\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[polish]{babel}

%                            ---------- o ----------

% ciąg
\newcommand{\seq}[1]{\ensuremath{\left< #1 \right>}}
% grupa generowana
\newcommand{\gengr}[1]{\ensuremath{\left( #1 \right)}}
% zbiór
\newcommand{\set}[1]{\ensuremath{\left\{ #1 \right\}}}
% moduł
\newcommand{\abs}[1]{\ensuremath{\left| #1 \right|}}
% warstwa
\newcommand{\coset}[1]{\ensuremath{\left[ #1 \right]}}
% podłoga i sufit
\newcommand{\floor}[1]{\ensuremath{\left\lfloor #1 \right\rfloor}}
\newcommand{\ceil}[1]{\ensuremath{\left\lceil #1 \right\rceil}}
% odwrotność
\newcommand{\inv}{\ensuremath{^{-1}}}
% homomorfizm
\newcommand{\morphism}[3][\varphi]{\ensuremath{#1 : #2 \rightarrow #3}}
% odometr o bazie p_n
\newcommand{\odo}[1][p_n]{\ensuremath{\mathrm{\Delta}_{\seq{#1}}}}
% ustalone zbiory
\newcommand{\field}[1]{\ensuremath{\mathbb{#1}}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\N}{\field{N}}
\newcommand{\Primes}{\field{P}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\R}{\field{R}}
\newcommand{\T}{\field{T}}
\newcommand{\Z}{\field{Z}}

%operatory matematyczne
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\NWD}{NWD}

% twierdzenia, definicje etc.
\newcounter{blok}
\newcommand{\tlfdwncp}[2]{
  \newenvironment{#1}{\refstepcounter{blok} \medskip \noindent \textbf{#2 \arabic{blok}.}}{\medskip}
}
\tlfdwncp{twierdzenie}{Twierdzenie}
\tlfdwncp{lemat}{Lemat}
\tlfdwncp{fakt}{Fakt}
\tlfdwncp{definicja}{Definicja}
\tlfdwncp{wniosek}{Wniosek}
\tlfdwncp{cwiczenie}{Ćwiczenie}
\tlfdwncp{przyklad}{Przykład}
\newenvironment{dowod}[1][\hspace{-5pt}]{\par\noindent\textbf{Dowód #1: }}{\medskip}
\newcommand{\wskazowka}[1]{\par \noindent Wskazówka: #1}
\newcommand{\theoremname}[1]{\textsc{#1}.}

%                            ---------- o ----------

\begin{document}
\sloppy

\title{Grupy: torus i odometr \\ {\small Na podstawie wykładu prof. T. Downarowicza}}
\author{Mateusz Kwaśnicki}
\maketitle


%                            ---------- o ----------

Rozdział ten ma na celu przypomnienie pojęcia grupy i jej podstawowych własności oraz omówienie dwóch ważnych przykładów: torusa i odometru.

%                            ---------- o ----------

\section{Definicje}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Trójkę \seq{G, e, m}, gdzie $G$ jest niepustym zbiorem, $e \in G$ oraz \morphism[m]{G \times G}{G} (najczęściej zamiast $m(a, b)$ piszemy $a \cdot b$ lub po prostu $a b$) nazywamy \emph{grupą}, jeśli spełnione są następujące warunki:
\begin{subequations}
\label{eq:grupa}
\begin{gather}
  a(b c) = (a b)c \quad \text{ dla wszystkich $a, b, c \in G$}, \\
  e a = a \quad \text{ dla wszystkich $a \in G$}, \label{eq:grupa:jednosc} \\
  \text{dla każdego $a \in G$ istnieje $a\inv \in G$ takie, że } a\inv a = e. \label{eq:grupa:odwrotnosc}
\end{gather}
Element $a\inv$ nazywamy \emph{odwrotnością} elementu $a$. Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek:
\begin{equation}
  a b = b a \quad \text{ dla wszystkich $a, b \in G$},
\end{equation}
\end{subequations}
to grupę nazywamy \emph{przemienną} lub \emph{abelową}.
\end{definicja}

Gdy z kontekstu wynika, jakie działanie mamy na myśli, mówimy po prostu ,,$G$ jest grupą''. Jeśli mamy do czynienia z wieloma grupami, czasem dla jasności element neutralny grupy $G$ oznaczamy $e_G$. W przypadku grup przemiennych najczęściej stosujemy notację addytywną: zamiast $m(a, b)$ oraz $a\inv$ piszemy $a + b$ oraz $-a$.

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad} \label{prz:grupy}
Grupami przemiennymi są:
\begin{itemize}
\item
Zbiory $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$ liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych z dodawaniem jako działaniem grupowym. Elementem neutralnym jest $0$.
\item
Przestrzeń $\R^n$ wektorów $n$-wymiarowych z dodawaniem wektorów jako działaniem.
\item
Zbiory $\Q^*$, $\R^*$, $\C^*$ (względnie $\Q_+$, $\R_+$) liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych różnych od zera (względnie dodatnich) z działaniem mnożenia i elementem neutralnym 1.
\end{itemize}
Gdy $a, b, p$ są liczbami całkowitymi i $p > 0$, to oznaczmy przez $a +_p b$ resztę z dzielenia $a + b$ przez $p$ oraz przez $a \cdot_p b$ resztę z dzielenia $a \cdot b$ przez $p$. Działania $+_p$ oraz $\cdot_p$ nazywamy dodawaniem i mnożeniem modulo $p$. Wówczas:
\begin{itemize}
\item
Zbiór $\Z_p = \set{0, 1, 2, \dots, p - 1}$ z dodawaniem modulo $p$ i elementem neutralnym $0$ jest grupą przemienną.
\item
Zbiór $\Z_p^* = \set{k \in \Z_p : \NWD(k, p) = 1}$ z mnożeniem modulo $p$ i elementem neutralnym $1$ jest grupą przemienną.
\end{itemize}
Grupami nieprzemiennymi są:
\begin{itemize}
\item
Zbiór $S_A$ permutacji zbioru $A$ (tj. różnowartościowych odwzorowań zbioru $A$ na zbiór $A$) z operacją składania i odwzorowaniem identycznościowym jako elementem neutralnym. Grupa ta jest nieprzemienna jeśli tylko $A$ ma co najmniej trzy elementy. Gdy $A = \set{0, 1, 2, \dots, n-1}$, to piszemy $S_A = S_n$. Oczywiście $A$ może być zbiorem nieskończonym (np. odcinkiem $[0, 1]$).
\item
Zbiór $GL_n(\R)$ macierzy rzeczywistych $n \times n$ nieosobliwych z mnożeniem macierzy (ang. general linear group).
\item
Zbiór $SL_n(\R)$ macierzy rzeczywistych $n \times n$ o wyznaczniku $1$ z mnożeniem macierzy (ang. special linear group).
\end{itemize}
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

Zwykle zakłada się nieco mocniejsze wersje aksjomatów grupy \eqref{eq:grupa}. Nasza definicja jest jednak tylko pozornie uboższa od tej powszechnie stosowanej. Dowód tego faktu pozostawiamy jako ćwiczenie.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Udowodnić, że jeśli $G$ jest grupą, zaś $a \in G$, to:
\begin{gather}
  \text{Jeśli } a a = a \text{, to } a = e, \label{eq:charakteryzacjajednosci} \\
  a\inv a = a a\inv = e,\notag \\
  e a = a e = a, \notag \\
  \left( a\inv \right) \inv = a. \notag
\end{gather}
Wykazać również, że $e$ jest jedynym elementem mającym własność \eqref{eq:grupa:jednosc}, zaś $a\inv$ jest jedynym elementem mającym własność \eqref{eq:grupa:odwrotnosc}.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech $G$ będzie grupą, $a \in G$. Definiujemy:
\begin{gather*}
a^0 = e, \\
a^{n+1} = a a^n \quad \text{ dla } n \ge 0, \\
a^{-n} = \left( a^n \right) \inv \quad \text{ dla } n > 0.
\end{gather*}
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Warto zauważyć, że $a\inv$ ma teraz dwa znaczenia: element odwrotny dany przez \eqref{eq:grupa:odwrotnosc} oraz $(-1)$-sza potęga zdefiniowana w powyższym ćwiczeniu; obie definicje są jednak zgodne.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Sprawdzić (metodą indukcji matematycznej), że zachodzą wzory:
\begin{gather*}
a^{m+n} = a^m a^n, \\
a^{m n} = \left( a^m \right) ^n, \\
\text{jeśli $G$ jest przemienna, to } \left( a b \right) ^n = a^n b^n
\end{gather*}
dla wszystkich $a, b \in G$, $m, n \in Z$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Gdy grupa jest przemienna i stosujemy notację addytywną, piszemy $n a$ zamiast $a^n$. Może to prowadzić do dwuznaczności, gdy elementami grupy są liczby: $2 a$ może wtedy oznaczać bądź zwykły iloczyn liczb, bądź drugą potęgę $a$ w grupie, czyli $a +_G a$. Będziemy unikać stosowania takiego zapisu w drugim przypadku.

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Podzbiór $H$ grupy $G$ nazywamy \emph{podgrupą}, co zapisujemy $H < G$, jeśli $H$ z działaniem odziedziczonym z $G$ jest grupą.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Formalnie powinniśmy napisać: trójkę \seq{H, e_H, m_H} nazywamy podgrupą grupy \seq{G, e_G, m_G}, jeśli $H \subset G$ oraz $m_H(a, b) = m_G(a, b)$ dla wszystkich $a, b \in H$.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:jednoscpodgrupy}
Udowodnić, że jeśli \seq{H, e_H, m_H} jest podgrupą \seq{G, e_G, m_G}, to $e_H = e_G$.
\wskazowka{Skorzystać ze wzoru \eqref{eq:charakteryzacjajednosci}.}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad}
Niektóre grupy z przykładu \ref{prz:grupy} są podgrupami innych:
\begin{gather*}
\Z < \Q < \R < \C, \\
\Q^* < \R^* < \C^*, \\
\Q_+ < \R_+, \\
\Q_+ < \Q^*, \quad \R_+ < \R^*, \\
SL_n(\R) < GL_n(\R).
\end{gather*}
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Udowodnić, że niepusty pozdbiór $H$ grupy $G$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy $a b\inv \in G$ dla wszystkich $a, b \in H$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Jeśli zatem mamy udowodnić, że jakiś podzbiór znanej nam grupy (liczb, macierzy etc.) jest podgrupą, to wystarczy sprawdzić jeden warunek z powyższego ćwiczenia.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Niech \set{H_\alpha : \alpha \in A} będzie niepustą rodziną podgrup grupy $G$. Wykazać, że $\bigcap_{\alpha \in A} H_\alpha$ jest podgrupą grupy $G$. Wywnioskować stąd, że dla dowolnego podzbioru $A \subset G$ istnieje najmniejsza (w sensie relacji zawierania) podgrupa $G$ zawierająca $A$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Taką podgrupę nazywamy \emph{podgrupą generowaną} przez $A$ i oznaczamy $\gengr{A}$. Jeśli $G = \gengr{A}$, to zbiór $A$ nazywamy \emph{zbiorem generatorów} grupy $G$. Jeśli $A$ jest zbiorem jednoelementowym, to $G$ nazywamy \emph{grupą cykliczną}. 

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Udowodnić, że jeżeli $A$ jest niepustym zbiorem generatorów $G$, to:
\begin{equation*}
G = \set{a_1 a_2 \dots a_n : n \in \Z_+, a_i \in A \text{ lub } a_i\inv \in A \text{ dla } i = 1, 2, \dots, n}.
\end{equation*}
W szczególności gdy $G = \gengr{\set{a}}$ jest grupą cykliczną, to:
\begin{equation*}
G = \set{a^n : n \in \Z}.
\end{equation*}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Ostatnie stwierdzenie często przyjmuje się za definicję grupy cyklicznej. Nieskończoną grupę cykliczną nazywamy \emph{grupą wolną}.

