P_D(x, z) \leq
  \frac{r \delta(x)}{\rho^2 (r - \rho)^2}
\]
dla wszystkich $x \in D \setminus K$, $z \in \partial D$ takich, że $\abs{x - z} \geq 5 r$. Z drugiej strony zasada Harnacka dla kuli daje:
\[
  P_D(x, z) \geq
  \frac{\delta(x)}{\rho} \cdot \inf_{K \times \partial D} P_D
  \, .
\]
Zauważmy, że $P_D$ jest ciągłą, dodatnią funkcją, a więc $\inf\limits_{K \times \partial D} P_D > 0$.

Ponieważ dla $x, y \in (D \setminus K) \cap F$ oraz $z \in \partial D \setminus G$ zachodzi $\abs{x - z} \geq 5 r$, $\abs{y - z} \geq 5 r$, więc:
\[
  \frac{f(x)}{f(y)} =
  \frac
    {\int_{\partial D \setminus G} P_D(x, z) f(z) \sigma(dz)}
    {\int_{\partial D \setminus G} P_D(y, z) f(z) \sigma(dz)}
  \leq c \, \frac{\delta(x)}{\delta(y)}
\]
ze stałą $c$ zależną od $D$, $F$ i $G$. Na mocy zasady Harnacka powyższa nierówność zachodzi także w $K \cap F$ ze stałą zależną od $D$ i $K$. To dowodzi tezy.
\end{proof}
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\end{document}
