% -- Notatki --

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[polish]{babel}

\sloppy

% ------------------------------  o  ------------------------------

\newcounter{block}[section]
\newcommand{\et}[1]{\par\noindent\textbf{#1} }
\newenvironment{block}[1]
  {\medskip\refstepcounter{block}\et{\arabic{block}. #1.}}
  {\medskip}
\newcommand{\blockref}[2]{\ref{sec:#1}.\ref{bl:#1:#2}}

\newcommand{\why}{$\spadesuit$}

\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\power}[1]{\mathcal{P}\expr{#1}}
\newcommand{\hash}[1]{\# #1}

\newcommand{\cat}[2]{\left< #1 , #2 \right>}
\newcommand{\crop}[1]{\! \left< #1 \right>}
\newcommand{\borel}[1]{\mathcal{B}\expr{#1}}
\newcommand{\hatotimes}{\,\hat{\otimes}\,}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\pr}{\mathbf{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\seq}{\mathbf{S}}
\newcommand{\seqp}{\mathbf{S}^*}
\newcommand{\tree}{\mathcal{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\ZN}{\Z^\N}
\newcommand{\zeroseq}{\mathbf{0}}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\begin{document}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\title{Twierdzenie Choqueta o mierzalności rzutów \\ {\small (Na podstawie wykładu prof. Michała Morayne)}}
\author{Mateusz Kwaśnicki}
\date{12. grudnia 2004.}
\maketitle

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Wstęp}
\label{sec:intro}

Ten tekst jest skróconym zapisem wykładów dr M. Morayne, poświęconych podstawom analizy stochastycznej. W wielu miejscach -- przede wszystkim w dowodach twierdzeń -- pominięto szczegóły rozumowania, które czytelnik powinien jednak bez trudu uzupełnić. Aby ułatwić lekturę tekstu, tam gdzie trudność łatwo przeoczyć, zamieszczono symbol ,,\why''.

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Podstawowe definicje i fakty.}
\label{sec:basics}

\begin{block}{Oznaczenia}
Niech $\N$, $\Z$ oznaczają odpowiednio przestrzenie liczb naturalnych (z zerem) oraz całkowitych z topologią dyskretną, zaś $\ZN$ -- zbiór nieskończonych ciągów liczb całkowitych z topologią produktową, indukowaną przez metrykę:
\[
d(p, q) = \expr{\min \set{i : p_i \ne q_i} + 1}^{-1}.
\]
Niech nadto:
\[
\seq = \bigcup_{n \in \N} \Z^n
\]
będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych. Jedyny ciąg długości zero oznaczamy symbolem $\zeroseq$. Niech $\seqp = \seq \setminus \set{\zeroseq}$. Symbole $\R$, $\Q$ oznaczają odpowiednio zbiory liczb rzeczywistych i wymiernych; symbol ,,$+$'' w indeksie dolnym będzie oznaczał, że mamy na myśli jedynie liczby nieujemne (z zerem); wykluczenie zera ze zbioru będziemy oznaczać symbolem ,,$*$'' w indeksie górnym. W szczególności $\N^*$ oznacza zbiór dodatnich liczb całkowitych. Jeśli $k \in \N$, zaś $p \in \ZN$ bądź $p \in \Z^n$ dla pewnego $n \ge k$, to oznaczamy:
\[
p \crop{k} = (p_0, \dots, p_{k-1}).
\]
Jeśli zaś $p \in \seq$, $p = (p_0, \dots, p_{k-1})$ oraz $i \in \Z$, to określamy:
\[
\cat{p}{i} = (p_0, \dots, p_{k-1}, i).
\]
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:basics:homeo}
Przestrzenie topologiczne: $\ZN$ (z topologią produktową), $\R \setminus \Q$ oraz $\R_+ \setminus \Q$ (z naturalną topologią) są ze sobą homeomorficzne.

\begin{proof}
Na potrzeby tego dowodu, niech $p' = (p_0, \dots, p_{k-2}, p_{k-1} + 1)$ dla $p = (p_0, \dots, p_{k-1}) \in \seqp$.