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
\emph{Rzędem grupy} $G$ nazywamy liczbę elementów $G$ i oznaczamy go $\abs{G}$. \emph{Rzędem elementu} $a \in G$ nazywamy rząd podgrupy cyklicznej generowanej przez $a$. Jeśli jest to grupa wolna, to element $a$ także nazywamy wolnym.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Wprowadzimy teraz wiele ważnych typów odwzorowań grupy w grupę.

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech $G$, $H$ będą grupami. Odwzorowanie \morphism{G}{H} nazywamy \emph{homomorfizmem}, jeśli
\begin{equation}
\varphi(a b) = \varphi(a) \varphi(b) \label{eq:homomorphism}
\end{equation}
dla wszystkich $a, b \in G$. Wyróżniamy wiele typów homomorfizmów:
\begin{itemize}
\item
Jeśli $\varphi(G) = H$, to $\varphi$ nazywamy \emph{faktoryzacją}, grupę $H$ \emph{faktorem} grupy $G$, a grupę $G$ \emph{rozszerzeniem} grupy $H$.
\item
Różnowartościowy homomorfizm nazywamy \emph{zanurzeniem}.
\item
Odwracalny homomorfizm nazywamy \emph{izomorfizmem}, a dwie grupy, między którymi istnieje izomorfizm -- \emph{grupami izomorficznymi}.
\item
Homomorfizm \morphism{G}{G} nazywamy \emph{endomorfizmem} grupy $G$, zaś izomorfizm \morphism{G}{G} nazywamy \emph{automorfizmem} grupy $G$.
\end{itemize}

Zbiór $\ker \varphi = \set{a \in G : \varphi(a) = e}$ nazywamy \emph{jądrem} homomorfizmu $\varphi$.

Jeśli dla wszystkich faktoryzacji \morphism[\varphi, \psi]{G}{H} zachodzi $\ker \varphi = \ker \psi$, to grupę $H$ nazywamy \emph{faktorem kanonicznym} grupy $G$.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Zbiór wszystkich endomorfizmów grupy $G$ wraz z operacją składania jest grupą oznaczaną $\End G$. Podobnie automorfizmy tworzą grupę ze składaniem, oznaczaną $\Aut G$; jest to oczywiście podgrupa grupy endomorfizmów.

Dodajmy, że w równości \eqref{eq:homomorphism} pierwsze mnożenie jest działaniem w $G$, a drugie w $H$. Równanie to można by też zapisać w formalnie poprawniejszej, lecz dużo mniej czytelnej postaci:
\begin{equation*}
\varphi(m_G(a, b)) = m_H(\varphi(a), \varphi(b)).
\end{equation*}

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad}
Homomorfizmami są następujące odwzorowania:
\begin{itemize}
\item
\morphism{\Z}{\Z_p}, gdzie $\varphi(n)$ jest resztą z dzielenia $n$ przez $p$. Jest to faktoryzacja kanoniczna o jądrze $\ker \varphi = \set{p n : n \in \Z} = p \Z$.
\item
\morphism{\R^2}{\R} dany wzorem $\varphi(x, y) = x$. Nie jest to faktoryzacja kanoniczna, ponieważ \morphism[\psi]{\R^2}{\R} określony przez $\psi(x, y) = y$ jest również faktoryzacją, ale $\ker \varphi \neq \ker \psi$.
\item
\morphism{SL_n(\R)}{GL_n(\R)} dany wzorem $\varphi(M) = M$; $\varphi$ jest zanurzeniem.
\item
\morphism{\R^*}{\R^*} dany wzorem $\varphi(x) = \abs{x}$; tak określony $\varphi$ nie jest ani faktoryzacją, ani zanurzeniem, ani automorfizmem, ale jest endomorfizmem; $\ker \varphi = \set{x \in R : \abs{x} = 1} = \set{-1, 1}$.
\end{itemize}
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:homomorfizm}
Niech \morphism{G}{H} będzie homomorfizmem. Wykazać, że:
\begin{enumerate}
\item
$f(e)$ jest jednością w $H$ oraz $f(a\inv) = (f(a))\inv$.
\wskazowka{Porównaj z zadaniem \ref{cw:jednoscpodgrupy}.}
\item
$\varphi$ jest różnowartościowy (tzn. jest zanurzeniem) wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker \varphi = \set{e}$.
\item
$\ker \varphi$ jest podgrupą grupy $G$, a $\varphi(G)$ jest podgrupą grupy $H$.
\end{enumerate}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Poniższe ćwiczenie zawiera charakteryzację grup cyklicznych.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:cykliczne}
Załóżmy, że $G$ jest grupą cykliczną generowaną przez \set{a}. Udowodnić, że:
\begin{itemize}
\item
$G$ jest izomorficzne z jedną z grup $\Z$, $\Z_p$ ($p = 1, 2, 3, \dots$).
\item
Jeśli grupa $H$ jest faktorem grupy $G$, to $H$ jest cykliczna. Jeśli $G$ jest grupą skończoną, to rząd grupy $H$ jest dzielnikiem rzędu grupy $G$.
\item
Każda podgrupa $H$ grupy $G$ jest cykliczna. Jeśli $G$ jest grupą skończoną, to rząd grupy $H$ jest dzielnikiem rzędu grupy $G$. Jeśli $G$ jest grupą wolną (ma rząd nieskończony), to także $H$ jest grupą wolną.
\end{itemize}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Faktoryzacje kanoniczne w grupę cykliczną skończoną mają ciekawą i ważną charakteryzację:

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:kanonicznafaktoryzacja}
Niech $p$ będzie liczbą naturalną oraz niech \morphism{G}{\Z_p} będzie homomorfizmem. Udowodnić, że:
\begin{enumerate}
\item
$\ker \varphi \supset \set{a^p : a \in G}$.
\item
Jeśli $\varphi$ jest faktoryzacją oraz $\ker \varphi \subset \set{a^p : a \in G}$, to $\varphi$ jest faktoryzacją kanoniczną.
\end{enumerate}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Przyjmijmy następujące oznaczenie: jeśli $G$ jest grupą, $g \in G$ oraz $A, B \subset G$, to $g A = \set{g a : a \in A}$, $A g = \set{a g : a \in A}$, $A B = \set {a b : a \in A, b \in B}$.

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech $H$ będzie podgrupą $G$ oraz niech $g \in G$. Zbiór $g H$ nazywamy \emph{warstwą lewostronną} elementu $g$; podobnie $H g$ nazywamy \emph{warstwą prawostronną} $g$.

Liczbę różnych warstw lewostronnych $g H$ ($g \in G$) nazywamy \emph{indeksem} podgrupy $H$ w grupie $G$ i oznaczamy $(G : H)$.

Jeśli dla każdego $g \in G$ zachodzi $g H = H g$, to podgrupę $H$ nazywamy \emph{podgrupą normalną} lub \emph{dzielnikiem normalnym}, co zapisujemy $H \triangleleft G$.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Oczywiście każda podgrupa grupy przemiennej jest podgrupą normalną. Kilka innych podstawowych własności wyżej wprowadzonych pojęć zawartych jest w następującym ćwiczeniu.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:rzad}
Niech $H < G$. Pokazać, że:
\begin{enumerate}
\item
Jeśli $g_1, g_2 \in G$, to warstwy $g_1 H$ oraz $g_2 H$ są albo rozłączne, albo równe. Podobnie warstwy $H g_1$ i $H g_2$ jeśli są różne, to są rozłączne.
\item
Liczba warstw lewostronnych jest równa liczbie liczbie warstw prawostronnych.
\item
Zachodzi \emph{twierdzenie Lagrange'a}: $\abs{G} = \abs{H} \cdot (G : H)$ (porównaj z ćwiczeniem \ref{cw:cykliczne}).
\item
Jeśli $G$ jest rzędu skończonego, to rząd każdej podgrupy grupy $G$ oraz rząd każdego elementu $g \in G$ są dzielnikami $\abs{G}$.
\item
Jeśli rząd elementu $g \in G$ jest skończony, to jest to najmniejsza liczba naturalna $n$ taka, że $g^n = e$.
\item
Podgrupa $H$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $g \in G$ zachodzi $g H g\inv \subset H$.
\item
Jądro każdego homomorfizmu jest podgrupą normalną (porównaj z ćwiczeniem \ref{cw:homomorfizm}).
\end{enumerate}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad} \label{prz:nienormalny}
Pokażemy, że nie wszystkie podgrupy są normalne. W tym celu rozważmy grupę $S_3$ permutacji zbioru \set{0, 1, 2}. Przez \seq{k_0, k_1, k_2} rozumiemy przekształcenie przyporządkowujące liczbie $i$ liczbę $k_i$. Niech $H = \set{\seq{0, 1, 2}, \seq{0, 2, 1}}$. Wówczas $H$ jest podgrupą $S_3$. Sa trzy warstwy lewostronne względem $H$: $H$, \set{\seq{1, 2, 0}, \seq{1, 0, 2}} oraz \set{\seq{2, 0, 1}, \seq{2, 1, 0}}; są też trzy warstwy prawostronne: $H$, \set{\seq{1, 2, 0}, \seq{2, 1, 0}} i \set{\seq{2, 0, 1}, \seq{1, 0, 2}}. Jak widać, $H$ nie jest podgrupą normalną $G$.
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

Twierdzenie \ref{tw:ilorazowa} ukazuje kluczową własność podgrup normalnych i zarazem wyjaśnia pochodzenie nazwy \textit{dzielnik normalny}.

Iloczyn kartezjański jest w wielu teoriach narzędziem do tworzenia bardziej złożonych i bogatszych struktur. Tak jest również w teorii grup.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Załóżmy, że $H_1, H_2$ są podgrupami normalnymi grupy $G$. Mówimy, że $G$ jest \emph{produktem prostym} podgrup $H_1$, $H_2$, jeśli $H_1 H_2 = G$ oraz $H_1 \cap H_2 = \set{e}$.

Niech $G_1, G_2$ będą dowolnymi grupami. Definiujemy \emph{produkt prosty} grup $G_1$, $G_2$ jako grupę $G_1 \times G_2$ z działaniem $\seq{h_1, h_2} \cdot \seq{h_1', h_2'} = \seq{h_1 h_1', h_2 h_2'}$.

Jaki jest związek między tymi definicjami?

\wskazowka{Udowodnić, że jeśli $g_1 \in G_1$, $g_2 \in G_2$, to $g_1 g_2 = g_2 g_1$.}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\section{Podstawowe twierdzenia}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:ilorazowa}
Niech $H$ będzie podgrupą normalną grupy $G$. Wówczas zbiór warstw $\set{a H : a \in G}$ z działaniem określonym wzorem:
\begin{equation}
( a H ) \cdot ( b H ) = (a b) H \label{eq:ilorazowa}
\end{equation}
jest grupą.
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Jeśli $H$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$, to grupę warstw elementów $G$ względem $H$ z działaniem określonym wzorem \eqref{eq:ilorazowa} nazywamy \emph{grupą ilorazową} i oznaczamy symbolem $G / H$.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}[twierdzenia]
Musimy udowodnić, że wzór \eqref{eq:ilorazowa} prawidłowo określa działanie i że jest to działanie grupowe.

Weźmy $a' \in a H$, $b ' \in b H$. Zatem $a' = a h_1$, $b' = b h_2$ dla pewnych $h_1, h_2 \in H$. Ze względu na to, że $H$ jest podgrupą normalną, zachodzi $H b = b H$, a więc $h_1 b = b h_3$ dla pewnego $h_3 \in H$. Zatem:
\begin{equation*}
(a' b') H = (a h_1 b h_2) H = (a b h_3 h_2) H = (a b) (h_3 h_2 H) = (a b) H.
\end{equation*}
Oznacza to, że jeśli $a H = a' H$ i $b H = b' H$, to $( a H ) \cdot ( b H ) = ( a' H ) \cdot ( b' H )$.

