Krótko o moich zainteresowaniach naukowych

Wprowadzenie dla nie-matematyków

Zajmuję się badaniem wybranych procesów losowych, zwanych w matematyce procesami stochastycznymi. Jestem teoretykiem, a teoretyczna matematyka współcześnie rzadko ma zastosowania w innych dziedzinach nauki. Teoria procesów procesów stochastycznych jest tu chlubnym wyjątkiem. Choć moje badania nie mają bezpośredniego związku z tymi zastosowaniami, są one dla mnie ważną inspiracją.

Za pomocą procesów stochastycznych próbuje się opisać m.in. kursy akcji, ceny surowców, kapitał firm ubezpieczeniowych i inne wielkości ekonomiczne. Wykorzystywane są w wielu modelach w biologii, od skali mikro (ekspresja genów, stężenie enzymów) do skali makro (rywalizacja między gatunkami, migracja). Fizycy procesy stochastyczne dostrzegają m.in. w modelach wzrostu polimerów czy perkolacji, a pojęcia ściśle związane z procesami stochastycznymi (np. całka Feynmana–Kaca) są niezwykle ważne w fizyce kwantowej. Nawet błyskawice są blisko związane z gałązkującym ruchem Browna.

Moje zainteresowania dotyczą przede wszystkim procesów Markowa. Charakteryzują się one dwiema własnościami: brakiem pamięci oraz jednorodnością. (Niektórzy autorzy nie postulują jednorodności, a procesy posiadające obie własności nazywają jednorodnymi procesami Markowa).

Brak pamięci oznacza, że jeśli znany jest stan procesu w danej chwili, znajomość wcześniejszych stanów nie wpływa na możliwość przewidywania przyszłych stanów. Własność tę ma na przykład błądzenie losowe, czyli proces opisujący położenie osoby, która idze wzdłuż drogi i przed każdym krokiem rzuca monetą: jeśli wypada orzeł — idzie do przodu, zaś jeśli reszka — do tyłu. W chwili $n$ stan takiego procesu to odległość przebyta przez tę osobę po $n$ krokach. Braku pamięci nie ma natomiast proces opisujący położenie osoby, która w podobny sposób zmniejsza lub zwiększa swoją prędkość (jesli wypada orzeł — przyspiesza o $1\,$km/h, jeśli reszka — zwalnia o $1\,$km/h). Znajomość położenia tej osoby w chwilach $n - 1$ oraz $n$ pozwala ustalić jej obecną prędkość i przez to dokładnie określić możliwe dwa położenia w chwili $n + 1$, zaś znajomość położenia wyłącznie w chwili $n$ do tego nie wystarcza.

Jednorodność jest prostszą własnością: oznacza, że możliwe scenariusze zmiany stanu procesu nie zmieniają się w czasie. Opisane wyżej błądzenie losowe ma tę własność. Przykładem procesu niejednorodnego jest zmodyfikowane błądzenie losowe, w którym długość kroku zmienia się w czasie, na przykład $n$-ty krok ma długość $\frac{1}{n}$.

W centrum moich zainteresowań są zagadnienia dotyczące teorii potencjału i teorii spektralnej procesów Markowa. Jednym z podstawowych pytań jest: Jakie jest prawdopodobieństwo, że przez określony czas proces opuści ustalony zbiór stanów? Jeśli na przykład proces opisuje kapitał firmy ubezpieczeniowej, a ustalony zbiór to liczby dodatnie, powyższe pytanie dotyczy prawdopodobieństwa bankructwa firmy.

Zachęta dla młodszych studentów

Mam kilka tematów prac licencjackich do zaoferowania.

Powyższa lista nie jest za często aktualizowana, ale powinna dać wyobrażenie, jakie prace licencjackie mogę i lubię prowadzić. Osoby zainteresowane serdecznie zapraszam do kontaktu!

Zachęta dla starszych studentów

Opisane piętro wyżej tematy dotyczące procesów Lévy’ego, dyskretnej transformaty Hilberta i funkcji o kształcie dzwonu można rozwijać w różnych kierunkach w ramach prac magisterskich i doktorskich. Wariantów jest tyle, że trudno je tu zebrać. Jeśli interesuje Cię ta tematyka i serio rozważasz pracę naukową, to koniecznie się ze mną skontaktuj!

Kontakt

Prace polskojęzyczne

Wybrane prezentacje polskojęzyczne

(zob. również artykuły)