Określamy funkcję $\psi : \seqp \rightarrow \Q$ indukcyjnie dla coraz dłuższych ciągów tak, aby dla wszystkich $p = (p_0, \dots, p_{k-1}) \in \seq$ spełnione były następujące warunki:
\begin{gather*}
\psi(\cat{p}{i}) \text{ jest ściśle rosnącą funkcją } i \in \Z,
\\
\lim_{i \rightarrow -\infty} \psi(\cat{p}{i}) = \psi(p) \text{ oraz }
\\
\lim_{i \rightarrow \infty} \psi(\cat{p}{i}) = \psi(p')
\text{ jeśli } k \in \N,
\\
\lim_{i \rightarrow -\infty} \psi(i) = -\infty \text{ oraz }
\lim_{i \rightarrow \infty} \psi(i) = \infty,
\\
\psi\expr{\seqp} = \Q.
\end{gather*}
(Ostatni warunek uzyskamy na przykład żądając, by w $k$-tym kroku konstrukcji wyczerpać wszystkie liczby wymierne o mianowniku $k$.) Dla ciągu $p \in \ZN$ określamy:
\[
\varphi(p) = \lim_{k \rightarrow \infty} \psi(p \crop{k}).
\]
Wówczas $\varphi$ jest różnowartościowym odwzorowaniem $\ZN$ na $\R \setminus \Q$ (\why). Obrazami zbiorów bazowych topologii w $\ZN$ są wszystkie zbiory bazy topologii w $\R \setminus \Q$, złożonej z przedziałów postaci $(q(p), q(p'))$ dla $p \in \seqp$. To oznacza ciągłość odwzorowań $\varphi$ i $\varphi^{-1}$. Homeomorfizm między przestrzeniami $\R \setminus \Q$ oraz $\R_+ \setminus \Q$ ustala funkcja $x \mapsto 2-x$ dla $x < 1$, $x \mapsto 1/x$ w przeciwnym przypadku.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Uwaga}
W powyższym dowodzie można bez żadnych dodatkowych zmian zastąpić zbiór $\Q$ dowolnym innym gęstym podzbiorem przeliczalnym $E \subset \R$. Tym samym udowodniliśmy, że $\R \setminus E_1$ oraz $\R \setminus E_2$ są homeomorficzne dla każdych dwóch przeliczalnych podzbiorów gęstych $E_1, E_2 \subset \R$. Śledząc uważnie dowód można zauważyć, że homeomorfizm między tymi przestrzeniami jest ustalony przez pewną funkcję rosnącą $f$ rozszerzającą się w sposób ciągły do homeomorfizmu $\R \rightarrow \R$. Oznacza to, że istnieje ciągła i rosnąca funkcja $f : \R \rightarrow \R$ spełniająca warunek $f(E_1) = E_2$. Co ciekawe, istnieje funkcja spełniająca te założenia i dodatkowo taka, że $f$ i $f^{-1}$ są nieskończenie wiele razy różniczkowalne.
\end{block}

\begin{block}{Definicje}
Od tego momentu, jeśli nie zostanie powiedziane inaczej, $X$ jest pewnym zbiorem, zaś $\Phi$ pewną rodziną jego podzbiorów. Oznaczamy:
\begin{gather*}
(\Phi)_\delta = \set{\bigcap_{n \in \N} A_n : A_n \in \Phi, n \in \N},
\\
(\Phi)_\sigma = \set{\bigcup_{n \in \N} A_n : A_n \in \Phi, n \in \N},
\\
\Phi^c = \set{A^c : A \in \Phi}.
\end{gather*}
Rodzinę $\Phi$ nazywamy \emph{$\sigma\delta$-kratą}, jeśli $\Phi = (\Phi)_\delta = (\Phi)_\sigma$, zaś \emph{$\sigma$-algebrą}, jeśli jest $\sigma\delta$-kratą oraz $\Phi = \Phi^c$. Najmniejszą $\sigma\delta$-kratę zawierającą $\Phi$ oznaczamy $\hat{\Phi}$, zaś najmniejszą $\sigma$-algebrę -- $\sigma(\Phi)$. Rodzinę wszystkich podzbiorów $X$ oznaczamy $\power{X}$. Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to przez $\borel{X}$ oznaczamy rodzinę \emph{zbiorów borelowskich} na $X$, czyli $\sigma(\tau)$, gdzie $\tau$ jest rodziną otwartych podzbiorów $X$.

Jeśli $\Phi$ i $\Psi$ są rodzinami podzbiorów odpowiednio zbioru $X$ i $Y$, to określamy:
\begin{gather*}
\Phi \times \Psi = \set{A \times B : A \in \Phi, B \in \Psi}, \\
\Phi \hatotimes \Psi = (\Phi \times \Psi)\hat\ , \\
\Phi \otimes \Psi = \sigma(\Phi \times \Psi).
\end{gather*}
Definiujemy \emph{rzutowanie}: $\pi(x, y) = x$. Dla zbioru $A \subset X \times Y$ oraz $x \in X$ określamy \emph{cięcie} $(A)_x$ jako $\set{y \in Y : (x, y) \in A}$.
\end{block}