Ponadto działanie określone wzorem \eqref{eq:ilorazowa} spełnia aksjomaty \eqref{eq:grupa}, bowiem:
\begin{gather*}
(a H) ( (b H) (c H) ) = (a(b c)) H = ((a b)c) H = ( (a H) (b H) ) (c H), \\
(e H) (a H) = (e a) H = a H, \\
(a\inv H) (a H) = (a\inv a) H = e H, \text{ a więc } (a H)\inv = a\inv H.
\end{gather*}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Śledząc uważniej powyższy dowód można zauważyć, że gdy podgrupa $H$ nie jest normalna, to wzór \eqref{eq:ilorazowa} nie określa jednoznacznie mnożenia na warstwach.

Jeśli określimy relację $R$ na $G$ poprzez: $a R b \Leftrightarrow a\inv b \in H$, to warstwa $a H$ elementu $a \in G$ jest klasą równoważności \coset{a} elementu $a$ względem relacji $R$. Pokazaliśmy, że jeśli $a R a'$ oraz $b R b'$ (czyli $a H = a' H$ oraz $b H = b' H$), to $a b R a' b'$. Tę własność nazywa się zgodnością relacji $R$ z mnożeniem. Wynika z niej, że $\coset{a} \coset{b} = \coset{a b}$ dla wszystkich $a, b \in G$. W związku z tym często zamiast $a H$ pisze się \coset{a}.

Przyporządkowanie elementowi $a \in G$ jego warstwy $\coset{a} \in G / H$ nazywane jest kanonicznym homomorfizmem grupy $G$ w grupę ilorazową $G / H$. Będziemy je oznaczali literą $\kappa$.

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \theoremname{o izomorfizmie}
Niech $G$, $H$ będą grupami, zaś \morphism{G}{H} homomorfizmem. Oznaczmy $K = \ker \varphi$. Wówczas grupa ilorazowa $G / K$ jest izomorficzna z $\varphi(G)$. Ponadto izomorfizm może zostać wybrany kanonicznie w następującym sensie: istnieje izomorfizm \morphism[\psi]{G / K}{H} taki, że $\psi \circ \kappa = \varphi$.
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Określamy $\psi(\coset{a}) = \varphi(a)$. Musimy pokazać, że $\psi$ jest poprawnie określone, tzn. wartość $\varphi$ na wszystkich elementach warstwy jest taka sama, oraz że $\psi$ jest izomorfizmem.

Jeśli $\coset{a} = \coset{b}$, to $a = b k$ dla pewnego $k \in K = \ker \varphi$ i $\varphi(a) = \varphi(a) \varphi(k) = \varphi(a k) = \varphi(b)$. To dowodzi poprawności określenia $\psi$.

Odwzorowanie $\psi$ jest homomorfizmem, bo $\psi(\coset{a} \coset{b}) = \psi(\coset{a b}) = \varphi(a b) = \varphi(a) \varphi(b) = \psi(\coset{a}) \psi(\coset{b})$. Ponadto $\psi(G / K) = \varphi(G)$, więc $\psi$ jest ,,na''. Jeśli $\psi(\coset{a}) = \psi(\coset{b})$, to $\varphi(a) = \varphi(b)$, czyli $\varphi(a\inv b) = e$. Stąd $a\inv b \in K$, a więc $b \in a K$, czyli $\coset{a} = \coset{b}$, co dowodzi różnowartościowości $\psi$. Zatem $\psi$ jest izomorfizmem.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad}
Niech $p$ będzie dodatnią liczbą całkowitą. Dla $n \in \Z$ niech $\varphi(n)$ będzie resztą z dzielenia $n$ przez $p$. Wówczas \morphism{\Z}{\Z_p} jest jest faktoryzacją o jądrze $\ker \varphi = \set{p n : n \in \Z} = p Z$. Na mocy twierdzenia o izomorfizmie grupy $\Z / p \Z$ oraz $\Z_p$ są izomorficzne.
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Z twierdzenia Lagrange'a (cwiczenie \ref{cw:rzad}) oraz twierdzenia o izomorfizmie wywnioskować, że jeśli grupa $H$ jest faktorem grupy $G$ rzędu skończonego, to rząd $H$ jest dzielnikiem rzędu $G$ (porównaj z ćwiczeniem \ref{cw:cykliczne}).
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\section{Grupa torusa}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Grupę ilorazową $\T = \R / \Z$ nazywamy \emph{torusem} lub \emph{grupą torusa}.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Torus jest izomorficzny z grupą $G = [0, 1)$ z dodawaniem modulo 1 (tzn. $a +_1 b = a + b - \floor{a + b}$). Izomorfizmem jest przyporządkowanie $G \ni x \mapsto \coset{x} \in \R / \Z$.

Grupa torusa jest także izomorficzna z podgrupą $H = \set{z \in \C^* : \abs{z} = 1}$ grupy $\C^*$ niezerowych liczb zespolonych z mnożeniem. Istotnie, izomorfizm między $G$ i $H$ jest ustalony przez przyporządkowanie $G \ni x \mapsto e^{2 \pi i x} \in H$. Zbiór $H$ jest okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej, a okrąg czasem nazywa się jednowymiarowym torusem -- stąd pochodzi nazwa.

W praktyce będziemy utożsamiać trzy wyżej wprowadzonye grupy i określali je wspólnie mianem torusa $\T$. W szczególności będziemy mówili $x \in \T$ oraz $z \in \T$, gdy $x \in [0, 1)$ oraz $z \in \C$, $\abs{z} = 1$.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Pokazać, że torus posiada podgrupy izomorficzne z $\Z_p$ ($p \ge 2$), $\Z$, $\Q$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Udowodnić, że grupa $\Z$ nie jest faktorem torusa. Podobnie, żadna z grup $\Z_p$ ($p \ge 2$) nie jest faktorem torusa.
\wskazowka{Dla wszystkich $a \in \Z$ zachodzi $a + a \neq 1$. Znaleźć analogiczną własność $\Z_p$.}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Sklasyfikować skończone podgrupy torusa.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\section{Granica wsteczna i odometr}

%                            ---------- o ----------

Pojęcie granicy wstecznej ciągu grup posłuży nam do zdefiniowania odometru.

Przyjmijmy następującą umowę: \seq{a_n} oznacza ciąg \seq{a_1, a_2, \dots}. Gdy $\varphi$ jest odwzorowaniem określonym na zbiorze ciągów, to zamiast $\varphi(\seq{a_n})$ będziemy pisać $\varphi \seq{a_n}$, by uniknąć zbędnego zagnieżdżania nawiasów.
%%% Zostawić ''zagniezdzanie''?

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech \seq{G_n} będzie ciągiem grup, a \morphism[\varphi_n]{G_{n+1}}{G_n} ($n = 1, 2, 3, \dots$) ciągiem homomorfizmów. Niech $G = G_1 \times G_2 \times \dots$. W zbiorze $G$ definiujemy działanie ,,po osiach'', tzn. dla $\seq{a_n}, \seq{b_n} \in G$ określamy $\seq{a_n} \cdot \seq{b_n} = \seq{a_n b_n}$. Wówczas $G$ jest grupą. Niech:
\begin{equation*}
H = \set{\seq{a_n} \in G : \varphi_n(a_{n+1}) = a_n \text{ dla } n = 1, 2, \dots}.
\end{equation*}
Wówczas $H$ jest podgrupą $G$. Grupę $H$ nazywamy \emph{granicą wsteczną} ciągu \seq{G_n}, co oznaczamy $H = \varprojlim G_n$.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Sprawdzić, że powyższa definicja jest poprawna, tzn. że faktycznie $G$ jest grupą, a $H$ jej podgrupą. Jaki jest element neutralny grupy $H$? Jak wygląda element odwrotny w $H$?
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Należy dodać, że granica wsteczna zależy nie tylko od grup $G_n$, lecz także od homomorfizmów $\varphi_n$, co nie jest uwidocznione w notacji $\varprojlim G_n$.

Granica wsteczna podciągu ciągu grup jest izomorficzna z granicą wsteczną wyjściowego ciągu. Należy jednak sprecyzować, jakie homomorfizmy łączą kolejne wyrazy podciągu grup.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:izomorfizmgranic}
Niech \seq{G_1} będzie ciągiem grup, \seq{\varphi_n} odpowiednim ciągiem homomorfizmów. Niech \seq{k_n} będzie ściśle rosnącym ciągiem indeksów. Określmy \morphism[\psi_n]{G_{k_{n+1}}}{G_{k_n}} poprzez $\psi_n = \varphi_{k_n} \circ \varphi_{k_n +1} \circ \dots \circ \varphi_{k_{n+1} - 1}$. Wskazać izomorfizm między granicą wsteczną $\varprojlim G_n$ względem $\varphi_n$ oraz granicą wsteczną $\varprojlim G_{k_n}$ względem $\psi_n$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech \seq{p_n} będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb spełniającym warunek $p_n | p_{n+1}$. Niech $G_n = \Z_{p_n}$. Niech $\varphi_n(a)$ oznacza resztę z dzielenia $a$ przez $p_n$. \emph{Odometrem} o bazie \seq{p_n} nazywamy granicę wsteczną ciągu \seq{G_n} i oznaczamy $\odo = \varprojlim G_n$; ciąg \seq{p_n} spełniający warunek $p_n | p_{n+1}$ dla wszystkich $n$ nazywamy \emph{bazą odometru}.
\end{definicja}

%                            ---------- o ----------

Zatem odometr o bazie \seq{p_n} to zbiór ciągów \seq{a_n} liczb naturalnych takich, że $0 \le a_n < p_n$ oraz $a_{n+1} \equiv a_n \pmod{p_n}$ (tzn. $a_{n+1} - a_n$ jest wielokrotnością $p_n$). Działaniem jest dodawanie ,,po osiach'', przy czym na $n$-tej osi (lub $n$-tej współrzędnej) jet to dodawanie modulo $p_n$.

\begin{cwiczenie}
Niech ciąg \seq{p_n} będzie bazą odometru \odo. Określmy $q_n = \frac{p_n}{p_{n-1}}$ dla $n = 1, 2, \dots$, przyjmując dla wygody $p_0 = 1$. Niech $\odo'$ będzie zbiorem ciągów \seq{a_n} liczb naturalnych takich, że $0 \le a_n < q_n$. W $\odo'$ wprowadzamy działanie w następujący sposób. Niech $\seq{a_n}, \seq{b_n} \in \odo'$. Określmy indukcyjnie:
\begin{gather*}
t_0 = 0, \\
s_n = a_n + b_n + t_{n-1}, \\
t_n = \floor{\frac{s_n}{q_n}}, \\
c_n = s_n - t_n q_n
\end{gather*}
dla $n = 1, 2, \dots$. Piszemy $\seq{a_n} + \seq{b_n} = \seq{c_n}$. Pokazać, że tak określone dodawanie jest działaniem grupowym oraz że $\odo$ oraz $\odo'$ są izomorficzne. Wywnioskować stąd, że odometr jest grupą nieprzeliczalną, mocy continuum.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Dodawanie w $\odo'$ ma bardzo prostą interpretację. Przyjmijmy na początek, że $q_n = 10$ dla każdego $n$. Wypiszmy wyrazy ciągów $\seq{a_n}, \seq{b_n} \in \odo'$ w następujący sposób:
\begin{equation*}
\begin{array}{lllll}
\dots & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \\
\dots & b_4 & b_3 & b_2 & b_1.
\end{array}
\end{equation*}
Aby uzyskać ciąg $\seq{c_n} = \seq{a_n} + \seq{b_n}$ musimy dodać powyższe ciągi tak, jak dodajemy liczby; $t_n$ jest przeniesieniem (tym, co mamy w pamięci), a $c_n$ cyfrą jedności sumy $a_n$, $b_n$ i przeniesienia. Gdy $q_n$ jest dowolne, postępujemy podobnie, w $n$-tym kroku przyjmując, że liczby są zapisane w systemie o podstawie $q_n$.

