\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[margin=2.54cm]{geometry}

\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\scalar}[1]{\left< #1 \right>}

\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sub}{\subseteq}

\DeclareMathOperator{\interior}{Int}

\newcommand{\problem}{\medskip\noindent\textbf{Zadanie}: }
\newcommand{\solution}{\smallskip\noindent\textbf{Rozwiązanie}: }

\sloppy

% ----- o ----- %

\begin{document}

% ----- o ----- %

\problem
Niech $T$ będzie operatorem na przestrzeni $X = \set{x \in \C^{\Z} \; : \: ||x||_2 < \infty}$ danym wzorem $T x(n) = x(n + 1)$. Czy istnieją dwa niezerowe ciągi $x, y \in X$ takie, że $\scalar{T^n x, T^m y} = 0$ dla wszystkich $n, m \ge 0$? Jaka jest odpowiedź, gdy zastąpimy $X$ przestrzenią $Y = \set{x \in \C^{\Z_+} \; : \: ||x||_2 < \infty}$?

\solution
Tak. Niech $T = \{ z \in \mathbf{C} \; : \: |z| = 1 \}$ i niech $x$, $y$ będą współczynnikami rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji $f, g \in L^2(T)$ o rozłącznych nośnikach. Wówczas $\left< T^n x, T^m y \right> = \int_T \bar{z}^n f(z) \, z^m \bar{g}(z) dz = 0$.

Jeśli np. $f = \ind_{\set{z \; : \; \Re z > 0}}$, $g = 1 - f$, to $x(n) = (-1)^n y(n) = \frac{2}{n} \sin\expr{\frac{n \pi}{2}}$ dla $n \ne 0$, $x(0) = y(0) = \pi$.

W przestrzeni $Y$ takie ciągi nie istnieją, bowiem gdyby istniały, to $x(n) y(m) = \scalar{T^n x, T^m y} - \scalar{T^{n+1} x, T^{m+1} y} = 0$, przez co $x = 0$ lub $y = 0$.

A co jeśli rozważymy operator $S$ na $Y$ taki, że $S x(n) = x(n - 1)$, $S x(0) = 0$?

% ----- o ----- %

\problem
Żaba porusza się po kracie $\Z^2$ skokami o ustalonej długości. Po pewnej liczbie skoków żaba powróciła do punktu wyjścia. Udowodnić, że wykonała parzystą liczbę skoków.

\solution
Zapis $2^a || z$ będzie oznaczał, że $2^a | z$ i $2^{a+1} \!\! \not | z$ ($z \ne 0$). Przypuśćmy, że $x, y \in \Z$, $2^k || x$ i $2^l || y$. Wówczas $2^{2 \max(k, l)} || x^2 + y^2$ jeśli $k \ne l$, zaś $2^{2 k + 1} || x^2 + y^2$ jeśli $k = l$.

Niech $z$ oznacza kwadrat długości skoku i niech $2^a || z$. Przez $(x_i, y_i)$ oznaczmy wektory kolejnych skoków żaby, $i = 1, 2, ..., m$. Skoro żaba powróciła do punktu wyjścia, $\sum x_i = 0 = \sum y_i$. Ponadto $x_i^2 + y_i^2 = z$. Stąd:
\[
  m \, z
  =
  2 \sum_{i < j} (x_i x_j + y_i y_j)
  \, .
\]
Jeśli $a$ jest parzyste, to na mocy początkowej uwagi z równości $x_i^2 + y_i^2 = z$ wynika bądź $2^{a/2} || x_i$ i $2^{a/2} | y_i$, bądź $2^{a/2} | x_i$ i $2^{a/2} || y_i$ (przypadek $x_i = 0$ lub $y_i = 0$ jest tu uwzględniony). W każdym przypadku $2^a | x_i x_j + y_i y_j$, więc $2 | m$.

Jeśli zaś $a$ jest nieparzyste, to wobec początkowej uwagi otrzymujemy $2^{(a-1)/2} || x_i$ oraz $2^{(a-1)/2} || y_i$, czyli ponownie $2^a | x_i x_j + y_i y_j$, skąd wynika $2 | m$.

% ----- o ----- %

\problem
Czy funkcja $f$ klasy $C^\infty(\R)$ taka, że dla każdego $x \in \R$ pewna pochodna $f^{(n)}(x) = 0$ musi być wielomianem?

\solution
Tak. Niech $F_n = \set{x \in \R \; : \; f^{(n)}(x) = 0}$, $G_n = \interior F_n$. Ponieważ $F_n$ są domknięte oraz $\bigcup F_n = \R$, wobec twierdzenia Baire'a na każdym domkniętym odcinku $I$ pewien zbiór $F_n \cap I$ ma niepuste wnętrze. Innymi słowy $G = \bigcup G_n$ jest gęsty w $\R$.