\begin{block}{Fakt}
Zachodzą następujące relacje:
\begin{gather*}
\Phi \hatotimes \Psi =  \Phi \hatotimes \hat{\Psi} = \hat{\Phi} \hatotimes \hat{\Psi}, \\
\Phi \otimes \Psi = \Phi \otimes \sigma(\Psi) = \sigma(\Phi) \otimes \sigma(\Psi).
\end{gather*}
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Transformacja $\A$ Souslina}
\label{sec:Souslin-A}

\begin{block}{Definicja}
Niech $T : \seqp \rightarrow \power{X}$. Oznaczamy:
\begin{gather*}
\A(T) = \bigcup_{p \in \ZN} \bigcap_{k \in \N^*} T(p \crop{n}), \\
\A(\Phi) = \set{\A(T) : T : \seqp \rightarrow \Phi}.
\end{gather*}
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie}
Operacja $\A$ jest indempotentna, czyli $\A(\A(\Phi)) = \A(\Phi)$.

\begin{proof}
Niech $\hat{T} : \seqp \rightarrow \A(\Phi)$ i niech $\hat{T}(p) = \A\expr{T_p}$, gdzie $T_p : \seqp \rightarrow \Phi$. Niech ponadto $n \mapsto (\alpha(n), \beta(n))$ będzie bijekcją między $\Z$ oraz $\Z \times \Z$. Niech $k \in \N, k > 0$. Wówczas $k = 2^i (2j+1)$ dla pewnych wyznaczonych jednoznacznie $i, j \in \N$. Określamy wtedy:
\begin{gather*}
q = (\alpha(p_1), \alpha(p_2), \alpha(p_4), \dots, \alpha(p_{2^i})), \\
\widetilde{T}(p_1, \dots, p_k) = T_q(\beta(p_{2^i}), p_{2^i\cdot3}, p_{2^i\cdot5}, \dots, p_{2^i(2j+1)}).
\end{gather*}
Wówczas (\why):
\[
\begin{split}
\A(\widetilde{T}) & =
\bigcup_{p \in \ZN} \bigcap_{k \in \N^*} \widetilde{T}(p \crop{k})
\\ & =
\bigcup_{q \in \ZN} \bigcup_{p_i \in \ZN, i \in \N^*} \bigcap_{i \in \N^*} \bigcap_{j \in \N^*}
T_{q \crop{i}}(p_i \crop{j})
\\ & =
\bigcup_{q \in \ZN} \bigcap_{i \in \N^*} \bigcup_{p \in \ZN} \bigcap_{k \in \N^*}
T_{q \crop{i}}(p \crop{k})
\\ & =
\bigcup_{q \in \ZN} \bigcap_{i \in \N^*} \A(T_{q \crop{i}}) = \A(\hat{T}).
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie}
Rodzina $\A(\Phi)$ jest $\sigma\delta$-kratą zawierającą $\Phi$.

\begin{proof}
Niech $A_n \in \Phi$ dla $n \in \N$. Określmy $T_1(p_0, \dots, p_{k-1}) = A_{\abs{p_0}}$, $T_2(p_0, \dots, p_{k-1}) = A_{k-1}$ dla każdego $(p_0, \dots, p_{k-1}) \in \seqp$. Wówczas $\A(T_1) = \bigcup_{n \in \N} A_n$ oraz $\A(T_2) = \bigcap_{n \in \N} A_n$, a więc $(\Phi)_\sigma \subset \A(\Phi)$, $(\Phi)_\delta \subset \A(\Phi)$.

Stosując ten rezultat dla $\A(\Phi)$ w miejsce $\Phi$ otrzymujemy:
\begin{gather*}
(\A(\Phi))_\sigma \subset \A(\A(\Phi)) = \A(\Phi), \\
(\A(\Phi))_\delta \subset \A(\A(\Phi)) = \A(\Phi),
\end{gather*}
co dowodzi tezy.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Uwaga}
W ogólności rodzina $\A(\Phi)$ nie jest $\sigma$-algebrą, nawet gdy $\Phi$ jest $\sigma$-algebrą.
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:Souslin-A:theorem}
Zachodzą następujące równości:
\[
\A(\Phi) =
\set{\pi(E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\ZN}} =
\set{\pi(E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\R}}.
\]

\begin{proof}
Teza twierdzenia wynika z poniższych trzech lematów.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Lemat}
Zachodzi inkluzja $\A(\Phi) \subset \set{\pi(E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\ZN}}$.

\begin{proof}
Niech $T : \seqp \rightarrow \Phi$. Określmy:
\[
E_k = \bigcup_{p \in \Z^k} T(p) \times U(p),
\]
gdzie $U(p_0, \dots, p_{k-1}) = \set{q \in \ZN : q_i = p_i, i = 0, \dots, k-1}$ jest zbiorem bazowym topologii w $\ZN$. Niech $E = \bigcap_{k = 1}^{\infty} E_k$. Wówczas $E \in \Phi \hatotimes \borel{\ZN}$ oraz $\pi(E) = \A(T)$.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Lemat}
Zachodzi inkluzja $\A(\Phi) \supset \set{\pi(E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\R}}$.