Ze wzlgędu na izomorfizm między \odo i $\odo'$ odometr nazywa się czasem \emph{grupą \seq{p_n}-adyczną}. Będziemy mówili, że ciąg $\seq{a_n} \in \odo$ jest elementem odometru zapisanym klasycznie, a ciąg $\seq{a_n} \in \odo'$ jest elementem odometru zapisanym adycznie.

\begin{przyklad}
Niech $p_n = 2^n$. Wówczas $q_n = 2$.
\begin{itemize}
\item
W notacji klasycznej:
\begin{equation*}
\seq{1,3,3,11,27,59,\dots} + \seq{0,2,6,6,22,22,\dots} = \seq{1,1,1,1,17,17,\dots}.
\end{equation*}
\item
To samo działanie w notacji adycznej:
\begin{equation*}
\seq{1,1,0,1,1,1,\dots} + \seq{0,1,1,0,1,0,\dots} = \seq{1,0,0,0,1,0,\dots}.
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{przyklad}

Choć notacja adyczna jest bardziej intuicyjna, w dowodach wygodniejsza jest klasyczna, ze względu na prostotę działania.

Zauważmy jeszcze, że odometr jest pewnym uogólnieniem grup cyklicznych skończonych $\Z_p$. Odrzućmy bowiem w definicji odometru warunek ścisłej monotoniczności ciągu \seq{p_n}, żądając jedynie, by $p_n | p_{n+1}$. Otrzymany twór nazywać będziemy odometrem uogólnionym. Jeśli $\lim p_n = \infty$, to nie otrzymamy niczego nowego: z ciągu \seq{p_n} można wybrać ściśle rosnący podciąg \seq{p_{k_n}} i na mocy ćwiczenia \ref{cw:izomorfizmgranic} uogólniony odometr \odo jest izomorficzny z odometrem \odo[p_{k_n}]. Jeśli jednak $p = \lim p_n$ jest skończone, to od pewnego momentu $p_n$ jest stale równe $p$ i wówczas \odo jest izomorficzne z $\Z_p$. W następnym rozdziale zobaczymy, że wiele własności grup $\Z_p$ przenosi się na odometry. Często dla wygody będziemy je formułować dla odometrów uogólnionych.

%                            ---------- o ----------

\section{\!\!\!\!\!\!* Własności odometru}

%                            ---------- o ----------

W tym rozdziale udowodnimy szereg twierdzeń o faktoryzacjach odometru w grupy cykliczne i odometry oraz podgrupach odometru. Niestety wiele twierdzeń ma dość skomplikowane i długie dowody. Potrzebne nam będą pewne fakty z elementarnej teorii liczb, których udowodnienie pozostawiamy jako ćwiczenie. Wcześniej jednak ustalmy pewne oznaczenia.

Niech $p > 0$. Zdanie $p | a$ oznacza, że $p$ jest dzielnikiem $a$. Piszemy $a \equiv b \pmod{p}$ jeśli $a$ i $b$ dają te same reszty modulo $p$, czyli $p | a - b$. Największy wspólny dzielnik liczb $a, b$ oznaczamy $\NWD(a,b)$. Mówimy, że dwie liczby są względnie pierwsze, jeśli ich największym wspólnym dzielnikiem jest $1$ lub, równoważnie, nie mają wspólnego czynnika pierwszego.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Udowodnić, że jeśli $p, q > 0$, $a, b, a', b' \in \Z$, to:
\begin{equation} \label{eq:modulo}
\begin{array}{l}
a \equiv b, \; a' \equiv b' \quad \Rightarrow \quad
  a + a' \equiv b + b', \; a a' \equiv b b' \pmod{p}, \\
a \equiv b \pmod{p q} \quad \Rightarrow \quad
  a \equiv b \pmod{p}, \\
a q \equiv b q \pmod{p q} \quad \Leftrightarrow \quad
  a \equiv b \pmod{p}, \\
\text{$c$ i $p$ są względnie pierwsze} \quad \Rightarrow \quad
  \exists_{c\inv \in \Z_p} \; c c\inv \equiv 1, \\
\text{$c$ i $p$ są względnie pierwsze}, \quad a c \equiv b c \quad \Rightarrow \quad
  a \equiv c
\end{array}
\end{equation}
Ponadto $c\inv$ w czwartym wzorze jest wyznaczony jednoznacznie. Liczba $c\inv$ jest nazywana \emph{odwrotnością $c$ modulo $p$}.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Ze wzorów \eqref{eq:modulo} będziemy korzystać bez dodatkowego komentarza.

W badaniu własności odometru pomocny będzie lemat o strzałkach, z pozoru odległy od algebry.

%                            ---------- o ----------

\begin{lemat} \theoremname{o strzałkach}
Niech \seq{A_n} będzie ciągiem niepustych zbiorów skończonych. Niech \morphism[\gamma_n]{A_{n+1}}{A_n} będzie dowolnym ciągiem odwzorowań. Wówczas istnieje ciąg \seq{b_n} taki, że $b_n \in A_n$ oraz $\gamma_n(b_{n+1}) = b_n$ dla $n = 1, 2, \dots$.
\end{lemat}

%                            ---------- o ----------

Niech $A_n = \set{a_n^1, a_n^2, \dots, a_n^{k_n}}$. Lemat mówi, że jeśli narysujemy tablicę liczb $a_n^i$ i połączymy strzałką każdy element $(n+1)$-szej kolumny z dokładnie jednym elementem z $n$-tej kolumny (dokładniej, łączymy $a_{n+1}^i$ z $\gamma_n(a_{n+1}^i)$), to będziemy mogli wybrać nieskończony ciąg strzałek takich, że następna kończy się tam, gdzie poprzednia się zaczyna.

\begin{picture}(270,100)
\put( 10,85){$A_1$}
\put( 10,65){$a_1^1$}
\put(  7,47){\frame{$\; a_{1_{\!}}^{2^{\!^{\!}}} \;$}}
\put( 10,35){$a_1^3$}
\put( 10,20){$\;\vdots$}
\put( 10, 5){$a_1^{k_1}$}
\put( 75,85){$A_2$}
\put( 75,65){$a_2^1$}
\put( 75,50){$a_2^2$}
\put( 75,35){$a_2^3$}
\put( 75,20){$\;\vdots$}
\put( 72, 2){\frame{$\; a_{2_{\!}}^{k_2^{\!^{\!}}}$}}
\put(140,85){$A_3$}
\put(137,62){\frame{$\; a_{3_{\!}}^{1^{\!^{\!}}} \;$}}
\put(140,50){$a_3^2$}
\put(140,35){$a_3^3$}
\put(140,20){$\;\vdots$}
\put(140, 5){$a_3^{k_3}$}
\put(205,85){$A_4$}
\put(205,65){$a_4^1$}
\put(202,47){\frame{$\; a_{4_{\!}}^{2^{\!^{\!}}} \;$}}
\put(205,35){$a_4^3$}
\put(205,20){$\;\vdots$}
\put(205, 5){$a_4^{k_4}$}
\put(250,50){$\cdots$}
\put( 43,75){$\gamma_1$}
\put(108,75){$\gamma_2$}
\put(173,75){$\gamma_3$}
\put( 73,67){\vector(-2,-1){53}}
\put( 73,52){\vector(-4, 1){53}}
\put( 73,37){\vector(-4, 1){53}}
\put( 73, 7){\vector(-4, 3){53}}
\put(138,67){\vector(-1,-1){53}}
\put(138,52){\vector(-4,-1){53}}
\put(138,37){\vector(-4,-1){53}}
\put(138, 7){\vector(-4, 3){53}}
\put(203,67){\vector(-2,-1){53}}
\put(203,52){\vector(-4, 1){53}}
\put(203,37){\vector(-1, 0){53}}
\put(203, 7){\vector(-2, 1){53}}
\
\end{picture}

Dowód polega na wskazaniu sposobu wyboru kolejnych strzałek.

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}[lematu]
Aby uprościć zapis dowodu, zdefiniujmy dodatkowo zbiór $A_0 = \set{a_0}$ jako dowolny zbiór jednoelementowy oraz funkcję \morphism[\gamma_0]{A_1}{A_0} w jedyny możliwy sposób, tzn. $\gamma_0(a) = a_0$ dla wszystkich $a \in A_1$.

Dla $0 \le n < m$ określmy \morphism[\Gamma_{n,m}]{A_m}{A_n} jako złożenie $\Gamma_{n,m} = \gamma_n \circ \gamma_{n+1} \circ \dots \circ \gamma_{m-1}$. Oczywiście teraz $\Gamma_{n,k} \circ \Gamma_{k,m} = \Gamma_{n,m}$, o ile $0 \le n < k < m$, oraz $\Gamma_{n-1,m} = \gamma_{n-1} \circ \Gamma_{n,m}$ dla $0 < n < m$.

Określmy indukcyjnie ciąg $b_n$ oraz pomocnicze zbiory $B_n$ poprzez:
\begin{gather*}
b_0 = a_0, \\
B_n = \set{b \in A_n : \gamma_{n-1}(b) = b_{n-1}, \forall_{m > n} \; \exists_{a \in A_m} \; b = \Gamma_{n,m} (a)}, \\
b_n \in B_n \quad \text{ -- dowolny element}
\end{gather*}
dla $n > 0$. Zbiór $B_n$ zawiera wszystkie te elementy zbioru $A_n$, które są połączone strzałką z $b_{n-1}$ oraz gwarantują możliwość dalszego wyboru strzałek. Tak określony ciąg \seq{b_n} ma oczywiście żądaną własność, pozostaje zatem tylko udowodnić poprawność tej definicji. Wystarczy pokazać, że w każdym kroku zbiór $B_n$ jest niepusty, dzięki czemu możliwy jest wybór $b_n$.

Załóżmy zatem przeciwnie, że $B_n$ jest zbiorem pustym. To oznacza, że dla każdego $b \in \gamma_{n-1}\inv(\set{b_{n-1}})$ istnieje indeks $m_b$ taki, że $b \notin \Gamma_{n,m_b} (A_{m_b})$. Ale $b$ przebiega zbiór skończony, więc istnieje takie $m$, że $m \ge m_b$ dla wszystkich rozważanych $b$. Wówczas dla każdego $b \in \gamma_{n-1}\inv(\set{b_{n-1}})$:
\begin{equation*}
b \notin \Gamma_{n,m_b} (A_{m_b}) \supset
\Gamma_{n,m_b} \circ \Gamma_{m_b,m} (A_m) =
\Gamma_{n,m} (A_m).
\end{equation*}
Oznacza to, że:
\begin{equation*}
\gamma_{n-1}\inv(\set{b_{n-1}}) \cap \Gamma_{n,m} (A_m) = \emptyset,
\end{equation*}
czyli:
\begin{equation*}
b_{n-1} \notin \gamma_{n-1} \circ \Gamma_{n,m} (A_m) = \Gamma_{n-1,m} (A_m).
\end{equation*}
Jeśli $n = 1$ jest to niemożliwe, bo $\Gamma_{n-1,m} (A_m) = \set{a_0} = \set{b_{n-1}}$. Gdy $n > 1$, to jest to sprzeczne z definicją $b_{n-1}$ oraz $B_{n-1}$. Zatem założenie $B_n = \emptyset$ musiało być fałszywe, co kończy dowód.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Do końca tego rozdziału zakładamy, że \seq{p_n} jest ustaloną bazą odometru \odo.

