Powrót
Wybrane zagadnienia teorii liczb (2024)
Zajęcia odbywają się we wtorki w godz. 14:00 - 15:30 w sali 106 XIVLO.
Przeznaczone są dla uczniów XIVLO.
Materiały
Literatura podstawowa
Zrealizowany materiał
- Spotkanie 13.02
- Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
- Rozszerzenie definicji z $\mathbb{N}_+$, $\mathbb{Z}$ na pierścienie
- $a\cdot b=NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)$
- Algorytm Euklidesa
- Rozwiązywanie równań diofantycznych postaci $ax+by=c$
- Ułamki łańcuchowe
- Zadania
- Znajdź wszystkie rozwiązania równania $6x+14y=72$
- w liczbach całkowitych $x, y$
- w liczbach naturalnych $x,y$
- Zdefiniuj $NWD(a,b,c)$ i udowodnij, że $NWD(a,b,c)=NWD(NWD(a,b),c)$
- Rozwiąż w liczbach całkowitych $x, y, z$ równanie $6x+4y+9z=1$
- Przedstaw $\sqrt{2}$ w postaci ułamka łańcuchowego (nieskończonego)
- Udowodnij, że każda liczba wymierna ma okresowe rozwinięcie dziesiętne
- Spotkanie 20.02
- Rozwiązywanie wybranych zadań
- Nieskończone ułamki łańcuchowe
- Przestrzenie metryczne, przestrzenie polskie, przestrzeń Baire'a $\mathbb{N}_+^{\mathbb{N}}$
- Przestrzeń Baire'a to liczby niewymierne $(0,1)\setminus\mathbb{Q}$
- Zadania
- Co można powiedzieć o liczbach, które mają okresowy (nieskończony) ułamkek łańcuchowy
- Zdefiniuj metrykę na przestrzeni Cantora $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ oraz izometryczne zanurzenie tej przestrzeni w przestrzeń Baire'a
- Pokaż, że owa przestrzeń Cantora jest homeomorficzna z klasycznym trójkowym zbiorem Cantora $\left\{\sum_{n=0}^\infty\frac{2a_n}{3^{n+1}}: (a_n)_n\in\{0,1\}^\mathbb{N} \right\}$
- Spotkanie 27.02
- Ułamki łańcuchowe okresowe
- Izometria, izometryczne włożenie
- Homeomorfizm przestrzeni metrycznych
- Klasyczny zbiór Cantora i jego własności
- Zadania
- Czy przestrzenie $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2\}^\mathbb{N}$ są homeomorficzne?
- Znajdź w odcinku $[0,1]$ podzbiór dodatniej miary Lebesgue'a homeomorficzny z przestrzenią Cantora
- Spotkanie 5.03
- Homeomorfizm przestrzeni $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2,3\}^\mathbb{N}$
- Homeomorfizm przestrzeni $\{0,1\}^\mathbb{N}$ i $\{0,1,2\}^\mathbb{N}$
- Chińskie twierdzenie o resztach
- Trochę o indukcji
- Zadania
- Znajdź różnowartościową funkcję $f:\mathbb{N}^\mathbb{N}\rightarrow\{0,1\}^\mathbb{N}$. Czy $f$ może być ciągła?
- Znajdź bijekcję $f:\mathbb{N}^\mathbb{N}\rightarrow\{0,1\}^\mathbb{N}$. Czy $f$ może być homeomorfizmem?
- Czy założenia o wzajemnej pierwszości liczb $a_1,a_2,\cdots,a_n$ w chińskim twierdzeniu o resztach jest istotne?
- Spotkanie 12.03
- Bijekcja pomiędzy $[0,1]$ i $[0,1)$.
- Brak homeomorfizmu pomiędzy $[0,1]$ i $[0,1)$.
- Topologiczna różnica pomiędzy $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ oraz $\{0,1\}^\mathbb{N}$: każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny.
- Istotność założeń w chińskim twierdzeniu o resztach
- Opis wszystkich rozwiązań układu kongruencji z chińskiego twierdzenia o resztach
- Inny (niekonstruktywny dowód chińskiego twierdzenia o resztach
- Rozwiązanie równania Pitagorasa $x^2+y^2=z^2$ w liczbach naturalnych
- Zadania
- Znajdź bijekcję pomiędzy $\mathbb{R}$ oraz $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
- Uzasadnij, ze nie ma homeomorfizmu pomiędzy $\mathbb{R}$ oraz $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
- Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: $x^2+y^2=2z^2$.
- Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: $2x^2+y^2=z^2$.
- Spotkanie 19.03
- Bijekcja pomiędzy $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Q}$
- Bijekcja pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$
- Rozwiązanie równań $x^2+y^2=2z^2$ oraz $2x^2+y^2=z^2$
- Małe twierdzenie Fermata
- Dwa jego dowody
- Funkcja Eulera $\varphi(n)$
- Zadania
- Oblicz $\varphi(p^n)$, dla pierwszej liczby $p$
- Co można powiedzieć o najmniejszej liczbie $n$, dla której $a^n-1$ dzieli się przez $p$
- Znajdź bijekcję pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}^2$
- Spotkanie 9.04
- Bijekcja pomiędzy $\mathbb{R}$ i $\mathbb{R}^2, walka$
- Krzywa Peano
- Wartości funkcji Eulera dla pewnych n
- Multiplikatywność funkcji Eulera
- Ogólna postać funkcji Eulera
- Zadania
- Oblicz $\sum_{d|n}\varphi(d)$
- Czy funkcja Eulera jest suriekcją? iniekcją?
- Spotkanie 23.04
- Dowód, że $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
- Funkcja Eulera nie jest iniekcją ani suriekcją.
- Dowód twierdzenia Eulera $a^{\varphi(n)}=1 (mod n)$ dla $NWD(a,n)=1$
- Grupa $\mathbb{Z}_n^*$
- Twierdzenie Lagrange'a: rząd grupy dzieli rząd podgrupy
- Rząd elementu dzieli rząd grupy
- Związek z twierdzeniem Eulera
- Ciało $\mathbb{F}_p$
Powrót