\begin{proof}
Niech $\Psi = \set{[a, b] : a, b \in \R, a \le b}$ będzie rodziną domkniętych przedziałów liczb rzeczywistych. Wówczas $(\Psi)_\delta = \Psi$ oraz $\hat{\Psi} = \borel{\R}$. Ponadto jeśli $B_n \in \Psi$, $n \in \N$, to:
\[
\bigcap_{n \in \N} B_n = \emptyset
\quad \Leftrightarrow \quad
\exists k \in \N : \bigcap_{n = 0}^{k} B_n = \emptyset.
\]
Oznacza to, że jeśli $E_n \in \Phi \times \Psi$, $n \in \N$, to:
\[
\pi \expr{\bigcap_{n \in \N} E_n} =
\bigcap_{k \in \N} \pi \expr{\bigcap_{n = 0}^{k} E_n}.
\]
Oczywiście rzut sumy dowolnej mnogości zbiorów jest sumą rzutów tych zbiorów. Weźmy zatem dowolne $T : \seqp \rightarrow \Phi \times \Psi$ i niech $T(p) = T_1(p) \times T_2(p)$. Określmy $\widetilde{T} : \seqp \rightarrow \Phi \times \Psi$ dla $p = (p_0, \dots, p_{k-1}) \in \seqp$ wzorem:
\[
\widetilde{T}(p) =
T_1(p) \times \expr{\bigcap_{n = 1}^{k} T_2(p \crop{n})}.
\]
Wówczas (\why):
\[
\pi (\A(T)) = \pi (\A(\widetilde{T})) = \A(\pi \circ \widetilde{T}) \in \A(\Phi).
\]
Ale $\A(\Phi \times \Psi) \supset (\Phi \times \Psi)\hat\  = \Phi \hatotimes \borel{\R}$, a więc $\pi (E) \in \A(\Phi)$ dla wszystkich $E \in \Phi \hatotimes \borel{\R}$.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Lemat}
Zachodzi równość:
\[
\set{\pi (E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\ZN}} =
\set{\pi (E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\R}}.
\]

\begin{proof}
Przestrzenie $\ZN$ i $\R \setminus \Q$ są homeomorficzne (twierdzenie \blockref{basics}{homeo}), a między przestrzeniami $\R \setminus \Q$ oraz $\R$ istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie borelowskie, którego odwrotność jest także borelowska. Zatem:
\[
\begin{split}
\set{\pi (E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\ZN}} = &
\set{\pi (E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\R \setminus \Q}}
\\ =
& \set{\pi (E) : E \in \Phi \hatotimes \borel{\R}}.
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Uwaga}
Oczywiście w twierdzeniu \ref{bl:Souslin-A:theorem} można w miejsce $\R$ napisać $\R_+$ bądź dowolny przedział (otwarty lub domknięty) liczb rzeczywistych.
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Twierdzenie K\"oniga o drzewach}
\label{sec:Koenig-theorem}

\begin{block}{Definicja}
\emph{Drzewem} nazywamy każdy zbiór $\tree \subset \seq$ spełniający warunek:
\[
(p_0, \dots, p_k) \in \tree \quad \Rightarrow \quad
(p_0, \dots, p_{k-1}) \in \tree
\]
dla wszystkich $k \in \N$. Dla \emph{wierzchołka} $p \in \tree$ liczbę:
\[
\hash{\set{i : \cat{p}{i} \in \tree}}
\]
nazywamy \emph{stopniem rozgałęzienia} wierzchołka $p$. Drzewo $\tree$ nazywamy \emph{skończenie rozgałęzionym}, jeśli stopień rozgałęzienia każdego wierzchołka $\tree$ jest skończony.
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie K\"oniga o drzewach skończenie rozgałęzionych} \label{bl:Koenig-theorem:theorem}
Jeśli $T$ jest drzewem skończenie rozgałęzionym oraz $\hash{\tree} = \infty$, to istnieje ciąg $p \in \ZN$ taki, że $p \crop{k} \in \tree$ dla każdego $k \in \N^*$.