%                            ---------- o ----------

\begin{lemat} \label{lem:ododzielenie}
Niech dane będą liczby $a_n$ oraz $q > 0$. Jeśli dla wszystkich $n > 0$ zachodzi:
\begin{equation*}
q a_{n+1} \equiv q a_n \pmod{p_n},
\end{equation*}
to istnieje ciąg $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $q b_n \equiv q a_n \pmod{p_n}$.
\end{lemat}

%                            ---------- o ----------

Inaczej tezę lematu można sformułować następująco. Niech $c_n$ będzie resztą z dzielenia $q a_n$ przez $p_n$. Jeśli $\seq{c_n} \in \odo$, to istnieje $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $q \seq{b_n} = \seq{c_n}$. Należy dodać, że ogólnie $\seq{b_n} \neq \seq{a_n}$, o czym świadczy następujący przykład.

%                            ---------- o ----------

\begin{przyklad}
Niech $p_n = 2^n$, $a_1 = 0$, $a_n = 1$ dla $n > 1$, $q = 2$. Wówczas:
\begin{equation*}
\seq{c_n} = \seq{q a_n} = \seq{0, 2, 2, \dots} \in \odo,
\end{equation*}
lecz:
\begin{equation*}
\seq{a_n} = \seq{0, 1, 1, \dots} \notin \odo.
\end{equation*}
Właściwym ciągiem $\seq{b_n}$ jest tutaj ciąg jedynek.
\end{przyklad}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}[lematu]
Niech $A_n = \set{a \in \Z_{p_n} : q a \equiv q a_n \pmod{p_n}}$. Zbiory $A_n$ są skończone i niepuste (bo reszta z dzielenia $a_n$ przez $p_n$ jest elementem $A_n$). Niech $\gamma_n(a)$ oznacza resztę z dzielenia $a$ przez $p_n$. Zauważmy, że \morphism[\gamma_n]{A_{n+1}}{A_n}. Istotnie, jeśli $a \in A_{n+1}$, to:
\begin{equation*}
q a \equiv q a_{n+1} \pmod{p_{n+1}},
\end{equation*}
a więc również:
\begin{equation*}
q \gamma_n(a) \equiv q a \equiv q a_{n+1} \equiv q a_n \pmod{p_n},
\end{equation*}
czyli $\gamma_n(a) \in A_n$.

Możemy więc skorzystać z lematu o strzałkach. W efekcie otrzymujemy ciąg $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $b_n \in A_n$, czyli:
\begin{equation*}
q b_n \equiv q a_n \pmod{p_n}
\end{equation*}
tak, jak żądaliśmy.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{wniosek} \label{wn:odopdzielenie}
Jeśli $p$ jest liczbą względnie pierwszą z $p_n$ dla każdego $n$, to dzielenie przez $p$ jest wykonalne w odometrze \odo.
\end{wniosek}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Niech $i_n$ będzie odwrotnością $p$ modulo $p_n$ (a więc taką liczbą, że $p i_n \equiv 1 \pmod{p_n}$). Weźmy dowolny $\seq{c_n} \in \odo$. Oznaczmy $a_n = i_n c_n$. Wówczas $p a_n = p i_n c_n \equiv c_n \pmod{p_n}$, czyli na mocy udowodnionego lematu istnieje ciąg $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $p b_n \equiv p a_n \equiv c_n \pmod{p_n}$, co kończy dowód.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Teraz zbadamy się faktoryzacje odometru w grupy cykliczne.

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odoniewZp}
Niech \morphism{\odo}{\Z_p} będzie faktoryzacją. Wówczas dla pewnego $n$ zachodzi $p | p_n$.
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Rozumowanie podzielimy na cztery części.

\begin{enumerate}
\item
Niech $q_n = \NWD(p, p_n)$ oraz $q = \lim q_n$. Granica istnieje, ponieważ ciąg $q_n$ jest niemalejący (nawet $q_n | q_{n+1}$) i ograniczony przez $p$. Jest to ciąg liczb całkowitych, więc od pewnego miejsca jest stały. Niech więc $k$ będzie tak duże, że $q = q_k = \NWD(p, p_k)$. Pokażemy, że $q = p$. Wówczas $p | p_k$ tak, jak chcieliśmy.

\item
Ustalmy $n$. Liczby $\frac{p}{q_n}$ i $\frac{p_n}{q_n}$ są całkowite i względnie pierwsze, więc istnieje odwrotność pierwszej modulo druga, tzn. liczba $i_n$ taka, że:
\begin{equation*}
\frac{p}{q_n} i_n \equiv 1 \pmod{\frac{p_n}{q_n}}.
\end{equation*}
Stąd:
\begin{equation*}
p i_n \equiv q_n \pmod{p_n}.
\end{equation*}
Zauważmy, że $q_n | q$. Niech $j_n = \frac{q}{q_n} i_n$. Wówczas:
\begin{equation*}
p j_n \equiv q \pmod{p_n}.
\end{equation*}
Wobec tego, że $p_n | p_{n+1}$, zachodzi: 
\begin{equation*}
q j_{n+1} \equiv (p j_n) j_{n+1} = (p j_{n+1}) j_n \equiv q j_n \pmod{p_n}.
\end{equation*}

\item
Ustalmy dowolny ciąg $\seq{a_n} \in \odo$. Niech $\widetilde{a}_n = j_n a_n$. Wówczas:
\begin{equation*}
q \widetilde{a}_{n+1} = (q j_{n+1}) a_{n+1} \equiv (q j_n) a_n \equiv q \widetilde{a}_n \pmod{p_n},
\end{equation*}
zatem możemy zastosować lemat \ref{lem:ododzielenie} dla ciągu $\seq{\widetilde{a}_n}$ i $q$. Otrzymamy ciąg $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $q b_n \equiv q \widetilde{a}_n \pmod{p_n}$. Stąd:
\begin{equation*}
p b_n = \frac{p}{q} q b_n \equiv \frac{p}{q} q \widetilde{a}_n \equiv p j_n a_n \equiv q a_n \pmod{p_n},
\end{equation*}
co oznacza, że $p \cdot \seq{b_n} = q \cdot \seq{a_n}$.

\item
Wybierzmy w poprzednim kroku $\seq{a_n} \in \odo$ tak, by $\varphi \seq{a_n}  = 1$. Wówczas:
\begin{equation*}
0 \equiv p \cdot \varphi \seq{b_n} \equiv q \cdot \varphi \seq{a_n} \equiv q \pmod{p}.
\end{equation*}
Oznacza to, że $p | q$. Ale $q = \NWD(p, p_k)$, więc również $q | p$. Stąd $p = q$, co kończy dowód.
\end{enumerate}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odowZp}
Niech $p$ będzie dzielnikiem $p_k$ dla pewnego $k$. Niech $\varphi \seq{a_n}$ będzie resztą z dzielenia $a_k$ przez $p$. Wówczas \morphism{\odo}{\Z_p} jest kanoniczną faktoryzacją o jądrze:
\begin{equation}
\ker \varphi = \set{\seq{a_n} \in \odo : p | a_k}. \label{eq:odowZpjadro}
\end{equation}
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Sprawdzenie, że $\varphi$ jest faktoryzacją pozostawiamy jako ćwiczenie. Pozostaje pokazać kanoniczność $\varphi$. Zgodnie z ćwiczeniem \ref{cw:kanonicznafaktoryzacja} wystarczy pokazać, że jeśli $\seq{a_n} \in \ker \varphi$, to istnieje $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że $p_k \cdot \seq{b_n} = \seq{a_n}$.

Weźmy zatem $\seq{a_n} \in \ker \varphi$. Wówczas $p | a_k$. Dla $n > k$ zachodzi $a_k \equiv a_n \pmod{p_k}$, więc również $p | a_n$. Niech $a_n = p \widetilde{a}_n$ dla $n \ge k$. Określmy dodatkowo $\widetilde{a}_n = \widetilde{a}_k$ dla $n < k$. Zachodzi:
\begin{equation*}
p \widetilde{a}_n \equiv a_n \pmod{p_n}
\end{equation*}
dla wszystkich $n$. Istotnie, dla $n \ge k$ powyższe przystawanie jest równością, a dla $n < k$ wynika z następującego rachunku:
\begin{equation*}
p \widetilde{a}_n = p \widetilde{a}_k = a_k \equiv a_n \pmod{p_n}.
\end{equation*}
Zatem:
\begin{equation*}
p \widetilde{a}_{n+1} \equiv a_{n+1} \equiv a_n \equiv p \widetilde{a}_n \pmod{p_n}.
\end{equation*}
Możemy zatem zastosować lemat \ref{lem:ododzielenie} do ciągu \seq{\widetilde{a}_n} i liczby $p$. Otrzymujemy ciąg $\seq{b_n} \in \odo$ taki, że:
$p b_n \equiv p \widetilde{a}_n = a_n \pmod{p_n}$, tzn. $p \cdot \seq{b_n} = \seq{a_n}$.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{wniosek} \label{wn:odowZpn}
Dla każdego $n$ grupa $\Z_{p_n}$ jest faktorem kanonicznym odometru \odo. Jądrem każdej faktoryzacji $\odo$ w $\Z_{p_n}$ jest zbiór tych ciągów $\seq{a_n} \in \odo$, że $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$.
\end{wniosek}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odoniewZ}
Grupa $\Z$ nie jest faktorem odometru \odo.
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Załóżmy wbrew tezie, że \morphism{\odo}{\Z} jest faktoryzacją. Ustalmy $k$. Niech \morphism[\kappa_k]{\Z}{\Z_{p_k}} będzie faktoryzacją (na przykład niech $\kappa_k(a)$ będzie resztą z dzielenia $a$ przez $p_k$). Określmy $\varphi_k = \kappa_k \circ \varphi$. Wówczas \morphism[\varphi_k]{\odo}{\Z_{p_k}} jest faktoryzacją \odo w $\Z_{p_k}$. Na mocy wniosku \ref{wn:odowZpn} $\varphi_k$ jest faktoryzacją kanoniczną i ma jądro:
\begin{equation*}
\ker \varphi_k = \set{\seq{a_n} \in \odo : a_1 = a_2 = \dots = a_k = 0}.
\end{equation*}
Jeśli $\varphi \seq{a_n} = 0$, to także $\varphi_k \seq{a_n}  = \kappa_k(0) = 0$, więc $\ker \varphi \subset \ker \varphi_k$. Tak jest dla każdego $k$, więc:
\begin{equation*}
\ker \varphi \subset \bigcap_{k=1}^{\infty} \ker \varphi_k = \set{\seq{0, 0, \dots}}.
\end{equation*}
Oznacza to, że $\varphi$ jest izomorfizmem. Jest to niemożliwe, bo zbiór $\Z$ jest przeliczalny, a \odo nie.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Analogiczne wyniki są prawdziwe także dla faktoryzacji odometru \odo w odometr \odo[q_n].