Jeśli pewna pochodna funkcji zeruje się na pewnym przedziale, to wszystkie jej pochodne wyższych rzędów również są stale równe zero na tym przedziale. Zbiory $G_n$ tworzą zatem ciąg wstępujący.

Ponieważ $f^{(n)}$ jest stała na każdej składowej zbioru $G_{n+1}$, więc każda taka składowa albo jest składową $G_n$, albo jest z $G_n$ rozłączna. Indukcyjnie dowodzi się, że każda składowa zbioru $G_{n+k}$ ($k \ge 0$) ma tę własność. Niech $J$ będzie składową zbioru $G$ i niech $n$ będzie indeksem o tej własności, że $G_n \cap J$ jest niepuste. Ponieważ $G_n$ zawiera się w $G$, więc $G_n \cap J$ zawiera pewną składową $J'$ zbioru $G_n$. Dla każdego $k$ składowa zbioru $G_{n+k} \cap J$ zawierająca $J'$ nie jest rozłączna z $G_n$, a więc jest równa $J'$. Stąd wynika, że $J'$ jest składową zbioru $G$, czyli $J' = J$. Podsumowując, każda składowa zbioru $G$ jest składową pewnego $G_n$.

Jeśli $f^{(n)}$ jest stale równa zero na $(a, b)$ i $(b, c)$, to jest stale równa zero na $(a, c)$, zatem żadne dwie składowe $G_n$ (a więc również żadne dwie składowe $G$) nie mogą mieć wspólnego końca. Wynika stąd, że $G^c$ nie zawiera punktów izolowanych.

Przypuśćmy, że $G^c$ jest niepuste. Wówczas, ponownie na mocy twierdzenia Baire'a, istnieje $n$ oraz niepusty zbiór $A = G^c \cap (a, b)$ zawarty w pewnym $F_n$. Bez utraty ogólności możemy założyć, że $a, b \in G^c$. Dla każdego $x \in A$ istnieje ciąg $x_j \in A \setminus \{x\}$ zbieżny do $x$. Otrzymujemy:
\[
  f^{(n+1)}(x)
  =
  \lim_{j \rightarrow \infty} \frac{f^{(n)}(x_j) - f^{(n)}(x)}{x_j - x}
  =
  0
  \, ,
\]
a więc $A \sub F_{n+1}$. Indukcyjnie --- $A \sub F_{n+k}$ ($k \ge 0$).

Niech $J$ będzie składową zbioru $G$ zawartą w $(a, b)$; oba jej końce należą do $A$. Na $J$ funkcja $f$ jest wielomianem stopnia mniejszego niż $n$, bowiem $f^{(n+k)}$ zeruje się na końcach $J$ dla wszystkich $k \ge 0$. Zatem $J \sub F_n$ i, wobec dowolności $J$, $(a, b) \sub F_n$. Stąd wynika, że $(a, b) \sub G$, co przeczy wcześniejszemu stwierdzeniu, że $G^c \cap (a, b)$ jest niepuste.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że $G = \R$, czyli $\R$ jest składową $G$. Stąd wynika, że $\R$ jest składową pewnego $G_n$, a więc $f$ jest wielomianem stopnia mniejszego niż $n$.

% ----- o ----- %

\problem
Czy przestrzeń liczb całkowitych z topologią generowaną przez wszystkie obustronnie nieskończone ciągi arytmetyczne jest metryzowalna?

\solution
Tak. Jest ona homeomorficzna z orbitą generatora w odometrze silniowym. Można też wskazać metrykę bezpośrednio:
\[
  d(x, y)
  =
  1 - \sum_{n | x - y} \frac{1}{2^n}
  =
  \sum_{n \not{\hspace{2pt}|} x - y} \frac{1}{n^2}
  \, .
\]
Pierwsze sumowanie rozciąga się na wszystkie dodatnie dzielniki liczby $x - y$, drugie -- na dodatnie niedzielniki $x - y$.

Łatwo sprawdzić, że $d$ jest metryką. Niech $k$ będzie dowolną liczbą naturalną. Określmy $r = 2^{-k}$. Wowczas kula $B(x, r)$ w metryce $d$ o srodku $x$ i promieniu $r$ jest obustronnie nieskonczonym ciagiem arytmetycznym o różnicy równej najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb $1, 2, ..., k$ i zawierającym $x$. Zatem faktycznie rozważana topologia pochodzi od $d$.

% ----- o ----- %

\end{document}