\begin{proof}
Ciąg $p$ skonstruujemy indukcyjnie, dbając o to, by w każdym kroku zbiór przedłużeń ciągu $p \crop{k}$ w drzewie $\tree$:
\[
A(p \crop{k}) = \set{q \in \tree : q \crop{k} = p \crop{k}}
\]
był nieskończony. Dla $k = 0$ zachodzi $A(\zeroseq) = \tree$, a więc warunek jest spełniony. Jeśli skonstruowany został już ciąg $p \crop{k}$, to:
\[
A(p \crop{k}) = \set{p\crop{k}} \cup \bigcup_{i \in \Z} A(\cat{p \crop{k}}{i})
\]
oraz tylko skończenie wiele zbiorów $A(\cat{p \crop{k}}{i})$, $i \in \Z$, jest niepustych. Zatem dla pewnego $i \in \Z$ zbiór $A(\cat{p \crop{k}}{i})$ jest nieskończony. Przyjmujemy $p_k = i$.
\end{proof}
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Pojemność Choqueta}
\label{sec:Choquet-capacity}

\begin{block}{Definicja}
Funkcję $\nu : \power{X} \rightarrow \R$ nazywamy \emph{$\Phi$-pojemnością Choqueta} (w skrócie $\Phi$-pojemnością), jeśli spełnia następujące warunki:
\begin{enumerate}
\item
Monotoniczność: Dla $A \subset B \subset X$ zachodzi $\nu(A) \le \nu(B)$,
\item
Ciągłość w górę: Dla $A_0 \subset A_1 \subset \dots \subset X$ zachodzi $\nu\expr{\bigcup_{n \in \N} A_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \nu(A_n)$,
\item
Ciągłość w dół: Dla $A_0 \subset A_1 \subset \dots \subset X$, $A_n \in \Phi$, $n \in \N$, zachodzi $\nu\expr{\bigcap_{n \in \N} A_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \nu(A_n)$.
\end{enumerate}
Mówimy, że $A \subset X$ jest \emph{$\nu$-kapacytowalny}, jeśli:
\[
\forall \epsilon > 0 \quad \exists B \in (\Phi)_\delta : \quad
B \subset A, \nu(B) > \nu(A) - \epsilon.
\]
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:Choquet-capacity:measure}
Jeśli $(\Omega, \F, \pr)$ jest przestrzenią probabilistyczną, zaś $\pr^*$ miarą zewnętrzną, czyli:
\[
\pr^*(A) = \inf \set{\pr(E) : E \in \mathcal{F}, E \supset A},
\]
to $\pr^*$ jest $\F$-pojemnością.

\begin{proof}
Najpierw udowodnimy, że $\pr^*$ jest $\F$-pojemnością. Monotoniczność wynika wprost z definicji. Jeśli $A_n \subset X$ dla $n \in \N$, to niech $E_n \in \F$ będzie takim zbiorem, że $A_n \subset E_n$, $\pr^*(A_n) = \pr(E_n)$.

Jeśli $A_0 \subset A_1 \subset \dots$, to:
\[
\pr(E_n) = \pr^*(A_n) \le \pr \expr{\bigcap_{i = n}^{\infty} E_i} \le \pr(E_n).
\]
Zatem:
\[
\begin{split}
\pr(E_n) = & \pr^*(A_n) \le \pr^* \expr{\bigcup_{j \in \N} A_j} \le
\pr \expr{\bigcup_{j \in \N} \bigcap_{i = j}^{\infty} E_i}
\\ =
& \lim_{j \rightarrow \infty} \pr \expr{\bigcap_{i = j}^{\infty} E_i} =
\lim_{j \rightarrow \infty} \pr \expr{E_j},
\end{split}
\]
co oznacza ciągłość w górę. Ciągłość w dół wynika wynika z ciągłości miary.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie Choqueta} \label{bl:Choquet-capacity:theorem}
Załóżmy, że $\Phi$ jest \emph{kratą}, czyli rodziną zamkniętą na skończone sumy i przekroje. Jeśli $\nu$ jest $\Phi$-pojemnością, to każdy zbiór z rodziny $\A(\Phi)$ jest $\nu$-kapacytowalny.