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odoniewodo}
Jeśli odometr \odo[q_n] jest faktorem odometru \odo, to spełniony jest następujący warunek:
\begin{equation}
\text{dla każdego $n$ istnieje $m$ takie, że } q_n | p_m. \label{eq:odofaktor}
\end{equation}
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Załóżmy, że \morphism{\odo}{\odo[q_n]} jest faktoryzacją. Ustalmy $k$. Niech \morphism[\psi_k]{\odo[q_n]}{\Z_{q_k}} będzie faktoryzacją daną wzorem $\psi_k \seq{b_n} = b_k$. Niech $\varphi_k = \psi_k \circ \varphi$. Wówczas $\varphi_k$ jest faktoryzacją \odo w $\Z_{q_k}$, więc, na mocy twierdzenia \ref{tw:odoniewZp}, dla pewnego $m$ zachodzi $q_k | p_m$. Wobec dowolności $k$, zachodzi warunek \eqref{eq:odofaktor}.
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odowodo}
Jeśli warunek \eqref{eq:odofaktor} jest spełniony, to \odo[q_n] jest faktorem kanonicznym odometru $\odo$ i jądrem każdej faktoryzacji jest:
\begin{equation}
\set{\seq{a_n} \in \odo : \text{ dla każdego $n$ istnieje $m$ takie, że } q_n | a_m}. \label{eq:odowodojadro}
\end{equation}
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Załóżmy, że warunek \eqref{eq:odofaktor} jest spełniony. Skonstruujemy faktoryzację w kilku krokach.

\begin{enumerate}
\item
Dla każdego $n$ dobierzmy $m_n$ tak, by $q_n | p_{m_n}$, żądając dodatkowo, by $m_n$ był ciągiem ściśle rosnącym (możemy tak zrobić, bo \seq{p_n} jest bazą odometru). Niech $p_n' = p_{m_n}$. Określimy faktoryzację \morphism{\odo}{\odo[q_n]} jako złożenie dwóch faktoryzacji: \morphism[\sigma]{\odo}{\odo[p_n']} oraz \morphism[\tau]{\odo[p_n']}{\odo[q_n]}.

\item
Niech $\sigma \seq{a_n} = \seq{a_{m_n}}$; $\sigma$ jest izomorfizmem (porównaj z ćwiczeniem \ref{cw:izomorfizmgranic}). W szczególności $\sigma$ jest faktoryzacją.

\item
Niech \morphism[\tau_k]{\odo[p_n']}{\Z_{q_k}} będzie kanoniczną faktoryzacją taką, jak w twierdzeniu \ref{tw:odowZp}, tzn. niech $\tau_k \seq{a_n}$ będzie resztą z dzielenia $a_k$ przez $q_k$. Definiujemy \morphism[\tau]{\odo[p_n']}{\odo[q_n]} wzorem:
\begin{equation*}
\tau \seq{a_n}  = \seq{\tau_n \seq{a_n}} = \seq{\tau_1 \seq{a_n}, \tau_2 \seq{a_n}, \dots}.
\end{equation*}
Ze względu na $q_k | q_{k+1}$ oraz $q_k | p_k'$ zachodzi:
\begin{equation*}
\tau_{k+1} \seq{a_n} \equiv a_{k+1} \equiv a_k \equiv \tau_k \seq{a_n} \pmod{q_k},
\end{equation*}
więc istotnie $\tau \seq{a_n} \in \odo[q_n]$. Ponieważ każde $\tau_k$ jest homomorfizmem, więc również $\tau$ jest homomorfizmem. Trzeba wykazać, że $\tau$ jest ,,na''. Skorzystamy z lematu o strzałkach.

\item
Niech $\seq{a_n} \in \odo[q_n]$. Określmy:
\begin{equation*}
A_n = \set{a \in \Z_{p_n'} : a \equiv a_n \pmod{q_n}}
\end{equation*}
i niech $\gamma_n(a)$ oznacza resztę z dzielenia $a$ przez $p_n'$. Weźmy $a \in A_{n+1}$. Ponieważ $q_n | q_{n+1}$, więc $a \equiv a_{n+1} \pmod{q_n}$. Wobec $q_n | p_n'$ otrzymujemy $\gamma_n(a) \equiv a \pmod{q_n}$. Ponadto $\seq{a_n} \in \odo[q_n]$, więc $a_{n+1} \equiv a_n \pmod{q_n}$. Zatem:
\begin{equation*}
\gamma_n(a) \equiv a \equiv a_{n+1} \equiv a_n \pmod{q_n},
\end{equation*}
czyli \morphism[\gamma_n]{A_{n+1}}{A_n}.

\item
Możemy zatem zastosować lemat o strzałkach dla zbiorów $A_n$ i funkcji $\gamma_n$. Otrzymamy ciąg $\seq{b_n}$ taki, że $b_k \in A_k$ i $\gamma_k(b_{k+1}) = b_k$. Drugi warunek oznacza, że $b_{k+1} \equiv b_k \pmod{p_k'}$, czyli $\seq{b_n} \in \odo[p_n']$. Z pierwszy wynika, że $b_k \equiv a_k \pmod{q_k}$, a więc $\tau_k \seq{b_n} = a_k$, czyli $\tau \seq{b_n} = \seq{a_n}$. Zatem $\tau$ jest ,,na''. Wynika stąd, że $\varphi = \tau \circ \sigma$ jest szukaną faktoryzacją.
\end{enumerate}

Pozostaje uzasadnić, że skonstruowana faktoryzacja jest kanoniczna. Grupy \odo i \odo[p_n'] są izomorficzne, więc \odo[q_n] jest faktorem kanonicznym \odo wtedy i tylko wtedy, gdy jest faktorem kanonicznym \odo[p_n']. Wystarczy zatem udodwonić, $\tau$ jest faktoryzacją kanoniczną. Rozumowanie znów podzielimy na kilka części.

\begin{enumerate}
\item
%Zgodnie ze wzorem \eqref{eq:odowZpjadro}:
%\begin{equation*}
%\ker \tau_k = \set{\seq{b_n} \in \odo[p_n'] : q_k | b_k}.
%\end{equation*}
%Zatem jądro $\tau$ ma postać:
Jądro $\tau$ ma postać:
\begin{equation*}
\ker \tau =
\set{\seq{b_n} \in \odo[p_n'] : \tau_k \seq{b_n} = 0 \text{ dla wszystkich } k} =
\bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \tau_k.
\end{equation*}

\item
Określmy \morphism[\psi_k]{\odo[q_n]}{\Z_{q_k}} wzorem $\psi_k \seq{b_n} = b_k$. Wówczas:
\begin{gather*}
\ker \psi_k = \set{\seq{b_n} \in \odo[q_n] : b_1 = b_2 = \dots = b_k = 0}, \notag \\
\bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \psi_k = \set{\seq{0, 0, \dots}}.
\end{gather*}

\item
Niech teraz \morphism[\widetilde{\tau}]{\odo[p_n']}{\odo[q_n]} będzie dowolną faktoryzacją. Określmy $\widetilde{\tau}_k = \psi_k \circ \widetilde{\tau}$. Jeśli $\widetilde{\tau} \seq{a_n} = 0$, to $\widetilde{\tau}_k \seq{a_n} = 0$, więc $\ker \widetilde{\tau} \subset \ker \widetilde{\tau}_k$. Zatem:
\begin{equation*}
\ker \widetilde{\tau} \subset \bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \widetilde{\tau}_k.
\end{equation*}
Z drugiej strony załóżmy, że $\seq{a_n} \in \ker \widetilde{\tau}_k$ dla wszystkich $k$. Oznaczmy $\seq{b_n} = \widetilde{\tau} \seq{a_n}$. Wówczas $\psi_k \seq{b_n} = \widetilde{\tau}_k \seq{a_n} = 0$, czyli:
\begin{equation*}
\seq{b_n} \in \bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \psi_k = \set{\seq{0, 0, \dots}},
\end{equation*}
a więc $\seq{a_n} \in \ker \widetilde{\tau}$. Pokazaliśmy zatem, że:
\begin{equation*}
\ker \widetilde{\tau} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \widetilde{\tau}_k.
\end{equation*}

\item
Faktoryzacje $\tau_k$ i $\widetilde{\tau}_k$ są kanoniczne na mocy twierdzenia \ref{tw:odowZp}, a więc $\ker \tau_k = \ker \psi_k$ dla wszystkich $k$. Stąd:
\begin{equation*}
\ker \tau = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \tau_k =
\bigcap_{k = 1}^{\infty} \ker \widetilde{\tau}_k = \ker \widetilde{\tau}.
\end{equation*}
To oznacza, że $\tau$ jest faktoryzacją kanoniczną.
\end{enumerate}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Własność \eqref{eq:odofaktor} można interpretować jako swego rodzaju podzielność ciągu \seq{p_n} przez ciąg \seq{q_n}. 
Pokazaliśmy, że odometr o bazie \seq{q_n} jest faktorem odometru o bazie \seq{p_n} wtedy i tylko wtedy, gdy \seq{q_n} ,,dzieli'' \seq{p_n} (porównaj z ćwiczeniem \ref{cw:cykliczne}).

Powyższe twierdzenie ma trzy bardzo interesujące konsekwencje, podane poniżej w formie ćwiczeń.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Wskazać odometr będący wspólnym rozszerzeniem wszystkich odometrów.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie}
Pokazać, że każda faktoryzacja odometru \odo w siebie jest izomorfizmem, tzn. jeśli homomorfizm $\odo$ w $\odo$ jest ,,na'', to jest różnowartościowy. Wskazać przykład, że przeciwna implikacja nie zawsze jest prawdziwa, tj. znaleźć odometr $\odo$ oraz różnowartościowy homomorfizm $\odo$ w $\odo$, który nie jest ,,na''.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{definicja}
Niech $\Primes$ oznacza zbiór liczb pierwszych. Jeśli $\seq{p_n}$ jest bazą odometru uogólnionego, to dla każdej liczby $p \in \Primes$ określamy:
\begin{gather*}
\alpha(p) = \sup \seq{k : p^k | p_n \text{ dla pewnego } n}
\end{gather*}
(dopuszczamy oczywiście $\alpha_p = \infty$). Funkcję $\morphism[\alpha]{\Primes}{\N}$ nazywamy \emph{funkcją charakterystyczną} odometru $\odo$. W przypadku, gdy $\odo$ redukuje się do grupy cyklicznej $\Z_p$, mówimy także, że $\alpha$ jest funkcją charakterystyczną grupy $\Z_p$.
\end{definicja}
%%% Może charakterystyką ???

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:odoizomorficzne}
Niech $\alpha$, $\beta$ będą funkcjami charakterystycznymi odometrów $\odo$ i $\odo[q_n]$. Udowodnić, że:
\begin{enumerate}
\item
odometr $\odo[q_n]$ jest faktorem odometru $\odo$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha_p \ge \beta_p$ dla każdego $p \in \Primes$,
\item
odometry $\odo$ i $\odo[q_n]$ są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha_p = \beta_p$ dla każdego $p \in \Primes$.
\end{enumerate}
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

Zatem odometr jest w pełni charakteryzowany przez maksymalne wykładniki, w jakich liczby pierwsze dzielą elementy jego bazy.

Dla kompletu dodajmy, że nie wszystkie faktoryzacje odometru są odometrami uogólnionymi (tzn. odometrami lub skończonymi grupami cyklicznymi), co wynika z dalszych twierdzeń tego rozdziału (dokładniej ćwiczenia \ref{cw:odopodgrupaZ} i twierdzenia \ref{tw:odowodojadro}), nie ma więc pełnej analogii z grupami cyklicznymi.

W dalszej części zbadamy podgrupy odometru.

%                            ---------- o ----------

\begin{cwiczenie} \label{cw:odopodgrupaZ}
Pokazać, że odometr (zakładamy ścisłą monotoniczność ciągu $\seq{p_n}$!) posiada podgrupę cykliczną wolną, tzn. izomorficzną z $\Z$.
\end{cwiczenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odoniepodgrupaZp}
Jeśli odometr \odo posiada podgrupę cykliczną rzędu $p$ to spełniony jest następujący warunek:
\begin{equation}
\text{Istnieje $m$ takie, że } p | p_m
\text{ oraz } \NWD \left( p, \frac{p_{n+1}}{p_n} \right) = 1 \text{ gdy $n \ge m$}. \label{eq:odopodgrupaZp}
\end{equation}
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Załóżmy, że $G < \odo$ jest podgrupą cykliczną rzędu $p$ generowaną przez $\seq{a_n}$. Jeśli $p = 1$, to warunek \eqref{eq:odopodgrupaZp} jest spełniony; przyjmijmy więc, że $p > 1$. Wiemy, że $G = \set{k \cdot \seq{a_n} : k = 0, 1, \dots, p-1}$. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków.

\begin{enumerate}
\item
Niech $m$ będzie tak duże, że liczby $k a_m$ dają różne reszty modulo $p_m$ dla $k = 0, 1, \dots, p-1$. Taki wybór jest możliwy; załóżmy bowiem przeciwnie, że dla każdego $n$ istnieje $k_n$ takie, że $0 < k_n < p$ oraz $k_n a_n \equiv 0 \pmod{p_n}$. Ciąg $\seq{k_n}$ przyjmuje pewną wartość $k$ nieskończenie wiele razy, a więc dla nieskończenie wielu $n$ zachodzi $k a_n \equiv 0 \pmod{p_n}$, przez co $k \cdot \seq{a_n} = \seq{0, 0, \dots}$, wbrew założeniu.

