Zastosowania równań różniczkowych cząstkowych
Na tym przedmiocie będziemy mówić o równaniach różniczkowych cząstkowych. Ponieważ jest to przeogromny temat to ograniczymy się tutaj jedynie do równań pierwszego rzędu, ich układów oraz zastosowań. Tych ostatnich jest niemało i stanowią podstawę akustyki, wszelakich przepływów, prognozowania pogody oraz obliczeń w astrofizyce. Co ciekawe już od niemal samego początku będziemy mówić o wszelakich nieliniowościach, dzięki którym dynamika opisywana przez równania pierwszego rzędu jest niebywale ciekawa!
Chciałbym aby każdy słuchacz nauczył się:
- rozumieć skąd i w jaki sposób biorą się różne równania,
- znać ich zastosowania,
- rozwiązywać je w sposób analityczny (tam, gdzie jest to możliwe),
- rozwiązywać je numerycznie wiedząc jakiego schematu użyć w danej sytuacji.
Mam nadzieję, że przedmiot będzie przyjemny i ciekawy oraz jednocześnie kształcący. Zachęcam do rozmów w trakcie wykładu oraz ćwiczeń. Jesteśmy małą grupą więc wiele zagadnień będzie można dokładnie poruszyć.
Reguły gry
Przedmiot składa się z wykładu oraz ćwiczeń w formie tradycyjnej. Jednak, jak zwykle, gorąco zachęcam do wykorzystywania komputera jako pomocy. W swojej pracy robię tak prawie codziennie (obliczenia zarówno symboliczne jak i numeryczne). Jak na wielu moich przedmiotach zaliczenie będzie można uzyskać zdobywając punkty.
\[ \text{Suma punktów} = \underbrace{10}_\text{Aktywność} + \underbrace{2\times 10}_\text{Kolokwia} + \underbrace{20}_\text{Projekt}= 50 \text{ punktów.}\]
Obydwa kolokwia będą zapowiedziane co najmniej dwa tygodnie wcześniej (w zależności od tempa przerabiania materiału). W przypadku dużej aktywności całej grupy dopuszczam możliwość przeskalowania punktacji (z aktywności) pod koniec semestru. Ostateczna ocena będzie wyliczona zgodnie z tabelką:
Punkty | Ocena |
---|---|
$S<25$ | $2.0$ |
$25\leq S < 32$ | $3.0$ |
$32\leq S < 37$ | $3.5$ |
$37\leq S < 43$ | $4.0$ |
$43\leq S < 47$ | $4.5$ |
$47\leq S \leq 50$ | $5.0$ |
Projekt
Projekt komputerowy jest bardzo ważnym i koniecznym elementem zaliczenia. Mam nadzieję, że będzie też ciekawy oraz przyjemny! Z grubsza polegać on będzie na numerycznym rozwiązaniu wybranych równań, analizie rozwiązań oraz omówieniu ich zastosowań. Przykładowe tematy zostaną podane w trakcie semestru. W przygotowaniu projektu można będzie używać dowolnego języka z zastrzeżeniem, że cała praca musi zostać napisana w Jupyterze. W trakcie wykładu zamierzam opowiedzieć o kilku podstawowych metodach numerycznych służących rozwiązywaniu równań pierwszego rzędu. Same w sobie są one bardzo ciekawe. W niektórych projektach będzie można skorzystać z bardziej zaawansowanych schematów i metod.
Projekty będą realizowane w grupach dwuosobowych.
Termin wyboru tematu: 06.11. (Zgłoszenia grup proszę przesłać mailem z tytułem ZRRCz - Projekt).
Termin oddawania projektów: 14.01. (Gotowe projekty proszę przesłać na ePortal.)
Przykładowe tematy
- Ruch samochodów.
- Metody numeryczne wysokiego rzędu + fale uderzeniowe.
- Przepływ krwi przez tętnice/żyły.
- Równania płytkiej wody.
- Pryzma piasku.
- Dynamika gazów ściśliwych.
- …
Zawartość wykładu
Mówić będziemy o następujących zagadnieniach (wszystkie zostaną okraszone wieloma zastosowaniami):
- Prawa zachowania.
- Metoda charakterystyk.
- Równania w pełni nieliniowe oraz metoda Charpita.
- Metody numeryczne: różnice oraz objętości skończone.
- Równania quasiliniowe oraz metoda charakterystyk.
- Fale uderzeniowe.
- Układy równań pierwszego rzędu oraz charakterystyki.
- Teoria dystrybucji (jak czas pozwoli).
Listy zadań
Zadania będziecie rozwiązywać podczas ćwiczeń na tablicy. Za każde zadanie można będzie otrzymać jeden punkt z aktywności.
Lista 1 - Równania pierwszego rzędu Lista 2 - Metody numeryczne Lista 3 - Fale uderzeniowe