\begin{proof}
Niech $A = \A(T)$, gdzie $T : \seqp \rightarrow \Phi$. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że:
\[
T(p \crop{k}) \supset T(p \crop{k+1})
\]
dla wszystkich $p \in \ZN$, $k \in \N^*$. Określamy:
\[
\widetilde{T}(p) = \bigcap_{k \in \N^*} T(p \crop{k})
\]
dla $p \in \ZN$. Ponadto dla dowolnego skończonego ciągu liczb naturalnych $m = (m_0, \dots, m_{k-1})$ niech $S(m)$ oznacza sumę mnogościową obrazów wszystkich ciągów z $\ZN$, których początkowe współrzędne są ograniczone przez liczby $m_i$, a więc:
\[
S(m) = \bigcup_{p \in \ZN, \abs{p_i} < m_i \text{ dla } i = 0, \dots, k-1} \widetilde{T}(p).
\]
Zauważmy, że $S(\zeroseq) = A$. Ustalmy $\epsilon > 0$. Konstruujemy indukcyjnie ciąg liczb naturalnych $m$ w następujący sposób. Przyjmijmy, że zostały już określone $m_0, \dots, m_{k-1}$ tak, że:
\[
\nu(S(m \crop{k})) > \nu(A) - \epsilon.
\]
Wobec:
\[
S(m \crop{k}) = \bigcup_{i \in \N} S(\cat{m \crop{k}}{i})
\]
i definicji $\Phi$-pojemności, dla pewnego $m_k \in \N$:
\[
\nu(S(m \crop{k+1})) > \nu(A) - \epsilon.
\]
Niech teraz:
\[
F_k = \bigcup_{p \in \N^k, \abs{p_i} < m_i \text{ dla } i = 0, \dots, k-1} T(p)
\]
dla $k \in \N^*$ oraz niech:
\[
F = \bigcap_{k \in \N^*} F_k.
\]
Oczywiście $F_k \in \Phi$, więc $F \in (\Phi)_\delta$. Ponadto:
\[
\nu(F_k) \ge \nu(S(m \crop{k})) > \nu(A) - \epsilon,
\]
przez co $\nu(F) = \lim_{k \rightarrow \infty} \nu(F_k) \ge \nu(A) - \epsilon$. Pokażemy, że $F \subset A$.

Niech $x \in F$. Określamy drzewo $\tree$ jako zbiór wszystkich wierzchołków postaci $p \crop{k}$ dla $p \in \ZN$ takich, że $x \in T(p)$ oraz $\abs{p_i} < m_i$ dla $i = 0, \dots, k-1$. Jest to drzewo nieskończone (bo wobec definicji $F$ i $F_k$ zawiera ciągi dowolnej długości) i skończenie rozgałęzione, więc na mocy twierdzenia K\"oniga (\blockref{Koenig-theorem}{theorem}) istnieje ciąg $p \in \ZN$ taki, że $\abs{p_i} < m_i$ dla $i \in \N$ oraz $x \in T(p \crop{k})$ dla wszystkich $k \in \N^*$. To oznacza, że $x \in A$. Zatem $F \subset A$.
\end{proof}

Powyższy dowód pochodzi od prof. J. Cichonia i prof. [???].
\end{block}

\begin{block}{Wnioski} \label{bl:Choquet-capacity:projection}
Niech $(\Omega, \F, \mu)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Przez $\F^\mu$ oznaczamy \emph{$\sigma$-algebrę uzupełnioną} względem miary $\mu$, a więc $\sigma$-algebrę generowaną przez $\F$ oraz wszystkie zbiory $A \subset X$ takie, że $\mu^*(A) = 0$. Wówczas:
\[
\F^\mu = \set{A : \exists E_1, E_2 \in \F : E_1 \subset A \subset E_2, \mu(E_1) = \mu(E_2)}
\]
lub inaczej:
\[
\F^\mu = \set{A : \exists E \in \F : E \subset A, \mu(E) = \mu^*(A)}.
\]
Miarę $\mu$ można jednoznacznie rozszerzyć do miary na $\F^\mu$. Na mocy tw. Choqueta i faktu, że $\mu^*$ jest $\F^\mu$-pojemnością, każdy zbiór z rodziny $\A(\F^\mu)$ spełnia powyższy warunek, więc $\A(\F^\mu) \subset \F^\mu$.

Co więcej, jeśli $(\Omega, \F)$ jest przestrzenią mierzalną, to dla każdej miary probabilistycznej $\mu$ na $\sigma$-algebrze $\F$ zachodzi $\A(\F) \subset \F^\mu$, a więc:
\[
\A(\F) \subset \F^* = \bigcap_{\mu \in \M(\F)} \F^\mu,
\]
gdzie $\M(\F)$ oznacza rodzinę wszystkich miar probabilistycznych na $\sigma$-algebrze $\F$, zaś $\F^*$ nazywane jest \emph{rodziną zbiorów uniwersalnie mierzalnych}. Zauważmy, że $(\F^*)^* = \F^*$.

