\documentclass[a4paper,draft]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}

% nawiasy
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\scalar}[1]{\left< #1 \right>}

% litery
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\Rd}{{\R^d}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\pr}{\mathbf{P}}
\newcommand{\ex}{\mathbf{E}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}


\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\presubset}{{\Subset}}

% operacje
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\bd}[1]{\partial #1}

% słowa
\newcommand{\problem}[1]{\smallskip\noindent\hspace{.05\textwidth}\parbox{.9\textwidth}{\noindent\textbf{#1}}\smallskip}
\newcommand{\sketch}{\noindent \textsc{Szkic dowodu: }}
\newcommand{\proof}{\noindent \textsc{Dowód: }}
\newcommand{\proofof}[1]{\noindent \textsc{Dowód #1: }}
\newcommand{\qed}{ \ensuremath{\hspace{10pt}\square}}

% twierdzenia
\newcounter{block}
\newenvironment{block}[1]
  {\smallskip\noindent\refstepcounter{block}{\bf\arabic{block}. #1.} }
  {\smallskip}

% operatory
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}

%
%                            ---------- o ----------
%

\begin{document}
\sloppy

%
%                            ---------- o ----------
%

\author{mateusz.kwasnicki@pwr.wroc.pl}
\title{Otwarte pytania}
\date{}
\maketitle

\begin{block}{Trójkąty na kracie}
Jeśli trójkąt ma wierzchołki w punktach kratowych (tzn. w punktach o obu współrzędnych całkowitych) płaszczyzny, to oczywiście jego pole powierzchni jest wielokrotnością $\frac{1}{2}$. Jeśli dodatkowo założymy, że ma boki o długościach całkowitych, to ze wzoru Herona wynik, żejego pole powierzchni jest liczbą całkowitą. Powstaje następujące pytanie.

\problem{Dany jest trójkąt, którego boki mają długości całkowite i którego pole powierzchni jest liczbą całkowitą. Czy wówczas ten trójkąt jest przystający do pewnego trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych?}

Odpowiedź w przypadku trójkątów o bokach krótszych niż 1000 jest twierdząca. Bezpośrednim rachunkiem można udowodnić, że dla każdej trójki boków $a, b, c$ spełniającej warunek całkowitego pola, trójkąt o bokach $2a^2, 2ab, 2ac$ (a więc $2a$-krotnie powiększony) można ułożyć na płaszczyźnie tak, by wierzchołki były w punktach kratowych, zaś bok długości $2a^2$ był poziomy. Łatwo jednak sprawdzić, że np. trójkąt o bokach długości $5, 29, 30$ może zostać umieszczony tak, by wierzchołki znajdowały się w punktach kratowych, lecz wówczas żaden bok nie może być poziomy ani pionowy.
\end{block}

\hrule

\medskip

Rozwiązane(?)

\begin{block}{Powracające błądzenie}
Niech $D$ będzie podzbiorem kraty $\Z^d$. Rozważamy błądzenie losowe $(X_n)$ na tym pozdbiorze, w którym w każdym kroku cząstka znadująca się w $x \in D$ może z jednakowym prawdopodobieństwem pozostać w miejscu, w którym się znajduje, lub wykonać jeden spośród $2d$ ruchów w kierunku najbliższych sąsiadów. Jeśli $y$ jest najbliższym sąsiadem $x$ w $\Z^d$, lecz $y \notin D$, to cząstka znajdująca się w $x$ i wykonująca ruch w kierunku $y$ pozostaje w $x$ (zwiększa się wówczas prawdopodobieństwo pozostania cząstki w miejscu).

Wszystkich możliwych ścieżek długości $n$ zawartych w $D$ i rozpoczynających się w $x \in D$ jest więc $(2d+1)^n$ (zwróćmy uwagę, że niektóre ścieżki liczymy wielokrotnie). Niech $p(n, x, y, D)$ oznacza liczbę takich ścieżek, które zaczynają się w $x$ i kończą się w $y$. Zachodzi zatem $p(n, x, y, D) = (2d+1)^n \pr(X_0 = x, X_n = y)$.

\problem{Czy jeśli $D' \sub D$, to dla wszystkich $x \in D'$ zachodzi $p(n, x, x, D') \ge p(n, x, x, D)$?}

W przypadku gdy punkt początkowy i końcowy są różne, oczywiście taka nierówność nie zachodzi (może się wręcz zdarzyć, że w $D'$ nie ma ścieżek między $x$ i $y$, mimo że można te punkty połączyć w $D$).

\smallskip

{\scriptsize Odpowiedź na tak postawione pytanie jest przecząca. Jeśli $D = \set{1, 2, 3, 4, 5}^2$ i $D' = D \setminus \set{(3, 1)}$, to $p(n, x, x, D') < p(n, x, x, D)$ dla $n = 15$ i $x = (3, 2)$. Może można jakoś wzmocnić założenia o $D$ i $D'$?}
\end{block}

%
%                            ---------- o ----------
%

\end{document}
