Zmień przeglądarkę na nowszą.

Analiza matematyczna 1 - wykład (karta przedmiotu)

Zasady zaliczenia

Lista zadań

Egzaminy z analizy matematycznej 1

Egzamin z analizy matematycznej: 7.2.2025, g. 10:00 - 11:30, s. 30 D1 (piątek)
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej: 14.2.2025, g. 10:00 - 11:30, s. 30 D1 (piątek).

Zagadnienia z zadaniami, jakie mogą się pojawić na egzamine.

Literatura:

• K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN Warszawa 1973,
• H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna t. 1, Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993
• M. Gewert J. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna Wyd. GiS, Wrocław
• L. Janicka, Wstęp do analizy matematycznej, Oficyna Wyd. PWr, Wrocław 2000,
• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1, PWN Warszawa 1999.
• moje notatki do wykładu

Kalendarz akademicki

Wyłożony materiał:

• Rauchunek zdań - zmienne zdaniowe, spójniki logiczne, formuły zdaniowe. Reprezentacja formuły zdaniowej w postaci drzewa binarnego. Wartościowanie formuł zdaniowych. Pojęcie tautologii oraz jej przykłady. Rachunek kwantyfikatorowy - podstawowe własności. Liczby naturalne - własności algebraiczne oraz zasada indukcji matematycznej i jej zastosowania w przykładach. Definicja zbioru iiczb całkowitych i wymiernych.
• Liczby całkowite oraz wymierne. Rachunek zbiorów - suma, przekrój dwóch zbiorów. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów, zbór potęgowy. Porządek liniowy. Pojęcie zbioru ograniczenego z góry (z dołu). Ograniczenie górne zbioru w porządku liniowym. Element minimalny (maksymalny) w podzbiorze zbioru liniowo uporządkowanego. Kres dolny zbioru. Aksjomaty liczb rzeczywistych (włącznie z aksjomatem Dedekinda tj. o istnieniu supremum dla dowolnego niepustego podzbioru ograniczonego z góry). Dowód o niograniczoności $\mathbb{N}$ w $(\mathbb{R},\le)$.
• Liczba $\sqrt{2}$, pojęcie funkcji - dziedzina przeciwdziedzina, funkcja odwrotna, funkcja różnowartościowa, monotoniczność funkcji. Funkcja wykładnicza oraz logarytm i ich własności.
• Pojęcie ciągu liczbowego. Ciąg ograniczony - przykłady. Dowód ograniczoności ciągu $((1+\frac{1}{n})^n)_{n=1}^\infty.$ Monotoniczność ciągu liczbowego - przykłady. Dowód, że ciągi $(\sqrt[n]{n})_{n\in\bbn}$ oraz $((1+\frac{1}{n})^n)_{n\in\bbn}$ są monotoniczne. Wprowadzenie funkcji wartości bezwględnej, własności $|x|.$
• Granica ciągu liczbowego - definicja oraz przykłady granic na podstawie definicji: $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0,$ $lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1.$ Twierdzenie o istnieniu granicy ciągu monotonicznego i ograniczonego. Liczba $e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n.$ Twierdzenie o trzech ciągach - sformułowanie i przykłady. Podciąg ciągu i twierdzenie o podciągach danego ciągu. Granica niewłaściwa - definicja i przykład. Twierdzenie o dwóch ciągach.
• Arytmetyka granic niewłasciwych, przykłady. Pojęcie sąsiedztwa punktu na prostej rzeczywistej. Definicja granicy (jednostronnej) funkcji w punkcie w sensie Heinego. Związek pomiędzy granicą funkcji a granicami jednostronymi. Twierdzenie o arytmetyce granic fukcji, przykłady. Twierdzenie o granicy (jednostronnej) dla trzech funkcji. Przykład: $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1.$
• Granice w $\infty,-\infty$. Dowód, że $\lim\limits_{x\to\infty} \bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e.$ Twierdzenie o arytmetyce niewłaściwych granic funkcji, twierdzenie o $2$ funkcjach, przykłady. Asymptody pionowe (jednostronne, obustronne) definicja i przykład $f(x) = \frac{x-2}{\sqrt{4 - x^2}}.$
• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz jego zastosowania. Granice nioznaczone. Asymptoty ukośne i poziome dla zadanych funkcji. Pojęcie funkcji ciągłej w punkcie. Twierdzenie ciągłości sumy, różniczy, iloczynów i ilorau funkcji ciągłych w zdanym punkcie. Twierdzenie o złożeniu dwóch funkcji ciągłych. Ciągłość wielomianów jednej zmiennej, ciągłość funkcji $\sin x$ i $\cos x.$
• Twierdzenie Weierstrassa, Darboux oraz o ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej i ich zastosowania. Uzasadnienie równości granic nieoznaczonych.
• Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie. Twierdzenie o istnieniu pochodnej a pochodnymi jednostronnymi i jego zastosowanie. Wyznaczenie pochodnych dla podstawowych funkcji. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej oraz twierdzenie o pochodnej sumy iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych w zadanym punkcie. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej i jego zastosowania. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Ekstrema lokalne i warunek konieczny istnienia ekstremów lokalnych w punktach, gdzie funkcja jest różniczkowalna.
• Algorytm wyznacznia ekstremum globalnego dla funcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Twierdzenie Rolle'a, Cauchyego oraz Lagrange'a. Twierdzenie o warunku wystarczającym na monotoniczne zachowanie się funkcji na przedziale. Warunek wystarczający na istnienie ekstremum lokalnego funkcji. Reguła d'Hopitala jako wniose z twierdzenia Cauchy'ego i zastosowania tej reguły.
• Pojęcie funkcji pierwotnej na przedziale, jej własności i przykłady. Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej dla funkcji ciągłej na odcinku domkniętym i ograniczonym. Całka nieoznaczona - definicja i przykłady. Własności całki nieoznaczonej. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie i twierdzenie o całkowaniu przez części (wraz z dowodami) i zastosowania. Funkcje wymierne i rozkład funkcji wymiernych właściwych na ułamki proste z przykładami.
• Całkowanie funkcji wymiernych - przykłady. Całkowanie funkcji trygonometrycznych w przykladach. Zastosowanie podstawienia uniwersalnego: $$ t = tg\; \frac{x}{2},\; dx = \frac{2\,dt}{t^2+1},\; \sin x = \frac{2t}{t^2 + 1},\; \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}. $$ Przypomnienie funkcji hiperbolicznych i zastsowanie ich do obliczania całek nieoznaczonych typu $$ \int R(x,\sqrt{a^2 + x^2})\, dx, \; x = a\cdot sh\, t, \; \sqrt{a^2 + x^2} = a\cdot ch\, t\, , \; dx = ch\, t\, dt, \; a\ne 0, $$ $$ \int R(x,\sqrt{x^2 - a^2})\, dx, \; x = a\cdot ch\, t, \; \sqrt{x^2 - a^2} = a\cdot sh\, t\, , \; dx = sh\, t\, dt, \; a\ne 0, $$ gdzie $R(u,v)$ funkcja wymierna dwóch zmiennych o współczynnikach rzeczywistych. $$ \int Q(e^t)\, dt, \; y = e^t, \; dt = \frac{1}{y}\, dy, $$ gdzie $Q(u)$ funkcja wymierna jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych.
• Zastosowanie całki Riemanna w geometrii: pole powierzchni obszaru pomiędzy krzywymi, objętość i pole powierzchni brył obrotowych względem osi OX i OY.