Na mocy twierdzenia \blockref{Souslin-A}{theorem} oznacza to, że rzuty $\pi (E)$ zbiorów $E \in \F \otimes \borel{\R}$ (a nawet $E \in \F^* \otimes \borel{\R}$) należą do rodziny zbiorów uniwersalnie mierzalnych $\F^*$, zaś rzuty zbiorów $E \in \F^\mu \otimes \borel{\R}$ należą do $\F^\mu$. W szczególności rzuty borelowskich podzbiorów płaszczyzny na jedną z osi są mierzalne w sensie Lebesgue'a.
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:Choquet-capacity:capacity}
Jeśli $\Phi = \set{E \subset \mathcal{F} \otimes \borel{\R_+} : \forall \omega \in \Omega : (E)_\omega \text{ jest zwarty}}$ oraz $X = \Omega \times \R_+$, to funkcja $\nu(A) = \pr^*(\pi (A))$ dla $A \in \power{X}$ jest $\Phi$-pojemnością.

\begin{proof}
Monotoniczność $\nu$ wynika z monotoniczności rzutów, ciągłość w górę z przemienności rzutowania i sumowania oraz ciągłości w górę $\pr^*$ udowodnionej w twierdzeniu \blockref{Choquet-capacity}{measure}. Jeśli $A_0 \supset A_1 \supset \dots$, $A_n \in \Phi$, $n \in \N$, to dla $\omega \in \Omega$:
\[
\bigcap_{n \in \N} (A_n)_\omega = \emptyset
\quad \Leftrightarrow \quad
\exists n \in \N : (A_n)_\omega = \emptyset
\]
wobec zwartości cięć $(A_n)_\omega$, a więc $\pi \expr{\bigcap_{n \in \N} A_n} = \bigcap_{n \in \N} \pi(A_n)$. Ponadto na mocy wniosków wyciągniętych z tw. Choqueta, zachodzi $\pi(A_n) \in \F^\pr$, $\pi \expr{\bigcap_{n \in \N} A_n} \in \F^\pr$. Zatem po przedłużeniu $\pr$ do miary na $\F^\pr$:
\[
\begin{split}
\nu \expr{\bigcap_{n \in \N} A_n} = &
\pr^* \expr{\pi \expr{\bigcap_{n \in \N} A_n}} =
\pr \expr{\bigcap_{n \in \N} \pi(A_n)}
\\ =
& \lim_{n \rightarrow \infty} \pr(\pi(A_n)) =
\lim_{n \rightarrow \infty} \nu(A_n).
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
Znów w miejsce $\R_+$ można wpisać $\R$ bądź dowolny przedział liczb rzeczywistych.
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\section{Wykresy mierzalne i twierdzenie von Neumanna o selektorze}
\label{sec:graphs}

\begin{block}{Definicja}
Zbiór $A \in \F \otimes \borel{\R_+}$ nazywamy \emph{wykresem mierzalnym}, jeśli:
\[
\forall \omega \in \Omega : \hash{(A)_\omega} \le 1.
\]
\emph{Debiutem} zbioru $E \subset \Omega \times \R_+$ nazywamy funkcję określoną dla $\omega \in \pi(E)$ wzorem $\D_A(\omega) = \inf \set{t \in \R_+ : (\omega, t) \in E}$.
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:graphs:graph}
Jeśli przestrzeń $(\Omega, \F, \pr)$ jest \emph{zupełna} (czyli $\F^\pr = \F$), to każdy wykres mierzalny jest postaci:
\[
\set{(\omega, f(\omega)) : \omega \in E}
\]
dla pewnego $E \in \F$ oraz $f : E \rightarrow \R_+$ borelowskiej.

\begin{proof}
Jeśli $E \in \F$ oraz $f : E \rightarrow \R_+$ jest funkcją borelowską, to:
\[
\begin{split}
\lefteqn{\set{(\omega, f(\omega)) : \omega \in E}} \hspace{30pt} & \\
= & \bigcap_{n \in \N^*} \bigcup_{k \in \N}
  \expr{f^{-1} \expr{\left[ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right)} \cap E} \times
  \left[ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right) \in
\F \otimes \borel{\R_+}.
\end{split}
\]
Jeśli zaś $A$ jest wykresem mierzalnym, to okreśnamy $E = \pi(A) \in \F^\pr = \F$ (mierzalność $E$ wynika z \blockref{Choquet-capacity}{projection}) oraz $f(\omega) \in (A)_\omega$ dla $\omega \in E$. Zauważmy, że wybór $f$ jest jednoznaczny oraz że $A = \set{(\omega, f(\omega)) : \omega \in E}$. Ponadto dla $F \in \borel{\R_+}$:
\[
\begin{split}
f^{-1}(F) = & \set{\omega \in \Omega : (A)_\omega \cap F \ne \emptyset} =
\set{\omega \in \Omega : (A \cap (\Omega \times F))_\omega \ne \emptyset}
\\ =
& \pi(A \cap (\Omega \times F)) \in \F^\pr = \F
\end{split}
\]
(mierzalność ponownie jest konsekwencją \blockref{Choquet-capacity}{projection}). Zatem $f$ jest funkcją borelowską.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie} \label{bl:graphs:debut}
Jeśli przestrzeń $(\Omega, \F, \pr)$ jest zupełna oraz $E \in \F \otimes \borel{\R_+}$, to $\D_E$ jest funkcją mierzalną.

