\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}
\usepackage[polish]{babel}

\sloppy

% ----- o ----- %

\begin{document}

% ----- o ----- %

\noindent\textbf{Nierówność Ptolemeusza}:
Niech $H$ -- przestrzeń unitarna, $a, b, c, d \in H$. Wówczas:
\[
\| a - c \| \| b - d \| \le \| a - b \| \| c - d \| + \| a - d \| \| b - c \|.
\]

\noindent\textbf{Lemat}:
Dla $u, v \in H$, $u, v \neq 0$ zachodzi 
\[
\| u - v \| = \left \| \frac{\|v\|}{\|u\|} u - \frac{\|u\|}{\|v\|} v \right \|.
\]

\noindent\textbf{Dowód lematu}: Wyliczamy:
\[
\begin{split}
\left \| \frac{\|v\|}{\|u\|} u - \frac{\|u\|}{\|v\|} v \right \| ^2 & =
\left \| \frac{\|v\|}{\|u\|} u \right \| ^2 + \left \| \frac{\|u\|}{\|v\|} v \right \| ^2
  - 2 \Re \left < \frac{\|v\|}{\|u\|} u , \frac{\|u\|}{\|v\|} v \right > = \\
& =
\| v \|^2 + \| u \|^2 - 2 \Re \left < u , v \right > = \| u - v \| ^2.
\end{split}
\]

\noindent\textbf{Dowód nierówności}: Niech $x = c - a$, $y = b - a$, $z = d - a$. Chcemy pokazać, że:
\[
\| x \| \| y - z \| \le \| y \| \| x - z \| + \| z \| \| x - y \|.
\]
Gdy $x = 0$, lewa strona nierówności jest zerem, a prawa nieujemna. Gdy $y = 0$ lub $z = 0$, obie strony są identyczne. Gdy $x, y, z$ są niezerowe, to na mocy lematu:
\[
\begin{split}
\| y \| & \| x - z \| + \| z \| \| x - y \| = \\
& =
\| y \| \left \| \frac{\|z\|}{\|x\|} x - \frac{\|x\|}{\|z\|} z \right \|
  + \| z \| \left \| \frac{\|y\|}{\|x\|} x - \frac{\|x\|}{\|y\|} y \right \| = \\
& =
\left \| \frac{\|y\| \|z\|}{\|x\|} x - \frac{\|x\| \|y\|}{\|z\|} z \right \|
  + \left \| \frac{\|y\| \|z\|}{\|x\|} x - \frac{\|x\| \|z\|}{\|y\|} y \right \| \ge \\
& \ge
\left \| \frac{\|x\| \|z\|}{\|y\|} y - \frac{\|x\| \|y\|}{\|z\|} z \right \| = \\
& =
\| x \| \left \| \frac{\|z\|}{\|y\|} y - \frac{\|y\|}{\|z\|} z \right \| = \\
& =
\| x \| \| y - z \|.
\end{split}
\]

% ----- o ----- %

\end{document}