\item
Dla każdego $n \ge m$ liczby $k a_n$ ($k = 0, 1, \dots, p-1$) dają różne reszty modulo $p_n$, bo $k a_n \equiv l a_n \pmod{p_n}$ implikuje $k a_m \equiv l a_m \pmod{p_m}$, czyli $k = l$ na mocy poprzedniego punktu.

\item
Ponieważ $p a_n \equiv 0 \pmod{p_n}$, więc $p a_n = c_n p_n$ dla pewnych liczb $c_n$. Ponadto:
\begin{equation*}
\frac{p}{\NWD(c_n, p)} a_n = \frac{c_n}{\NWD(c_n, p)} p_n \equiv 0 \pmod{p_n},
\end{equation*}
więc na mocy poprzedniego punktu $\frac{p}{\NWD(c_n, p)}$ jest wielokrotnością $p$, czyli $\NWD(c_n, p) = 1$.

\item
Ponieważ $p_n | \left( a_{n+1} - a_n \right)$, więc:
\begin{equation*}
p p_n \Bigl\lvert \left( p a_{n+1} - p a_n \right) =
c_{n+1} p_{n+1} - c_n p_{n} =
\left(c_{n+1} - c_n \frac{p_{n+1}}{p_n} \right) p_n,
\end{equation*}
skąd $p \Bigl\lvert \left( c_{n+1} - c_n \frac{p_{n+1}}{p_n} \right)$. Zatem:
\begin{equation*}
c_{n+1} \equiv c_n \frac{p_{n+1}}{p_n} \pmod{p}.
\end{equation*}
Lewa strona jest względnie pierwsza z $p$ (poprzedni punkt), więc prawa strona również. W szczególności $\NWD \left( p, \frac{p_{n+1}}{p_n} \right) = 1$, czyli \eqref{eq:odopodgrupaZp}.
\end{enumerate}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{odo:podgrupaZp}
Jeśli warunek \eqref{eq:odopodgrupaZp} zachodzi, to \odo posiada jedyną podgrupę cykliczną rzędu $p$.	
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Niech $m$ będzie takie, jak w warunku \eqref{eq:odopodgrupaZp}. Znów teza jest oczywiście spełniona, gdy $p = 1$, rozważmy więc przypadek $p > 1$. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków. Wyznaczymy wszystkie elementy rzędu $p$ i pokażemy, że wszystkie generują tę samą podgrupę cykliczną.

\begin{enumerate}
\item
Niech $A = \set{a \in \Z_p : \NWD(a, p) = 1}$. Wybierzmy $a \in A$.

\item \label{eq:odopodgrupaZp:warunek}
Niech $m$ będzie takie, jak we wzorze \eqref{eq:odopodgrupaZp}. Zdefiniujemy ciąg $\seq{a_n}$ tak, by $a_m = \frac{ap_m}{p}$ oraz dla wszystkich $n$:
\begin{equation*}
0 \le a_n < p_n, \quad
a_{n+1} \equiv a_n \pmod{p_n}, \quad
p a_n \equiv 0 \pmod{p_n}.
\end{equation*}

\item
Określmy $a_m = \frac{a p_m}{p}$ oraz niech $a_n$ będzie resztą z dzielenia $a_m$ przez $p_n$ dla $n = 1, 2, \dots, m-1$. Zauważmy, że warunek z punktu \ref{eq:odopodgrupaZp:warunek} jest spełniony dla właśnie zdefiniowanych wyrazów ciągu. Pozostałą część ciągu określimy indukcyjnie.

\item
Załóżmy, że określone są już $a_1, a_2, \dots, a_n$, gdzie $n \ge m$ i spełniają one warunek z punktu \ref{eq:odopodgrupaZp:warunek}. Rozważmy liczby:
\begin{equation*}
a_n + k p_n \quad \text{ dla } k = 0, 1, \dots, \frac{p_{n+1}}{p_n} - 1.
\end{equation*}
Wszystkie są elementami $\Z_{p_{n+1}}$ i wszystkie dają resztę $a_n$ przy dzieleniu przez $p_n$.

Skoro $p a_n \equiv 0 \pmod{p_n}$, więc $p a_n = c_n p_n$ dla pewnego $c_n$. Zatem dla $k = 0, 1, \dots, \left( \frac{p_{n+1}}{p_n} - 1 \right)$ zachodzi:	
\begin{equation*}
p (a_n + k p_n) = p a_n + k p p_n = c_n p_n + k p p_n = (c_n + k p) p_n.
\end{equation*}
Ale $\NWD \left( p, \frac{p_{n+1}}{p_n} \right) = 1$, więc dla $k = 0, 1, \dots, \left( \frac{p_{n+1}}{p_n} - 1 \right)$ liczby $(c_n + k p)$ dają różne reszty modulo $\frac{p_{n+1}}{p_n}$. Zatem dokładnie jedna z nich daje resztę zero. Niech więc:
\begin{equation*}
0 \equiv c_n + k_n p \pmod{\frac{p_{n+1}}{p_n}}.
\end{equation*}
Zatem:
\begin{equation*}
0 \equiv p_n \left(c_n + k_n p\right) = p \left(a_n + k_n p_n\right) \pmod{p_{n+1}}.
\end{equation*}
Zdefiniujemy $a_{n+1} = a_n + k_n p_n$. Na mocy powyższego przystawania, warunek z punktu 2 pozostaje spełniony.

\item
Dla każdego $a \in A$ określiliśmy więc ciąg $\seq{a_n} \in \odo$ taki, że $p \cdot \seq{a_n} = \seq{0, 0, \dots}$. Ponadto dla $0 < k < p$ liczba $p$ nie jest dzielnikiem $k a$, więc $p_m$ nie jest dzielnikiem $\frac{k a p_m}{p} = k a_m$, czyli $k \cdot \seq{a_n} \neq \seq{0, 0, \dots}$. Oznacza to, że $\seq{a_n}$ jest elementem rzędu $p$.

\item
Warunek z punktu \ref{eq:odopodgrupaZp:warunek} jest konieczny na to, by $\seq{a_n}$ był elementem rzędu $p$. Ponieważ jednak wybór $k_n$ był jednoznaczny, więc $\seq{a_n}$ jest zdeterminowany przez wartość $m$-tego wyrazu.

\item
W punkcie 3. dowodu twierdzenia \ref{tw:odoniepodgrupaZp} wykazaliśmy, że jeśli $\seq{b_n}$ jest elementem rzędu $p$, to $p b_m = c_m p_m$ dla pewnego $c_m \in A$. Zatem skonstruowaliśmy wszystkie elementy rzędu $p$ odometru $\odo$.

\item
Liczba elementów rzędu $p$ w każdej grupie cyklicznej rzędu $p$ jest równa mocy zbioru $A$, zatem rozważany odometr może posiadać tylko jedną podgrupę cykliczną rzędu $p$. To kończy dowód twierdzenia.
\end{enumerate}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Warunek \eqref{eq:odopodgrupaZp} można dużo prościej wyrazić w języku funkcji charakterystycznych. Jeśli $\alpha$, $\gamma$ oznaczają funkcje charakterystyczne $\odo$ i $\Z_p$, to $\odo$ posiada podgrupę izomorficzną z $\Z_p$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
\begin{gather*}
\gamma(p) \le \alpha(p) \quad \text{ dla każdego } p \in \Primes, \\
\alpha(p) = \infty \quad \Rightarrow \quad \gamma(p) = 0.
\end{gather*}

Można pokazać, że skonstruowana powyżej podgrupa cykliczna jest jądrem (kanonicznej) faktoryzacji odometru \odo w odometr \odo[q_{m+n}], gdzie $q_n = \frac{p_n}{p}$ dla $n \ge m$. W istocie można pokazać dużo więcej.

Przypomnijmy, że grupę cykliczną $\Z_p$ możemy utożsamiać z odometrem uogólnionym o bazie \seq{p_n}, gdzie $p_n = p$. 

%                            ---------- o ----------

\begin{twierdzenie} \label{tw:odowodojadro}
Załóżmy, że odometr uogólniony $\odo[q_n]$, jest faktorem \odo. Wówczas jądro każdej faktoryzacji $\odo$ w $\odo[q_n]$ (dane wzorem \eqref{eq:odowodojadro}) jest izomorficzne z pewnym odometrem uogólnionym.

Dokładniej, faktoryzacja odometru $\odo$ w odometr uogólniony o bazie $\seq{q_n}$ ma jądro izomorficzne z odometrem uogólnionym o bazie $\seq{s_n}$, gdzie:
\begin{equation*}
s_k = \frac{p_k}{\lim_{n \rightarrow \infty} \NWD(p_k, q_n)}.
\end{equation*}
\end{twierdzenie}

%                            ---------- o ----------

\begin{dowod}
Znów podzielimy rozumowanie na pewną liczbę części.

\begin{enumerate}
\item
Faktoryzacja $\odo$ w $\odo[q_n]$ jest kanoniczna na mocy twierdzeń \ref{tw:odowZp} oraz \ref{tw:odowodo}. Ponadto dla każdego $n$ istnieje $m_n$ taki, że $q_n | p_{m_n}$; bez straty ogólności możemy przyjąć, że \seq{m_n} jest ściśle rosnący. Niech $p_n' = p_{m_n}$; a więc $q_n | p_n'$. Ponadto $p_n'$ jest właściwym dzielnikiem $p_{n+1}'$, czyli \seq{p_n'} jest bazą odometru, izomorficznego na mocy cwiczenia \ref{cw:izomorfizmgranic} z odometrem $\odo$.

\item
Ustalmy $k$. Ciąg $\NWD(p_k', q_n)$ jest niemalejący i ograniczony przez $p_k'$, więc jest stały od pewnego miejsca. Niech więc $N_k$ będzie najmniejszą taką liczbą, że dla $n \ge N_k$ będzie $\NWD(p_k', q_n) = \NWD(p_k',q_{N_k})$ i oznaczmy $\NWD(p_k',q_{N_k}) = q_k'$. Ciąg $N_k$ jest niemalejący (bo $p_k' | p_{k+1}'$).

\item
Oczywiście $q_k' | p_k'$, więc $p_k' = q_k' r_k$ dla pewnego $r_k$. Niech $n \ge N_{k+1}$. Zachodzi:
\begin{equation*}
q_k'= \NWD(p_k', q_n) | \NWD(p_{k+1}', q_n) = q_{k+1}',
\end{equation*}
więc \seq{q_n'} jest bazą odometru uogólnionego. Ponadto:
\begin{equation*}
\frac{r_{k+1}}{r_k} = \frac{p_{k+1}' q_k'}{p_k' q_{k+1}'} =
\frac{p_{k+1}' \NWD(p_k', q_n)}{p_k' \NWD(p_{k+1}', q_n)} =
\frac{\NWD(p_k' p_{k+1}', q_n p_{k+1}')}{\NWD(p_k' p_{k+1}', q_n p_k')}
\end{equation*}
jest liczbą całkowitą, więc $r_k | r_{k+1}$, czyli również $\seq{r_n}$ jest bazą odometru uogólnionego.