\begin{proof}
Teza wynika z następującego rachunku:
\[
\begin{split}
\set{\omega \in \pi(E) : \D_E(\omega) < t} = &
\set{\omega \in \Omega : \quad \exists s \in [0, t) : (\omega, s) \in E} 
\\ =
& \pi(E \cap (\Omega \times [0, t)))
\end{split}
\]
oraz z \blockref{Choquet-capacity}{projection}.
\end{proof}
\end{block}

\begin{block}{Uwaga}
W dowodach powyższych twierdzeń wykorzystaliśmy jedynie fakt, że rzut zbioru mierzalnego jest mierzalny. Można zatem osłabić założenia tych twierdzeń: zamiast zupełności przestrzeni probabilistycznej wystarczy wymagać, by $\A(\F) = \F$. W szczególności $\F$ może być $\sigma$-algebrą zbiorów uniwersalnie mierzalnych.
\end{block}

\begin{block}{Twierdzenie von Neumanna o selektorze} \label{bl:graphs:Von-Neumann-theorem}
Jeśli przestrzeń $(\Omega, \F, \pr)$ jest zupełna, zaś $E \in \F \otimes \borel{\R_+}$, to istnieje wykres mierzalny $A \subset E$ taki, że $\pi(A) = \pi(E)$.

\begin{proof}
Niech $\Phi = \set{E \subset \mathcal{F} \otimes \borel{\R_+} : \forall \omega \in \Omega : (E)_\omega \text{ jest zwarty}}$ i niech $\nu(A) = \pr^*(\pi (A))$. Udowodniliśmy w \blockref{Choquet-capacity}{capacity}, że $\nu$ jest $\Phi$-pojemnością. Skonstruujemy indukcyjnie ciąg $F_n \in \Phi$, $n \in \N^*$, oraz ciąg pomocniczy $E_n \in \F \otimes \borel{\R_+}$, $n \in \N^*$.

Niech $E_1 = E$. Załóżmy, że dla pewnego $n \in \N^*$ skonstruowaliśmy już $E_n \in \F \otimes \borel{\R_+}$. Ponieważ $E_n$ jest $\nu$-kapacytowalny, więc istnieje $F_n \in (\Phi)_\delta = \Phi$ taki, że $F_n \subset E_n$ oraz $\nu(F_n) > \nu(E_n) - 1/n$. Określamy:
\[
E_{n+1} = E_n \setminus (\pi(F_n) \times \R_+).
\]
Na mocy \blockref{Choquet-capacity}{projection} $E_{n+1} \in \F \otimes \borel{\R_+}$.

Zauważmy, że $\pi(F_n) \cap \pi(E_{n+1}) = \emptyset$ oraz $\pi(E_{n+1}) \cup \pi(F_n) = \pi(E_n)$. Wynika stąd, że dla $n \ne m$ zachodzi $\pi(F_n) \cap \pi(F_m) = \emptyset$, a więc:
\[
F = \bigcup_{n \in \N^*} F_n \in \Phi ,
\]
oraz:
\[
\pi(F) = \bigcup_{n \in \N^*} \pi(F_n) =
\bigcup_{n \in \N^*} \pi(E_n) \setminus \pi(E_{n+1}) =
\pi(E) \setminus \bigcap_{n \in \N^*} E_n.
\]
Stąd:
\[
\pr(\pi(E)) - \pr(\pi(F)) = \lim_{n \rightarrow \infty} \pr(E_{n+1}) =
\lim_{n \rightarrow \infty} (\nu(E_n) - \nu(F_n)) = 0
\]
(mierzalność wszystkich zbiorów w powyższej równości wynika z \blockref{Choquet-capacity}{projection}). Ponadto wobec $F_n \subset E_n$ zachodzi $F \subset E$.

Określmy $f : \pi(E) \rightarrow \R_+$ wzorem $f(\omega) = \D_F(\omega)$ dla $\omega \in \pi(F)$ oraz tak, by $f(\omega) \in E_\omega$ dla $\omega \in \pi(E) \setminus \pi(E)$. Na mocy twierdzenia \blockref{graphs}{debut} i wobec zupełności przestrzeni $(\Omega, \F, \pr)$, funkcja $f$ jest mierzalna. Ponadto jej wykres jest zawarty w $E$ (bo wykres $\D_F$ jest zawarty w $F$). Teza wynika z twierdzenia \blockref{graphs}{graph}.
\end{proof}
\end{block}

% ------------------------------  o  ------------------------------

\end{document}
