Powrót

Wybrane zagadnienia teorii liczb (2024)

Zajęcia odbywają się we wtorki w godz. 14:00 - 15:30 w sali 106 XIVLO.
Przeznaczone są dla uczniów XIVLO.

Materiały

Literatura podstawowa

Zrealizowany materiał

  1. Spotkanie 13.02
    1. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
    2. Rozszerzenie definicji z $\mathbb{N}_+$, $\mathbb{Z}$ na pierścienie
    3. $a\cdot b=NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)$
    4. Algorytm Euklidesa
    5. Rozwiązywanie równań diofantycznych postaci $ax+by=c$
    6. Ułamki łańcuchowe
  2. Zadania
    1. Znajdź wszystkie rozwiązania równania $6x+14y=72$
      1. w liczbach całkowitych $x, y$
      2. w liczbach naturalnych $x,y$
    2. Zdefiniuj $NWD(a,b,c)$ i udowodnij, że $NWD(a,b,c)=NWD(NWD(a,b),c)$
    3. Rozwiąż w liczbach całkowitych $x, y, z$ równanie $6x+4y+9z=1$
    4. Przedstaw $\sqrt{2}$ w postaci ułamka łańcuchowego (nieskończonego)
    5. Udowodnij, że każda liczba wymierna ma okresowe rozwinięcie dziesiętne
  3. Spotkanie 20.02
    1. Rozwiązywanie wybranych zadań
    2. Nieskończone ułamki łańcuchowe
    3. Przestrzenie metryczne, przestrzenie polskie, przestrzeń Baire'a $\mathbb{N}_+^{\mathbb{N}}$
    4. Przestrzeń Baire'a to liczby niewymierne $(0,1)\setminus\mathbb{Q}$
  4. Zadania
    1. Co można powiedzieć o liczbach, które mają okresowy (nieskończony) ułamkek łańcuchowy
    2. Zdefiniuj metrykę na przestrzeni Cantora $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ oraz izometryczne zanurzenie tej przestrzeni w przestrzeń Baire'a
    3. Pokaż, że owa przestrzeń Cantora jest homeomorficzna z klasycznym trójkowym zbiorem Cantora $\left\{\sum_{n=0}^\infty\frac{2a_n}{3^{n+1}}: (a_n)_n\in\{0,1\}^\mathbb{N} \right\}$
  5. Spotkanie 27.02
    1. Ułamki łańcuchowe okresowe
    2. Izometria, izometryczne włożenie
    3. Homeomorfizm przestrzeni metrycznych
    4. Klasyczny zbiór Cantora i jego własności
  6. Zadania
    1. Czy przestrzenie $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2\}^\mathbb{N}$ są homeomorficzne?
    2. Znajdź w odcinku $[0,1]$ podzbiór dodatniej miary Lebesgue'a homeomorficzny z przestrzenią Cantora
  7. Spotkanie 5.03
    1. Homeomorfizm przestrzeni $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2,3\}^\mathbb{N}$
    2. Homeomorfizm przestrzeni $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2\}^\mathbb{N}$
    3. Chińskie twierdzenie o resztach
    4. Trochę o indukcji
  8. Zadania
    1. Znajdź różnowartościową funkcję $f:\mathbb{N}^\mathbb{N}\rightarrow\{0,1\}^\mathbb{N}$. Czy $f$ może być ciągła?
    2. Znajdź bijekcję $f:\mathbb{N}^\mathbb{N}\rightarrow\{0,1\}^\mathbb{N}$. Czy $f$ może być homeomorfizmem?
    3. Czy założenia o wzajemnej pierwszości liczb $a_1,a_2,\cdots,a_n$ w chińskim twierdzeniu o resztach jest istotne?
  9. Spotkanie 12.03
    1. Bijekcja pomiędzy $[0,1]$ i $[0,1)$.
    2. Brak homeomorfizmu pomiędzy $[0,1]$ i $[0,1)$.
    3. Topologiczna różnica pomiędzy $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ oraz $\{0,1\}^\mathbb{N}$: każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny.
    4. Istotność założeń w chińskim twierdzeniu o resztach
    5. Opis wszystkich rozwiązań układu kongruencji z chińskiego twierdzenia o resztach
    6. Inny (niekonstruktywny dowód chińskiego twierdzenia o resztach
    7. Rozwiązanie równania Pitagorasa $x^2+y^2=z^2$ w liczbach naturalnych
  10. Zadania
    1. Znajdź bijekcję pomiędzy $\mathbb{R}$ oraz $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
    2. Uzasadnij, ze nie ma homeomorfizmu pomiędzy $\mathbb{R}$ oraz $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
    3. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: $x^2+y^2=2z^2$.
    4. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: $2x^2+y^2=z^2$.
  11. Spotkanie 19.03
    1. Bijekcja pomiędzy $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Q}$
    2. Bijekcja pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$
    3. Rozwiązanie równań $x^2+y^2=2z^2$ oraz $2x^2+y^2=z^2$
    4. Małe twierdzenie Fermata
    5. Dwa jego dowody
    6. Funkcja Eulera $\varphi(n)$
  12. Zadania
    1. Oblicz $\varphi(p^n)$, dla pierwszej liczby $p$
    2. Co można powiedzieć o najmniejszej liczbie $n$, dla której $a^n-1$ dzieli się przez $p$
    3. Znajdź bijekcję pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}^2$
  13. Spotkanie 9.04
    1. Bijekcja pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}^2, walka$
    2. Krzywa Peano
    3. Wartości funkcji Eulera dla pewnych n
    4. Multiplikatywność funkcji Eulera
    5. Ogólna postać funkcji Eulera
  14. Zadania
    1. Oblicz $\sum_{d|n}\varphi(d)$
    2. Czy funkcja Eulera jest suriekcją? iniekcją?
  15. Spotkanie 23.04
    1. Dowód, że $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
    2. Funkcja Eulera nie jest iniekcją ani suriekcją.
    3. Dowód twierdzenia Eulera $a^{\varphi(n)}=1 (mod n)$ dla $NWD(a,n)=1$
    4. Grupa $\mathbb{Z}_n^*$
    5. Twierdzenie Lagrange'a: rząd grupy dzieli rząd podgrupy
    6. Rząd elementu dzieli rząd grupy
    7. Związek z twierdzeniem Eulera
    8. Ciało $\mathbb{F}_p$

      Powrót