\item
Z definicji $q_k' | q_{N_k}$. Ponadto:
\begin{equation*}
q_k | \NWD(p_k', q_{N_k}) = q_k'.
\end{equation*}
Stąd wynika, że odometry $\odo[q_n]$ i $\odo[q_n']$ są izomorficzne.

\item
W dalszym ciągu przyda nam się następująca równość. Jeśli $n \ge N_{k+1}$, to:
\begin{equation*}
\begin{split}
\NWD & \! (p_k', q_{k+1}') = \NWD(p_k', \NWD(p_{k+1}', q_n)) = \\
& =
\NWD(p_k', p_{k+1}', q_n) = \NWD(p_k', q_n) = q_k'.
\end{split}
\end{equation*}

\item
Odometry $\odo$ i $\odo[p_n']$ są izomorficzne oraz odometry $\odo[q_n]$ i $\odo[q_n']$ są izomorficzne. Zatem jądro kanonicznej faktoryzacji $\odo$ w $\odo[q_n]$ jest izomorficzne z jądrem kanonicznej faktoryzacji $\odo[p_n']$ w $\odo[q_n']$. Niech $\psi$ będzie faktoryzacją $\odo[p_n']$ w $\odo[q_n']$; wystarczy więc pokazać, że $\ker \psi$ jest izomorficzne z pewnym odometrem uogólnionym. Pokażemy, że $\ker \psi$ jest izomorficzne z $\odo[r_n]$.

\item
Wobec $q_n' | p_n'$, wzory \eqref{eq:odowZpjadro} i \eqref{eq:odowodojadro} mówią, że:
\begin{equation*}
\ker \psi = \set {\seq{a_n} \in \odo[p_n'] : q_n' | a_n \text{ dla wszystkich $n$}}.
\end{equation*}
Niech $\seq{u_n}$ będzie ustalonym ciągiem liczb całkowitych. Dla $\seq{a_n} \in \ker \psi$ niech $b_n$ oznacza resztę z dzielenia liczby $\frac{u_n a_n}{q_n'}$ przez $r_n$. Określmy $\varphi$ wzorem $\varphi \seq{a_n} = \seq{b_n}$. Dobierzemy liczby $u_n$ tak, by $\varphi$ było izomorfizmem $\ker \psi$ oraz $\odo[r_n]$.

\item
Żądamy, by $\seq{b_n} \in \odo[r_n]$, tzn. dla każdego $k$:
\begin{equation*}
\frac{a_k}{q_k'} u_k \equiv b_k \equiv b_{k+1} =
\frac{a_{k+1}}{q_{k+1}'} u_{k+1} \pmod{r_k}.
\end{equation*}
Ustalmy $k$. Ponieważ $a_{k+1} = a_k + c p_k' = a_k + c q_k' r_k$ dla pewnego $c$, więc:
\begin{equation*}
\frac{a_k}{q_k'} u_k = \frac{a_{k+1}}{q_k'} u_k - c r_k u_k \equiv
\frac{a_{k+1}}{q_{k+1}'} \cdot \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k \pmod{r_k}.
\end{equation*}
Zatem aby $\seq{b_n} \in \odo[r_n]$, potrzeba i wystarcza:
\begin{equation*}
u_{k+1} \equiv \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k \pmod{r_k}.
\end{equation*}
Skunstruujemy indukcyjnie ciąg \seq{u_n} tak, by zachodził powyższy warunek i ponadto $\NWD(u_n, r_n) = 1$ (będzie to potrzebne do pokazania, że $\varphi$ jest bijekcją).

\item
Gdy $k = 1$, to przyjmujemy $u_1 = 1$; oczywiście $\NWD(u_1, r_1) = 1$. Przyjmijmy, że dla pewnego $k$ określiliśmy tak, jak żądaliśmy, liczby $u_1, u_2, \dots, u_k$.

Oznaczmy przez $M$ największy dzielnik $r_{k+1}$ względnie pierwszy z $r_k$. Niech $t$ będzie odwrotnością $r_k$ modulo $M$ i przyjmijmy:
\begin{equation*}
d = -t \left( \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k - 1 \right).
\end{equation*}
Określmy:
\begin{equation*}
u_{k+1} = \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k + d r_k
\end{equation*}
Zachodzi:
\begin{equation*}
\begin{split}
u_{k+1} & = \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k + d r_k =
\frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k - t r_k \left( \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k - 1 \right) \equiv \\
& \equiv
\frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k - \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k + 1 = 1 \pmod{M}.
\end{split}
\end{equation*}
W szczególności $u_{k+1}$ nie ma wspólnego czynnika pierwszego z $M$. Zgodnie z punktem 5.:
\begin{equation*}
\begin{split}
\NWD & \! \left( u_{k+1}, r_k \right) =
\NWD \left( \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k + d r_k, r_k \right) = \\
& =
\NWD \left( \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k, r_k \right) =
\NWD \left( \frac{q_{k+1}'}{q_k'}, r_k \right) = \\
& =
\frac{1}{q_k'} \NWD(q_{k+1}', q_k' r_k) =
\frac{1}{q_k'} \NWD(q_{k+1}', p_k') =
\frac{1}{q_k'} \cdot q_k' = 1.
\end{split}
\end{equation*}
Zatem $u_{k+1}$ nie ma również wspólnego czynnika pierwszego z $r_k$. Ale każdy czynnik pierwszy $r_{k+1}$ jest czynnikiem pierwszym $M$ albo $r_k$, więc $\NWD(u_{k+1}, r_{k+1}) = 1$.

Oczywiście zachodzi $u_{k+1} \equiv \frac{q_{k+1}'}{q_k'} u_k \pmod{r_k}$, zatem tak określone $u_{k+1}$ spełnia żądane warunki. Na mocy poprzedniego punktu, $\varphi$ odwzorowuje $\ker \psi$ w $\odo[r_n]$.

\item
Udowodnimy teraz, że przekształcenie $\varphi$ jest homomorfizmem. Niech $\seq{a_n'}, \seq{a_n''} \in \ker \psi$. Oznaczmy:
\begin{equation*}
\seq{b_n'} = \varphi \seq{a_n'}, \quad
\seq{b_n''} = \varphi \seq{a_n''}, \quad
\seq{b_n} = \varphi \left( \seq{a_n} + \seq{b_n} \right).
\end{equation*}
Zgodnie z definicją $\varphi$, oznacza to:
\begin{equation*}
b_n' \equiv \frac{u_n a_n'}{q_n'}, \quad
b_n'' \equiv \frac{u_n a_n''}{q_n'}, \quad
b_n \equiv \frac{u_n (a_n' + a_n'')}{q_n'} \pmod{r_n}.
\end{equation*}
Stąd łatwo:
\begin{equation*}
b_n \equiv \frac{u_n (a_n' + a_n'')}{q_n'} =
\frac{u_n a_n'}{q_n'} + \frac{u_n a_n'}{q_n'} \equiv
b_n' + b_n'' \pmod{r_n},
\end{equation*}
czyli $\seq{b_n} = \seq{b_n'} + \seq{b_n''}$, jak chcieliśmy.

\item
Niech $\varphi \seq{a_n} = \varphi \seq{a_n'}$, $\seq{a_n}, \seq{a_n'} \in \ker \psi$. Oznacza to, że dla każdego $n$:
\begin{equation*}
\frac{a_n}{q_n'} u_n \equiv \frac{\widetilde{a}_n}{q_n'} u_n \pmod{r_n}.
\end{equation*}
Ale dobraliśmy $u_n$ tak, by $\NWD(u_n, r_n) = 1$, zatem:
\begin{equation*}
\frac{a_n}{q_n'} \equiv \frac{\widetilde{a}_n}{q_n'} \pmod{r_n},
\end{equation*}
czyli $a_n \equiv \widetilde{a}_n \pmod{p_n'}$, lub inaczej $\seq{a_n} = \seq{\widetilde{a}_n}$. Zatem homomorfizm $\varphi$ jest różnowartościowy.

\item
Weźmy teraz$\seq{b_n} \in \odo[r_n]$. Ponieważ $\NWD(u_n, r_n) = 1$, więc istnieje odwrotność $u_n$ modulo $r_n$. Niech $u_n v_n \equiv 1 \pmod{r_n}$. Zdefiniujmy $a_n$ jako resztę z dzielenia $q_n' v_n b_n$ przez $p_n'$. Ponieważ $q_n'$ jest dzielnikiem liczb $q_n' v_n b_n$ oraz $p_n'$, więc $q_n' | a_n$. Zgodnie z definicją $u_{n+1}$:
\begin{equation*}
v_n \equiv u_{n+1} v_{n+1} v_n \equiv
\frac{q_{n+1}'}{q_n'} u_n v_n v_{n+1} \equiv
\frac{q_{n+1}'}{q_n'} v_{n+1} \pmod{r_n},
\end{equation*}
skąd:
\begin{equation*}
q_n' v_n \equiv q_{n+1}' v_{n+1} \pmod{p_n'}.
\end{equation*}
Ponadto $b_{n+1} \equiv b_n \pmod{r_n}$, czyli $q_n' b_{n+1} \equiv q_n' b_n \pmod{p_n'}$. Stąd:
\begin{equation*}
a_{n+1} \equiv q_{n+1}' v_{n+1} b_{n+1} \equiv
q_n' v_n b_{n+1} \equiv q_n' v_n b_n \equiv a_n \pmod{p_n'},
\end{equation*}
czyli $\seq{a_n} \in \odo$. Wobec $q_n' | a_n$ otrzymujemy $\seq{a_n} \in \ker \psi$. Niech $\seq{b_n'} = \varphi \seq{a_n}$. Wówczas:
\begin{equation*}
q_n' b_n' \equiv u_n a_n \equiv q_n' b_n u_n v_n \pmod{p_n'},
\end{equation*}
czyli:
\begin{equation*}
b_n' \equiv b_n u_n v_n \equiv b_n \pmod{r_n}.
\end{equation*}
Oznacza to, że $\varphi \seq{a_n} = \seq{b_n}$. Wobec dowolności $\seq{b_n} \in \odo[r_n]$, homomorfizm $\varphi$ jest ,,na''.

\item
Pokazaliśmy, że $\varphi$ izomorfizmem między $\ker \psi$ i odometrem uogólnionym $\odo[r_n]$. Aby zakończyć dowód twierdzenia, zauważmy, że \seq{r_n} jest podciągiem ciągu \seq{s_n} zdefiniowanego w tezie twierdzenia, a więc odometry \odo[r_n] i \odo[s_n] są izomorficzne.
\end{enumerate}
\end{dowod}

%                            ---------- o ----------

Otrzymany wynik można sformułować w języku funkcji charakterystycznych. Jeśli odometr $\odo$ o funkcji charakterystycznej $\alpha$ ma faktor $\odo[q_n]$ o funkcji charakterystycznej $\beta$, to (cwiczenie \ref{cw:odoizomorficzne}) $\beta \le \alpha$. Właśnie udowodniliśmy, że jądro faktoryzacji $\odo$ w $\odo[q_n]$ jest izomorficzne z odometrem uogólnionym $\odo[s_n]$ o funkcji charakterystycznej $\gamma$ określonej równaniem $\gamma(p) = \alpha(p) - \beta(p)$, z dodatkową umową $\infty - \infty = 0$.

W szczególności odometr $\odo$ posiada podgrupy izomorficzne z odometrami $\odo[s_n]$ o funkcjach charakterystycznych $\gamma$ takich, że:
\begin{gather*}
\gamma(p) \le \alpha(p) \quad \text{ dla każdego } p \in \Primes, \\
\alpha(p) = \infty \quad \Rightarrow \quad \gamma(p) \in \set{0, \infty}.
\end{gather*}

%                            ---------- o ----------

\end{document}
